13 Homeomorfismos

Definition 13.1.

Sean (X,T)(X,T) y (Y,T′)(Y,T^{\prime}) espacios topológicos. Entonces estos se dicen que son homeomorfos si existe una función f:X→Yf\colon X\to Y con las propiedades siguientes:

  • •
    ​

    ff es biyectiva

  • •
    ​

    ff es continua, es decir, ∀U′∈T′⁢f−1⁢(U′)∈T\forall U^{\prime}\in T^{\prime}\;f^{-1}(U^{\prime})\in T

  • •
    ​

    f−1f^{-1} es continua, es decir, ∀U∈T⁢f⁢(U)∈T′\forall U\in T\;f(U)\in T^{\prime}

Además, la función ff se llama homeomorfismo entre (X,T)(X,T) y (Y,T′)(Y,T^{\prime}). En este caso escribimos (X,T)≅(Y,T′)(X,T)\cong(Y,T^{\prime}).

Vamos a demostrar que, en (ℝ,Tu)(\mathbb{R},T_{u}), dos intervalos abiertos y no vacíos cualesquiera (a,b)(a,b) y (c,d)(c,d) son homeomorfos.

Proof 13.2.

Veamos que todo intervalo abierto (a,b)(a,b) es homeomorfo con (0,1)(0,1). Definimos la función

f:(0,1)\displaystyle f\colon(0,1)
⟶(a,b)\displaystyle{}\longrightarrow(a,b)
x\displaystyle x
⟼f⁢(x)=a+(b−a)⁢x\displaystyle{}\longmapsto f(x)=a+(b-a)x

Se tiene que ff es biyectiva, y además ff y f−1f^{-1} son continuas. Por tanto, (a,b)(a,b) es homeomorfo con (0,1)(0,1). Luego, dado otro intervalo (c,d)(c,d), este también es homeomorfo con (0,1)(0,1) y, por la transitividad, (a,b)(a,b) es homeomorfo a (c,d)(c,d).

Example 13.3.

Veamos que ((−1,1),T⁢u|(−1,1))((-1,1),Tu|_{(-1,1)}) y ((0,1),T⁢u|(0,1))((0,1),Tu|_{(0,1)}) son homeomorfos. Definimos

f:(−1,1)\displaystyle f\colon(-1,1)
⟶ℝ\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{R}
x\displaystyle x
⟼f⁢(x)=x1+|x|\displaystyle{}\longmapsto f(x)=\frac{x}{1+\left|x\right|}

Si x<0x<0, f⁢(x)<0f(x)<0 y si x>0x>0, f⁢(x)>0f(x)>0. Además, siempre se tiene que |x1+|x||≤1\left|\frac{x}{1+\left|x\right|}\right|\leq 1. La función inversa es

g:ℝ\displaystyle g\colon\mathbb{R}
⟶(−1,1)\displaystyle{}\longrightarrow(-1,1)
y\displaystyle y
⟼g⁢(y)=y1+|y|\displaystyle{}\longmapsto g(y)=\frac{y}{1+\left|y\right|}

Comprobar que g∘f=I⁢d(−1,1)g\circ f=Id_{(-1,1)} y f∘g=I⁢dℝ⇒g=f−1f\circ g=Id_{\mathbb{R}}\Rightarrow g=f^{-1}.

Ejercicio: buscar f:(0,+∞)→ℝf\colon(0,+\infty)\to\mathbb{R} homeomorfismo.

Si C∈𝒞︀T′⇒Y∖C∈T′⁢⇒h⁢o⁢m⁢e⁢o⁢f−1⁢(Y∖C)∈T⁢=b⁢i⁢y⁢X∖f−1⁢(C)∈T⇒f−1⁢(C)∈𝒞︀TC\in\mathcal{{C}}_{T^{\prime}}\Rightarrow Y\setminus C\in T^{\prime}\overset{% homeo}{\Rightarrow}f^{-1}(Y\setminus C)\in T\overset{biy}{=}X\setminus f^{-1}(% C)\in T\Rightarrow f^{-1}(C)\in\mathcal{{C}}_{T}.