13 Homeomorfismos

Definición IV.6.

Sean $(X,T)$ y $(Y,T^{\prime})$ espacios topológicos. Entonces estos se dicen que son homeomorfos si existe una función $f\colon X\to Y$ con las propiedades siguientes:

$f$ es biyectiva
$f$ es continua, es decir, $\forall U^{\prime}\in T^{\prime}\;f^{-1}(U^{\prime})\in T$
$f^{-1}$ es continua, es decir, $\forall U\in T\;f(U)\in T^{\prime}$

Además, la función $f$ se llama homeomorfismo entre $(X,T)$ y $(Y,T^{\prime})$ . En este caso escribimos $(X,T)\cong(Y,T^{\prime})$ .

Vamos a demostrar que, en $(\mathbb{R},T_{u})$ , dos intervalos abiertos y no vacíos cualesquiera $(a,b)$ y $(c,d)$ son homeomorfos.

Demostración.

Veamos que todo intervalo abierto $(a,b)$ es homeomorfo con $(0,1)$ . Definimos la función

\displaystyle f\colon(0,1)

\displaystyle{}\longrightarrow(a,b)

\displaystyle x

\displaystyle{}\longmapsto f(x)=a+(b-a)x

Se tiene que $f$ es biyectiva, y además $f$ y $f^{-1}$ son continuas. Por tanto, $(a,b)$ es homeomorfo con $(0,1)$ . Luego, dado otro intervalo $(c,d)$ , este también es homeomorfo con $(0,1)$ y, por la transitividad, $(a,b)$ es homeomorfo a $(c,d)$ . ∎

Ejemplo IV.7.

Veamos que $((-1,1),Tu|_{(-1,1)})$ y $((0,1),Tu|_{(0,1)})$ son homeomorfos. Definimos

\displaystyle f\colon(-1,1)

\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{R}

\displaystyle x

\displaystyle{}\longmapsto f(x)=\frac{x}{1+\left|x\right|}

Si $x<0$ , $f(x)<0$ y si $x>0$ , $f(x)>0$ . Además, siempre se tiene que $\left|\frac{x}{1+\left|x\right|}\right|\leq 1$ . La función inversa es

\displaystyle g\colon\mathbb{R}

\displaystyle{}\longrightarrow(-1,1)

\displaystyle y

\displaystyle{}\longmapsto g(y)=\frac{y}{1+\left|y\right|}

Comprobar que $g\circ f=Id_{(-1,1)}$ y $f\circ g=Id_{\mathbb{R}}\Rightarrow g=f^{-1}$ .

Ejercicio: buscar $f\colon(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ homeomorfismo.

Si $C\in\mathcal{{C}}_{T^{\prime}}\Rightarrow Y\setminus C\in T^{\prime}\overset{% homeo}{\Rightarrow}f^{-1}(Y\setminus C)\in T\overset{biy}{=}X\setminus f^{-1}(% C)\in T\Rightarrow f^{-1}(C)\in\mathcal{{C}}_{T}$ .