14 Espacios no homeomorfos

Ejemplo IV.8.

Demuestre que $([0,2],T_{u}|_{[0,2]})$ y $(Y=[0,1]\cup[2,3],T_{u}|_{Y})$ no son homeomorfos.

Si consideramos el intervalo $(-1,1+\frac{2}{3})\cap Y=[0,1]\in T_{u}|_{Y}$ y $[-1,1+\frac{2}{3}]\cap Y=[0,1]\in\mathcal{{C}}_{T_{u}|_{Y}}$ . Como $[0,1]\neq\varnothing$ y $[0,1]\neq Y$ , $(Y,T_{u}|_{Y})$ no es conexo, mientras que $[0,2]$ sí lo es.

Proposición IV.1.

Cualquier espacio topológico homeomorfo a un espacio conexo es conexo.

Algunas propiedades preservadas por homeomorfismos son:

$T_{0}$ -espacio
$T_{1}$ -espacio
$T_{2}$ -espacio
espacio regular
$T_{3}$ -espacio
satisfacer el segundo axioma de numerabilidad
espacio separable

Proposición IV.2.

Un subespacio $S$ de $\mathbb{R}$ es conexo si, y solo si, este es un intervalo.

Demostración.

$\Rightarrow)$: Supongamos que $S\neq\varnothing$ y $S$ es conexo. Por reducción al absurdo, supongamos que $S$ no es un intervalo. Entonces $\exists x,z\in S$ de forma que $\exists y\notin S$ con $x<y<z$ . Se tiene que $(-\infty,y)\in T_{u}$ , luego $(-\infty,y)\cap S\in T_{u}|_{S}$ , y como $y\notin S$ se tiene que $(-\infty,y)\cap S=(-\infty,y]\cap S\in\mathcal{{C}}_{T_{u}|_{S}}$ .

Además, $(-\infty,y)\cap S\neq\varnothing$ porque $x\in(-\infty,y)\cap S$ y $(-\infty,y)\cap S\neq S$ porque $z\in S$ pero $z\notin(-\infty,y)\cap S$ . Luego esto es una contradicción con que $S$ es conexo.
$\Leftarrow)$: La demostración de que los intervalos son conexos es la misma que la demostración de la proposición III.6, sustituyendo $\mathbb{R}$ por un intervalo.

∎

Proposición IV.3.

Sean $(X,T),(Y,T^{\prime})$ espacios topológicos tales que $(X,T)\approx(Y,T^{\prime})$ siendo $f\colon(X,T)\to(Y,T^{\prime})$ un homeomorfismo. En estas condiciones $\forall a\in X$ ,

(X\setminus\left\{a\right\},T|_{X\setminus\left\{a\right\}})\approx(Y\setminus% \left\{f(a)\right\},T^{\prime}_{Y\setminus\left\{f(a)\right\}})

Demostración.

Consideramos

\displaystyle g\colon X\setminus\left\{a\right\}

\displaystyle{}\longrightarrow Y\setminus\left\{f(a)\right\}

\displaystyle x

\displaystyle{}\longmapsto g(x)=f(x)

que evidentemente es biyectiva.

Si $U\in T|_{X\setminus\left\{a\right\}}$ , $U=V\cap X\setminus\left\{a\right\}$ con $V\in T$ , se tiene que

g(U)=g(V\cap X\setminus\left\{a\right\})=\underbrace{f(V)}_{\in T^{\prime}}% \cap Y\setminus\left\{f(a)\right\}

por lo que $g(U)\in T^{\prime}_{Y\setminus\left\{f(a)\right\}}$ .

La imagen recíproca se prueba de forma similar. ∎

Ejemplo IV.9.

Si $a,b\in\mathbb{R}$ con $a<b$ , $[a,b)\not\cong(a,b)$ , puesto que al eliminar el punto $a$ , el subespacio resultante $(a,b)$ es conexo, pero $(a,b)\setminus\left\{f(a)\right\}$ no es conexo.

Corolario IV.1.

Si $a,b,c,d$ son números reales con $a<b$ y $c<d$ , entonces

$(a,b)\not\cong[c,d)$
$(a,b)\not\cong[c,d]$
$[a,b)\not\cong[c,d]$

Sin embargo, si se tiene que $[a,b)\cong(a,b]$ . Sabemos que $(a,b)\cong(0,1)$ , por lo que de forma similar $[a,b)\cong[0,1)$ y $(a,b]\cong(0,1]$ . Definiendo

\displaystyle f\colon[0,1)

\displaystyle{}\longrightarrow(0,1]

\displaystyle x

\displaystyle{}\longmapsto f(x)=1-x

se tiene que $[0,1)\cong(0,1]$ y por tanto $[a,b)\cong(a,b]$ .