12 Subespacios

Definición IV.1.

Sea $Y$ un subconjunto no vacío de un espacio topológico $(X,T)$ . La colección $T|_{Y}=\left\{U\cap Y\colon U\in T\right\}$ de subconjuntos de $Y$ es una topología sobre $Y$ llamada la topología del subespacio. El espacio topológico $(Y,T|_{Y})$ se llama un subespacio topológico de $(X,T)$ .

Ejemplo IV.1.

Sea $(\mathbb{R},T_{u})$ y consideramos $[0,1]\subset\mathbb{R}$ y $([0,1],T_{u}|_{[0,1]})$ . Entonces $T_{u}|_{[0,1]}=\left\{(x,y)\mid x,y\in(0,1),x<y\right\}\cup\left\{[0,x)\mid 0<% x<1\right\}\cup\left\{(x,1]\mid 0<x<1\right\}\cup\left\{\varnothing,[0,1]\right\}$ .

Ejemplo IV.2.

Consideramos $(\mathbb{R},T_{u})$ y $\mathbb{Z}\subset\mathbb{R}$ . Entonces

T_{u}|_{\mathbb{Z}}=T_{dis}

puesto que contiene todos los singleton de $\mathbb{Z}$ .

Ejemplo IV.3.

Sea $X=\left\{a,b,c,d,e\right\}$ y $T=\left\{\varnothing,X,\left\{a,b,c\right\},\left\{a\right\},\left\{c,d,e% \right\},\left\{c\right\},\left\{a,c\right\},\left\{a,c,d,e\right\}\right\}$ . Definimos $Y=\left\{b,c,e\right\}$ . Entonces

T|_{Y}=\left\{\varnothing,Y,\left\{b,c\right\},\left\{c,e\right\},\left\{c% \right\}\right\}

Observación IV.1.

Sea $(X,T)$ espacio topológico con $Y\subset X$ , $Y\neq\varnothing$ . Supongamos que $\mathcal{{B}}=\left\{B\subset X\mid B\in T\right\}$ es base de $T$ . Entonces $\mathcal{{B}}_{Y}=\left\{B\cap Y\mid B\in\mathcal{{B}}\right\}$ es base de $T|_{Y}$ .

Observación IV.2.

Sea $(X,T)$ , $(Y,T|_{Y})$ con $Y\subset X$ …

Definición IV.2.

Sea $(X,T)$ espacio topológico e $Y\neq\varnothing$ con $Y\subset X$ . Se dice que una propiedad topológica es hereditaria si

(X,T)\text{ satisface P}\Rightarrow(Y,T|_{Y})\text{ satisface }P

Este teorema aparecerá en algún examen:

Teorema IV.1.

Sea $(X,T)$ un espacio topológico. Entonces

(X,T)\text{ no es conexo}\iff\exists U,V\in T\text{ con }U\neq\varnothing\neq V% \text{ tales que }\begin{cases}U\cap V=\varnothing\\ U\cup V=X\end{cases}

Demostración.

$\Rightarrow)$: Supongamos que $(X,T)$ no es conexo. Entonces $\exists C\in\mathcal{{C}}_{T}\cap T$ distinto del total y del vacío, luego $X\setminus C\in\mathcal{{C}}_{T}\cap T$ (distinto del total y del vacío). Si tomamos $U=C$ y $V=X\setminus C$ , se cumple que $U\cap V=\varnothing$ y $U\cup V=X$ .
$\Leftarrow)$: Sean $U,V\in T$ tales que $U\cap V=\varnothing$ y $U\cup V=X$ con $U\neq\varnothing$ y $V\neq\varnothing$ . Entonces $U=X\setminus V$ y como $V\in T\Rightarrow U\in\mathcal{{C}}_{T}$ .

Por tanto, $U\in T\cap\mathcal{{C}}_{T}$ distinto del vacío y del total. Luego $(X,T)$ no es conexo.

∎

Ejemplo IV.4.

$(\mathbb{R},T_{u})$ es conexo puesto que no satisface la propiedad anterior.

Sea $Y=(0,1)\cup(2,3)$ . Entonces $(Y,T_{u}|_{Y})$ no es conexo, puesto que $(0,1)=(0,1)\cap Y\in T_{u}|_{Y}$ y $(2,3)=(2,3)\cap Y\in T_{u}|_{Y}$ . Se tiene que $(0,1)\cap(2,3)=\varnothing$ y $(0,1)\cup(2,3)=Y$ .

Por tanto, sabemos que la propiedad de ser conexo no es hereditaria.

Ejemplo IV.5.

¿ $(\mathbb{Q},T_{u}|_{\mathbb{Q}})$ es conexo?

Sea $U=(-\infty,\sqrt{2})\cap\mathbb{Q}\in T_{u}|_{\mathbb{Q}}$ y $V=(\sqrt{2},+\infty)\in T_{u}|_{\mathbb{Q}}$ . Se tiene que $U\cap V=\varnothing$ y $U\cup V=X\Rightarrow(\mathbb{Q},T_{u}|_{\mathbb{Q}})$ no es conexo.

Definición IV.3.

Se dice que $(X,T)$ es un $T_{2}$ -espacio o espacio de Hausdorff si $\forall x,y\in X$ con $x\neq y\;\exists U^{x}\in T\;(x\in U^{x})$ y $\exists U^{y}\in T\;(y\in U^{y})$ tales que

U^{x}\cap V^{y}=\varnothing

Ejemplo IV.6.

$(\mathbb{R},T_{u})$ es $T_{2}$ , puesto que dados dos puntos $x,y\in\mathbb{R}$ , podemos considerar $U^{x}=(x-\frac{x+y}{2},x+\frac{x+y}{2})$ y $V^{y}=(y-\frac{x+y}{2},y+\frac{x+y}{2})$ .

Observación IV.3.

$T_{2}\Rightarrow T_{1}\Rightarrow T_{0}$ .

Observación IV.4.

La propiedad de ser $T_{2}$ es hereditaria.

Definición IV.4.

Dado $(X,T)$ espacio topológico, decimos que es regular si $\forall x\in X\;\forall C\in\mathcal{{C}}_{T}$ tal que $x\notin C\;\exists U^{x}\in T\;\exists V\in T$ tal que $C\subset V\wedge U^{x}\cap V=\varnothing$ .

Definición IV.5.

Un espacio topológico $(X,T)$ es $T_{3}$ si es regular y $T_{1}$ .