Part V Funciones continuas ‣ Topología

Definition 14.9.

Una función $f\colon(\mathbb{R},T_{u})\to(\mathbb{R},T_{u})$ se dice que es continua si para cada $a\in\mathbb{R}$ y cada número real positivo $\epsilon$ , existe un número real positivo $\delta$ tal que $\left|x-a\right|<\delta$ implica $\left|f(x)-f(a)\right|<\epsilon$ .

Lemma 14.10.

Sea $f$ una función que transforma $\mathbb{R}$ en el mismo. Entonces $f$ es continua si y solo si para cada $a\in\mathbb{R}$ y cada conjunto abierto $U$ que contiene $f(a)$ , existe un conjunto abierto $V$ que contiene $a$ tal que $f(V)\subseteq U$ .

Proposition 14.11.

Sea $f$ una función de un espacio topológico $(X,T)$ en un espacio topológico $(Y,T^{\prime})$ . Entonces las dos condiciones siguientes son equivalentes:

1.

$\forall U^{\prime}\in T^{\prime}$ , $f^{-1}(U^{\prime})\in T$ ,
2.

$\forall a\in X$ $\forall U^{\prime}\in T^{\prime}$ con $f(a)\in U^{\prime}$ , $\exists U\in T$ tal que $a\in U$ y $f(U)\subseteq U^{\prime}$ .

Proof 14.12.

$i)\Rightarrow ii)$: Supongamos que $\forall U^{\prime}\in T^{\prime}\;f^{-1}(U^{\prime})\in T$ .

Sea $a\in X$ y sea $U^{\prime}\in T^{\prime}$ tal que $f(a)\in U^{\prime}\Rightarrow a\in f^{-1}(U^{\prime})$ . Tomando $U=f^{-1}(U^{\prime})\in T$ , se tiene que $a\in U$ y $f(U)=f(f^{-1}(U^{\prime}))\subseteq U^{\prime}$ . Por tanto se satisface la condición ii).
$ii)\Rightarrow i)$: Sea $U^{\prime}\in T^{\prime}$ . Para cada $a\in f^{-1}(U^{\prime})$ , por hipótesis $\exists U_{a}\in T$ tal que $a\in U_{a}$ y $f(U_{a})\subseteq U^{\prime}$ . Esto último implica que $U_{a}\subseteq f^{-1}(U^{\prime})$ . Como $f^{-1}(U^{\prime})=\bigcup_{a\in f^{-1}(U^{\prime})}U_{a}$ , al ser unión de abiertos, $f^{-1}(U^{\prime})\in T$ .

Definition 14.13.

Se dice que $f\colon(X,T)\to(Y,T^{\prime})$ es continua si $\forall U^{\prime}\in T^{\prime}$ entonces $f^{-1}(U^{\prime})\in T$ .

Remark 14.14.

$f\colon(X,T)\to(Y,T^{\prime})$ es un homeomorfismo si

1.

$f$ es biyectiva
2.

$f$ es continua
3.

$f^{-1}$ es continua

Example 14.15.

Sea

\displaystyle f\colon(\mathbb{R},T_{u})

\displaystyle{}\longrightarrow(\mathbb{R},T_{u})

\displaystyle x

\displaystyle{}\longmapsto f(x)=\begin{cases}x\text{ si }x\leq 0\\ x+2\text{ si }x>0\end{cases}

Consideramos $(-1,1)\in T_{u}$ . Se tiene que $f^{-1}(-1,1)=(-1,0]\notin T_{u}$ . Por tanto, $f$ no es continua.

Proposition 14.16.

Sean $(X,T),(X^{\prime},T^{\prime})$ y $f\colon(X,T)\to(X^{\prime},T^{\prime})$ . Se tiene que

f\text{ es continua}\iff\forall C^{\prime}\in\mathcal{{C}}_{T^{\prime}}\;f^{-1% }(C^{\prime})\in\mathcal{{C}}_{T}

Proof 14.17.

$\Rightarrow)$: Supongamos que $f$ es continua. Sea $C^{\prime}\in\mathcal{{C}}_{T^{\prime}}\Rightarrow\begin{rcases}(X^{\prime}% \setminus C^{\prime})\in T^{\prime}\\ f\text{ continua}\end{rcases}\Rightarrow\begin{rcases}f^{-1}(X^{\prime}% \setminus C^{\prime})\in T\\ f^{-1}(X^{\prime}\setminus C^{\prime})=X\setminus f^{-1}(C^{\prime})\end{% rcases}\Rightarrow X\setminus(X\setminus f^{-1}(C^{\prime}))\in\mathcal{{C}}_{T}$ .
$\Leftarrow)$: Sea $U^{\prime}\in T^{\prime}\Rightarrow(X^{\prime}\setminus U^{\prime})\in\mathcal% {{C}}_{T^{\prime}}$ . Por hipótesis, $f^{-1}(X^{\prime}\setminus U^{\prime})\in\mathcal{{C}}_{T}$ y $f^{-1}(X^{\prime}\setminus U^{\prime})=X\setminus f^{-1}(U^{\prime})% \Rightarrow f^{-1}(U^{\prime})\in T$ .

Remark 14.18.

Foto 28/03.

Example 14.19.

Sea $A=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid xy=1\right\}$ . Demostrar que $A$ es un conjunto cerrado.

Consideramos $f=p_{1}\cdot p_{2}$ función continua por ser producto de funciones continuas.

Se tiene que $A=f^{-1}(\left\{1\right\})$ . Como $\left\{1\right\}\in\mathcal{{C}}_{T_{u}}\Rightarrow A\in\mathcal{{C}}_{T^{2}_{% u}}$ .

Proposition 14.20.

Sean $\begin{rcases}f\colon(X,T)\to(Y,T^{\prime})\text{ continua}\\ g\colon(Y,T^{\prime})\to(Z,T^{\prime\prime})\text{ continua}\end{rcases}% \Rightarrow g\circ f\colon(X,T)\to(Z,T^{\prime\prime})$ es continua.

Proof 14.21.

Sea $U^{\prime\prime}\in T^{\prime\prime}$ , ¿ $(g\circ f)^{-1}(U^{\prime\prime})\in T$ ?

Se tiene que $(g\circ f)^{-1}(U^{\prime\prime})=f^{-1}(g^{-1}(U^{\prime\prime}))$ . Como $U^{\prime\prime}\in T^{\prime\prime}$ y $g$ es continua, $g^{-1}(U^{\prime\prime})\in T^{\prime}$ . Como $f$ es continua, $f^{-1}(g^{-1}(U^{\prime\prime}))\in T$ .

Proposition 14.22.

Si $f\colon(X,T)\to(X^{\prime},T^{\prime})$ es continua, entonces $\forall Y\subset X$ no vacío se tiene que $f|_{Y}\colon(Y,T|_{Y})\to(X^{\prime},T^{\prime})$ es continua.

Example 14.23.

Sea

\displaystyle f\colon(\mathbb{R},T_{u})

\displaystyle{}\longrightarrow(\mathbb{R},T_{u})

\displaystyle x

\displaystyle{}\longmapsto f(x)=x^{2}

función continua. Por la proposición, también se tiene que

\displaystyle f|_{[0,1)}\colon([0,1),T_{u}|_{[0,1)})

\displaystyle{}\longrightarrow(\mathbb{R},T_{u})

\displaystyle x

\displaystyle{}\longmapsto x^{2}

es continua.

Example 14.24.

Sea

\displaystyle f\colon(1,2]\cup[3,4]

\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{R}

\displaystyle x

\displaystyle{}\longmapsto f(x)=\begin{cases}x^{2}\text{ si }x\in(1,2]\\ x+2\text{ si }x\in[3,4]\end{cases}

$f$ es continua en $((1,2]\cup[3,4],T_{u}|_{(1,2]\cup[3,4]})$ .