Parte V Funciones continuas

Definición V.1.

Una función f:(ℝ,Tu)→(ℝ,Tu)f\colon(\mathbb{R},T_{u})\to(\mathbb{R},T_{u}) se dice que es continua si para cada a∈ℝa\in\mathbb{R} y cada número real positivo ϵ\epsilon, existe un número real positivo δ\delta tal que |x−a|<δ\left|x-a\right|<\delta implica |f(x)−f(a)|<ϵ\left|f(x)-f(a)\right|<\epsilon.

Lema V.1.

Sea ff una función que transforma ℝ\mathbb{R} en el mismo. Entonces ff es continua si y solo si para cada a∈ℝa\in\mathbb{R} y cada conjunto abierto UU que contiene f(a)f(a), existe un conjunto abierto VV que contiene aa tal que f(V)⊆Uf(V)\subseteq U.

Proposición V.1.

Sea ff una función de un espacio topológico (X,T)(X,T) en un espacio topológico (Y,T′)(Y,T^{\prime}). Entonces las dos condiciones siguientes son equivalentes:

  1. 1.
    ​

    ∀U′∈T′\forall U^{\prime}\in T^{\prime}, f−1(U′)∈Tf^{-1}(U^{\prime})\in T,

  2. 2.
    ​

    ∀a∈X\forall a\in X ∀U′∈T′\forall U^{\prime}\in T^{\prime} con f(a)∈U′f(a)\in U^{\prime}, ∃U∈T\exists U\in T tal que a∈Ua\in U y f(U)⊆U′f(U)\subseteq U^{\prime}.

Demostración.
i)⇒ii)i)\Rightarrow ii)

Supongamos que ∀U′∈T′f−1(U′)∈T\forall U^{\prime}\in T^{\prime}\;f^{-1}(U^{\prime})\in T.

Sea a∈Xa\in X y sea U′∈T′U^{\prime}\in T^{\prime} tal que f(a)∈U′⇒a∈f−1(U′)f(a)\in U^{\prime}\Rightarrow a\in f^{-1}(U^{\prime}). Tomando U=f−1(U′)∈TU=f^{-1}(U^{\prime})\in T, se tiene que a∈Ua\in U y f(U)=f(f−1(U′))⊆U′f(U)=f(f^{-1}(U^{\prime}))\subseteq U^{\prime}. Por tanto se satisface la condición ii).

ii)⇒i)ii)\Rightarrow i)

Sea U′∈T′U^{\prime}\in T^{\prime}. Para cada a∈f−1(U′)a\in f^{-1}(U^{\prime}), por hipótesis ∃Ua∈T\exists U_{a}\in T tal que a∈Uaa\in U_{a} y f(Ua)⊆U′f(U_{a})\subseteq U^{\prime}. Esto último implica que Ua⊆f−1(U′)U_{a}\subseteq f^{-1}(U^{\prime}). Como f−1(U′)=⋃a∈f−1(U′)Uaf^{-1}(U^{\prime})=\bigcup_{a\in f^{-1}(U^{\prime})}U_{a}, al ser unión de abiertos, f−1(U′)∈Tf^{-1}(U^{\prime})\in T.

∎

Definición V.2.

Se dice que f:(X,T)→(Y,T′)f\colon(X,T)\to(Y,T^{\prime}) es continua si ∀U′∈T′\forall U^{\prime}\in T^{\prime} entonces f−1(U′)∈Tf^{-1}(U^{\prime})\in T.

Observación V.1.

f:(X,T)→(Y,T′)f\colon(X,T)\to(Y,T^{\prime}) es un homeomorfismo si

  1. 1.
    ​

    ff es biyectiva

  2. 2.
    ​

    ff es continua

  3. 3.
    ​

    f−1f^{-1} es continua

Ejemplo V.1.

Sea

f:(ℝ,Tu)\displaystyle f\colon(\mathbb{R},T_{u})
⟶(ℝ,Tu)\displaystyle{}\longrightarrow(\mathbb{R},T_{u})
x\displaystyle x
⟼f(x)={x si x≤0x+2 si x>0\displaystyle{}\longmapsto f(x)=\begin{cases}x\text{ si }x\leq 0\\ x+2\text{ si }x>0\end{cases}

Consideramos (−1,1)∈Tu(-1,1)\in T_{u}. Se tiene que f−1(−1,1)=(−1,0]∉Tuf^{-1}(-1,1)=(-1,0]\notin T_{u}. Por tanto, ff no es continua.

Proposición V.2.

Sean (X,T),(X′,T′)(X,T),(X^{\prime},T^{\prime}) y f:(X,T)→(X′,T′)f\colon(X,T)\to(X^{\prime},T^{\prime}). Se tiene que

f es continua⇔∀C′∈𝒞︀T′f−1(C′)∈𝒞︀Tf\text{ es continua}\iff\forall C^{\prime}\in\mathcal{{C}}_{T^{\prime}}\;f^{-1% }(C^{\prime})\in\mathcal{{C}}_{T}
Demostración.
⇒)\Rightarrow)

Supongamos que ff es continua. Sea C′∈𝒞︀T′⇒(X′∖C′)∈T′f continua}⇒f−1(X′∖C′)∈Tf−1(X′∖C′)=X∖f−1(C′)}⇒X∖(X∖f−1(C′))∈𝒞︀TC^{\prime}\in\mathcal{{C}}_{T^{\prime}}\Rightarrow\begin{rcases}(X^{\prime}% \setminus C^{\prime})\in T^{\prime}\\ f\text{ continua}\end{rcases}\Rightarrow\begin{rcases}f^{-1}(X^{\prime}% \setminus C^{\prime})\in T\\ f^{-1}(X^{\prime}\setminus C^{\prime})=X\setminus f^{-1}(C^{\prime})\end{% rcases}\Rightarrow X\setminus(X\setminus f^{-1}(C^{\prime}))\in\mathcal{{C}}_{T}.

⇐)\Leftarrow)

Sea U′∈T′⇒(X′∖U′)∈𝒞︀T′U^{\prime}\in T^{\prime}\Rightarrow(X^{\prime}\setminus U^{\prime})\in\mathcal% {{C}}_{T^{\prime}}. Por hipótesis, f−1(X′∖U′)∈𝒞︀Tf^{-1}(X^{\prime}\setminus U^{\prime})\in\mathcal{{C}}_{T} y f−1(X′∖U′)=X∖f−1(U′)⇒f−1(U′)∈Tf^{-1}(X^{\prime}\setminus U^{\prime})=X\setminus f^{-1}(U^{\prime})% \Rightarrow f^{-1}(U^{\prime})\in T.

∎

Observación V.2.

Foto 28/03.

Ejemplo V.2.

Sea A={(x,y)∈ℝ2∣xy=1}A=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid xy=1\right\}. Demostrar que AA es un conjunto cerrado.

Consideramos f=p1⋅p2f=p_{1}\cdot p_{2} función continua por ser producto de funciones continuas.

Se tiene que A=f−1({1})A=f^{-1}(\left\{1\right\}). Como {1}∈𝒞︀Tu⇒A∈𝒞︀T2u\left\{1\right\}\in\mathcal{{C}}_{T_{u}}\Rightarrow A\in\mathcal{{C}}_{T^{2}_{% u}}.

Proposición V.3.

Sean f:(X,T)→(Y,T′) continuag:(Y,T′)→(Z,T′′) continua}⇒g∘f:(X,T)→(Z,T′′)\begin{rcases}f\colon(X,T)\to(Y,T^{\prime})\text{ continua}\\ g\colon(Y,T^{\prime})\to(Z,T^{\prime\prime})\text{ continua}\end{rcases}% \Rightarrow g\circ f\colon(X,T)\to(Z,T^{\prime\prime}) es continua.

Demostración.

Sea U′′∈T′′U^{\prime\prime}\in T^{\prime\prime}, ¿(g∘f)−1(U′′)∈T(g\circ f)^{-1}(U^{\prime\prime})\in T?

Se tiene que (g∘f)−1(U′′)=f−1(g−1(U′′))(g\circ f)^{-1}(U^{\prime\prime})=f^{-1}(g^{-1}(U^{\prime\prime})). Como U′′∈T′′U^{\prime\prime}\in T^{\prime\prime} y gg es continua, g−1(U′′)∈T′g^{-1}(U^{\prime\prime})\in T^{\prime}. Como ff es continua, f−1(g−1(U′′))∈Tf^{-1}(g^{-1}(U^{\prime\prime}))\in T. ∎

Proposición V.4.

Si f:(X,T)→(X′,T′)f\colon(X,T)\to(X^{\prime},T^{\prime}) es continua, entonces ∀Y⊂X\forall Y\subset X no vacío se tiene que f|Y:(Y,T|Y)→(X′,T′)f|_{Y}\colon(Y,T|_{Y})\to(X^{\prime},T^{\prime}) es continua.

Ejemplo V.3.

Sea

f:(ℝ,Tu)\displaystyle f\colon(\mathbb{R},T_{u})
⟶(ℝ,Tu)\displaystyle{}\longrightarrow(\mathbb{R},T_{u})
x\displaystyle x
⟼f(x)=x2\displaystyle{}\longmapsto f(x)=x^{2}

función continua. Por la proposición, también se tiene que

f|[0,1):([0,1),Tu|[0,1))\displaystyle f|_{[0,1)}\colon([0,1),T_{u}|_{[0,1)})
⟶(ℝ,Tu)\displaystyle{}\longrightarrow(\mathbb{R},T_{u})
x\displaystyle x
⟼x2\displaystyle{}\longmapsto x^{2}

es continua.

Ejemplo V.4.

Sea

f:(1,2]∪[3,4]\displaystyle f\colon(1,2]\cup[3,4]
⟶ℝ\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{R}
x\displaystyle x
⟼f(x)={x2 si x∈(1,2]x+2 si x∈[3,4]\displaystyle{}\longmapsto f(x)=\begin{cases}x^{2}\text{ si }x\in(1,2]\\ x+2\text{ si }x\in[3,4]\end{cases}

ff es continua en ((1,2]∪[3,4],Tu|(1,2]∪[3,4])((1,2]\cup[3,4],T_{u}|_{(1,2]\cup[3,4]}).