2 Relaciones ‣ Part I Conjuntos, relaciones y funciones ‣ Lógica

Definition 2.1 (Relacion binaria de dos conjuntos).

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos no vacios. Una relacion binaria entre $A$ y $B$ es un subconjunto $R\subseteq A\times B$ .

Definition 2.2 (Relacion binaria en un conjunto).

Sea $A$ un conjunto no vacio. Una relacion binaria en $A$ es ub subconjunto $R\subseteq A\times A$ .

Example 2.3.

$A\times B={1,2,3}\times{2,4}$ .

Una relacion es $R_{1}=\left\{(1,2),(1,4)\right\}$ o $R_{2}=\left\{(1,2),(2,2),(3,4)\right\}$ . El producto cartesiano $A\times B$ o $\varnothing$ tambien son relaciones.

Remark 2.4.

Como $A\times B$ tiene $6$ elementos, puedo encontrar $2^{6}=64$ relaciones distintas (porque $A\times B$ tiene 64 subconjuntos distintos).

Definition 2.5 (Dominio, imagen).

Sea $R$ una relacion binaria entre dos conjuntos $A$ y $B$ . Se definen

•

Dominio de $R$ como

$dom(R)\coloneqq\left\{a\in A\mid\exists b\in B\mid aRb\right\}$
•

Imagen o rango de $R$ como

$im(R)\coloneqq\left\{b\in B\mid\exists a\in A\mid aRb\right\}$

Definition 2.6.

Sea $R$ una relacion binaria entre dos conjuntos $A$ y $B$ . Sean $C\subseteq A$ y $D\subseteq B$ . Se definen:

•

Imagen inversa de $D$ por $R$ como

$R^{-1}(D)\coloneqq\left\{a\in A\mid\exists b\in D\mid aRb\right\}$
•

Imagen o imagen directa de $C$ por $R$ como

$R(C)\coloneqq\left\{b\in B\mid\exists a\in C\mid aRb\right\}$

Remark 2.7.

dom(R)=R^{-1}(B)

im(R)=R(A)

Example 2.8.

Sean $A=\left\{1,3,5\right\}$ , $B=\left\{2,3\right\}$ , $C=\left\{1,3\right\}\subseteq A$ , $D=\left\{2\right\}\subseteq B$ .

•

$R_{1}=\left\{(1,2),(3,2),(3,3)\right\}$

$dom(R_{1})=\left\{1,3\right\},\,im(R_{1})=\left\{2,3\right\},\,R^{-1}_{1}(D)=% \left\{1,3\right\},\,R_{1}(C)=\left\{2,3\right\}$
•

$R_{2}=\left\{(1,2),(3,3),(5,2)\right\}$ - Funcion.

$dom(R_{2})=A,im(R_{2})=B,R^{-1}_{2}(D)=\left\{1,5\right\},R_{2}(C)=\left\{2,3% \right\}=B$

En total habia $2^{6}$ relaciones entre $A$ y $B$ .

Example 2.9.

Sean $A=\left\{1,2,4,5\right\}$ , $C=\left\{2,5\right\}\subseteq A$ .

•

$R_{1}=\left\{(x,y)\mid x=y\right\}$

$dom(R_{1})=A,im(R_{1})=A,R^{-1}_{1}(C)=\left\{2,5\right\}=C,R_{1}(C)=\left\{2,% 5\right\}=C$
•

$R_{2}=\left\{(x,y)\mid x\neq y\right\}=A^{2}\setminus R_{1}$

$dom(R_{2})=A,im(R_{2})=A,R^{-1}_{2}(C)=A,R_{2}(C)=A$
•

$R_{3}=\left\{(x,y)\mid x<y\right\}$

$dom(R_{3})=\left\{1,2,4\right\},im(R_{4})=\left\{2,4,5\right\},R^{-1}_{3}(C)=% \left\{1,2,4\right\},R_{3}(C)=\left\{4,5\right\}$
•

$R_{4}=\left\{(x,y)\mid x\leq y\right\}=R_{1}\cup R_{3}$

$dom(R_{4})=A,im(R_{4})=A,R^{-1}_{4}(C)=A,R_{4}(C)=\left\{2,4,5\right\}$
•

$R_{5}=\left\{(x,y)\mid x\text{ es divisor de }y\right\}=\left\{(1,1),(1,2),(1,% 4),(1,5),(2,2),(2,4),(4,4),(5,5)\right\}$

$dom(R_{5})=A,im(R_{5})=A,R^{-1}_{5}(C)=\left\{2,4,5\right\},R_{5}(C)=\left\{2,% 4,5\right\}$
•

$R_{6}=\left\{(1,1),(1,4),(2,4)\right\}$

$dom(R_{6})=\left\{1,2\right\},im(R_{6})=\left\{1,4\right\},R^{-1}_{6}(C)=% \varnothing,R_{6}(C)=\left\{4\right\}$

Definition 2.10.

Sean $P$ y $Q$ dos enunciados. La notacion

P\Rightarrow Q

se lee “ $P$ implica $Q$ ”.

El unico caso en el que es falsa es cuando sucede $P$ y no sucede $Q$ . Esta situacion supone un contraejemplo a la implicacion.

La notacion

P\iff Q

se lee “ $P$ si y solo si $Q$ ” o “ $P$ es equivalente a $Q$ ” y quiere decir que $P\Rightarrow Q$ y $Q\Rightarrow P$ simultaneamente. Es falsa si sucede una de las dos afirmaciones y no la otra.

Definition 2.11.

Sean $A$ un conjunto no vacio y $R$ una relacion binaria en $A$ . Decimos que $R$ cumple la propiedad

•

Reflexiva si $\forall x\in A\;(xRx)$
•

Simetrica si $\forall x,y\in A\;(xRy\Rightarrow yRx)$
•

Antisimetrica si $\forall x,y\in A\;(xRy,x\neq y\Rightarrow y\cancel{R}z)$
También se puede formular: $\forall x,y\in A\;(xRy,yRx\Rightarrow x=y)$
•

Transitiva si $\forall x,y,z\in A\;(xRy,yRz\Rightarrow xRz)$

Definition 2.12.

Sean $A$ un conjunto no vacio y $R$ una relacion binaria en $A$ . Decimos que $R$ es una relacion de

•

Equivalencia si cumple las propiedades reflexiva, simetrica y transitiva.
•

Orden si cumple las propiedades reflexiva, antisimetrica y transitiva.
•

Orden total si es de orden y ademas $\forall x,y\in A\;(xRy\text{ o }yRx)$

Example 2.13.

Sea $A=\left\{a,b,c,d\right\}$ . Para cada una de las siguientes relaciones $R_{i}$ en $A$ , estudia si cumplen las propiedades reflexiva, simetrica, antisimetrica y transitiva. Tambien si son de equivalencia, orden y orden total.

•

$R_{1}=\left\{(a,b),(b,c)\right\}$
•

$R_{2}=\left\{(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(b,a),(b,c)\right\}$
•

$R_{3}=\left\{(a,b),(c,d),(d,c)\right\}$
•

$R_{4}=A\times A$
•

$R_{5}=\varnothing$
•

$R_{6}=\left\{(x,y)\mid x=y\right\}$
•

$R_{7}=R_{6}\cup\left\{(a,b),(b,a),(c,d),(d,c)\right\}$
•

$R_{8}=\left\{(x,y)\mid x\text{ va antes que }y\text{ en el alfabeto}\right\}$
•

$R_{9}=R_{6}\cup R_{8}$
•

$R_{10}=R_{6}\cup\left\{(a,b),(c,d)\right\}$

Solucion:

•

$R_{1}=\left\{(a,b),(b,c)\right\}$

No es reflexiva porque $a\cancel{R}a$ (contraejemplo). Por tanto no es de equivalencia ni de orden y, por tanto, no es de orden total.

Tampoco es simetrica porque $aRb$ pero $b\cancel{R}a$ . $R_{1}$ es antisimetrica porque se cumple la definicion. Por ultimo, no es transitiva porque $aRb$ y $bRc$ pero $a\cancel{R}c$ .
•

$R_{2}=\left\{(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(b,a),(b,c)\right\}$

$R_{2}$ no es reflexiva (contraejemplo: $d\cancel{R}d$ ). Luego no es de equivalencia, orden ni orden total.

No es simetrica porque $bRc$ pero $c\cancel{R}b$ . Tampoco es antisimetrica porque $aRb,a\neq b\Rightarrow bRa$ . Por ultimo, no es simetrica porque $aRb$ y $bRc$ pero $a\cancel{R}c$ .
•

$R_{3}=\left\{(a,b),(c,d),(d,c)\right\}$ .

No es reflexiva. Contraejemplo: $a\cancel{R}a$ . No es simetrica porque $aRb$ pero $b\cancel{R}a$ . No es antisimetrica porque $cRd$ y $dRc$ y $d\neq c$ . No es transitiva porque $cRd$ y $dRc$ pero $c\cancel{R}c$ .
•

$R_{4}=A\times A$ .

Es reflexiva porque se cumple la definicion (todos los elementos de $A$ estan relacionados consigo mismos). Es simetrica (se cumple la definicion). No es antisimetrica: $aRb$ y $bRa$ . Es transitiva.

Es una relacion de equivalencia.
•

$R_{5}=\varnothing$ .

No es reflexiva, $a\cancel{R}a$ . Es simetrica porque se cumple la definicion (no hay ningun contraejemplo). Tambien es antisimetrica y transitiva por la misma razon.
•

$R_{6}=\left\{(x,y)\mid x=y\right\}=\left\{(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)\right\}$ .

Es reflexiva ya que todos los elementos estan relacionados consigo mismos. Es simetrica y antisimetrica ( $xRy,yRx\Rightarrow x=y$ ). Tambien es transitiva, ya que no hay ningun contraejemplo ( $xRy,yRz$ solo puede pasar si $x=y=z$ ).

$R_{6}$ es una relacion de equivalencia y de orden. No es de orden total porque $a\cancel{R}b$ y $b\cancel{R}a$ .
•

$R_{7}=R_{6}\cup\left\{(a,b),(b,a),(c,d),(d,c)\right\}$ .

Es reflexiva porque estan los pares de $R_{6}$ (es decir, $R_{6}\subseteq R_{7}$ ). Es simetrica porque en los pares que he añadido no he metido contraejemplos. No es antisimetrica; un contraejemplo es $aRb,bRa$ . Es transitiva pues no se pueden encontrar contraejemplos.

$R_{7}$ es de equivalencia. No es de orden y, por tanto, tampoco de orden total.
•

$R_{8}=\left\{(x,y)\mid x\text{ va antes que }y\text{ en el alfabeto}\right\}$

No es reflexiva. No es simetrica ( $aRb$ y $b\cancel{R}a$ ). Es antisimetrica porque no hay contraejemplos. Es transitiva.

Vamos a ver que es antisimetrica y transitiva solo con la definicion. Supongamos que $A$ es el alfabeto español. $|A|=27$ y $R_{8}$ es la misma relacion.

Si $\alpha$ va antes que $\beta$ , $\beta$ va antes que $\lambda$ , entonces $\alpha$ va antes que $\lambda$ . Luego si es transitiva.

Si $\alpha$ va antes que $\beta$ ( $\alpha R_{8}\beta$ ) entonces $\beta$ no va antes que $\alpha$ , luego $(\beta\cancel{R}_{8}\alpha)$ . Entonces es antisimetrica.
•

$R_{9}=R_{6}\cup R_{8}=\left\{(\alpha,\beta)\mid\alpha\text{ va antes que }% \beta\text{ o }\alpha=\beta\right\}$ .

Es reflexiva porque estan todos los pares de $R_{6}$ . No es simetrica porque $aRb$ pero $b\cancel{R}a$ .

Es antisimetrica: vamos a usar la definicion $\alpha R_{9}\beta,\beta R_{9}\alpha\Rightarrow\alpha=\beta$ . $\alpha$ va antes o es igual que $\beta$ y $\beta$ va antes o es igual que $\alpha$ . La unica opcion es $\alpha=\beta$ . Por tanto es antisimetrica.

Si $\alpha$ va antes o es igual a $\beta$ y $\beta$ va antes o es igual a $\gamma$ entonces $\alpha$ va antes o es igual a $\gamma$ . Luego si es transitiva.

$R_{9}$ es de orden. Tambien es de orden total porque todos los elementos estan relacionados.
•

$R_{10}=R_{6}\cup\left\{(a,b),(c,d)\right\}$

Es reflexiva porque estan todos los pares de $R_{6}$ . No es simetrica porque $aRb$ pero $b\cancel{R}a$ . Es antisimetrica. Es transitiva porque no se han añadido contraejemplos.

$R_{10}$ es una relacion de orden. No es total ( $a\cancel{R}_{10}c$ ).

Example 2.14.

$A=\left\{\text{conjunto formado por 9 boligrafos, dos rojos, tres azules y 4 % negros}\right\}$

Dados $x,y\in A$ , $xRy\iff\text{x es del mismo color que y}$ .

Tambien se puede definir $R=\left\{(x,y)\mid\text{x es del mismo color que y}\right\}$ .

Esta relacion es reflexiva: $\forall x,x$ es del mismo color que $x$ . Tambien es simetrica: si $xRy$ (x es del mismo color que y), entonces $yRx$ (y es del mismo color que x). Por ultimo, es transitiva: $\forall x,y,z$ si $x$ es del mismo color que $y$ , $y$ es del mismo color que $z$ , entonces $x$ es del mismo color que $z.$

Luego $R$ es de equivalencia. Una relacion de equivalencia genera una particion. A los elementos de la particion se les llama “clases de equivalencia”. En este caso, hay 3 clases de equivalencia: la de los bolis rojos, la de los bolis negros y la de los bolis azules:

\displaystyle\left\{B_{1},B_{2}\right\}

\displaystyle{}=[B_{2}]

\displaystyle\left\{B_{3},B_{4},B_{5}\right\}

\displaystyle{}=[B_{3}]

\displaystyle\left\{B_{6},B_{7},B_{8},B_{9}\right\}

\displaystyle{}=[B_{8}]

$B_{2}$ , $B_{3}$ y $B_{8}$ son representantes de clase (elegidos de forma arbitraria).

El conjunto cociente va a ser el conjunto formado por las clases de equivalencia $A/R=\left\{[B_{2}],[B_{3}],[B_{8}]\right\}$ .

Definition 2.15 (Clase de equivalencia).

Sea $R$ una relacion de equivalencia en un conjunto $A$ y sea $a\in A$ . Llamamos clase de equivalencia de $a$ por la relacion $R$ al conjunto de todos los elementos de $A$ que estan relacionados con $a$ . Simbolicamente:

[a]_{R}\coloneqq\left\{b\in A\mid aRb\right\}

Si, por contexto, esta claro que solo podemos estar hablando de clases respecto de la relacion $R$ , omitiremos el subindice y escribiremos $[a]$ . Tambien se puede escribir $\overline{a}$ .

Definition 2.16 (Conjunto cociente).

Sea $R$ una relacion de equivalencia en un conjunto $A$ . Llamamos conjunto cociente de $A$ bajo la relacion $R$ al conjunto formado por todas las clases de equivalencia de la relacion. Simbolicamente:

A/R\coloneqq\left\{[a]_{R}\mid a\in A\right\}

Example 2.17.

$R_{4}=A\times A$ .

$A=\left\{a,b,c,d\right\}$ .

$[a]_{R_{4}}=\left\{a,b,c,d\right\}$ .

$[b]_{R_{4}}=\left\{a,b,c,d\right\}$ .

Hay una unica clase de equivalencia. El cociente es $A/R=\left\{[a]_{R_{4}}\right\}$ .

Otra relacion de equivalencia es $R_{6}=\left\{(x,y)\mid x=y\right\}$ .

En este caso, $[a]_{R_{6}}=\left\{a\right\},\,[b]_{R_{6}}=\left\{b\right\},\,[c]_{R_{6}}=% \left\{c\right\},\,[d]_{R_{6}}=\left\{d\right\}$ . El conjunto cociente esta formado por 4 elementos:

A/R_{6}=\left\{[a]_{R_{6}},[b]_{R_{6}},[c]_{R_{6}},[d]_{R_{6}}\right\}.

$R_{7}=R_{6}\cup\left\{(a,b),(b,a),(c,d),(d,c)\right\}$ . En este caso, hay 2 clases:

$[a]_{R_{7}}=\left\{a,b\right\}=[b]_{R_{7}}$ y $[c]_{R_{7}}=\left\{b,c\right\}=[c]_{R_{7}}$ .

El conjunto cociente es $A/R_{7}=\left\{[a]_{R_{7}},[d]_{R_{7}}\right\}$ .

Otro ejemplo es $R=S\cup\left\{(a,b),(b,a),(a,c),(c,a),(b,c),(c,b)\right\}$ , siendo $S$ la relacion de igualdad. Se puede demostrar que es una relacion de equivalencia.

Las clases de equivalencia son $[a]_{R}=\left\{a,b,c\right\}=[b]_{R}=[c]_{R}$ y $[d]_{R}=\left\{d\right\}$ . El conjunto cociente es $A/R=\left\{[a]_{R},[d]_{R}\right\}$ .

Proposition 2.18.

Sean $R$ una relacion de equivalencia en un conjunto $A$ y $a,b\in A$ . Se cumple:

•

$aRb\Rightarrow[a]=[b]$ .
•

$a\cancel{R}b\Rightarrow[a]\cap[b]=\varnothing$ .

Proof 2.19.

Sean $a,b\in A$ .

•

Si $aRb$ :

Tenemos que demostrar que $[a]=[b]$ . Para ello, vamos a ver un doble contenido de conjuntos.

$\subseteq)$ Vamos a ver que $[a]\subseteq[b]$ .

$[a]=\left\{x\in A\mid aRx\right\}$ y $[b]=\left\{x\in B\mid bRx\right\}$ .

Sea $x\in[a]\Rightarrow aRx$ . Como $aRx$ y $R$ es simetrica (por ser una relacion de equivalencia), tenemos que $xRa$ . Como $xRa$ y $aRb$ , por ser $R$ transitiva, tengo que $xRb\overset{R\text{ simetrica}}{\Rightarrow}bRx\Rightarrow x\in[b]$ .

$\supseteq)$ Sea $x\in[b]\Rightarrow bRx$ .

Como $aRb$ y $R$ es transitiva, $aRx\Rightarrow x\in[a]$ .
•

Si $a\cancel{R}b$ :

Tenemos que demostrar que $[a]\cap[b]=\varnothing$ . Por reduccion al absurdo, supongamos que $[a]\cap[b]\neq\varnothing\Rightarrow\exists x\in[a]\text{ y }x\in[b]$ .

Sin embargo, $x\in[a]\Rightarrow aRx$ y $x\in[b]\Rightarrow bRx\Rightarrow xRb\text{ (R simetrica)}$ . Como $aRx,xRb$ y $R$ es transitiva entonces $aRb$ . Hemos llegado a una contradiccion porque partimos de que $a\cancel{R}b$ .

Por tanto, $[a]\cap[b]=\varnothing$ .

Definition 2.20 (Conjuntos disjuntos).

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos. Decimos que son disjuntos si $A\cap B=\varnothing$ .

Definition 2.21 (Partición).

Sea $A$ un conjunto. Decimos que una coleccion de subconjuntos de $A$ constituye una particion de $A$ si se cumplen las dos condiciones siguientes:

•

Son disjuntos dos a dos: dos conjuntos diferentes cualesquiera de la coleccion son disjuntos.
•

Recubren $A$ : la union de todos ellos es $A$ .

Theorem 2.22.

Sea $R$ una relacion de equivalencia en un conjunto $A$ . Entonces las clases de equivalencia de $R$ constituyen una particion de $A$ .

Proof 2.23.

En la proposicion 3 hemos demostrado que las clases de equivalencia son disjuntas dos a dos.

Veamos que las clases recubren $A$ .

Dado $a\in A$ se cumple que por ser $R$ reflexiva que $aRa\Rightarrow a\in[a]$ .

Luego todo elemento pertenece a una clase de equivalencia.

Example 2.24.

$A=\left\{a,b,c,d\right\}$ .

Una particion es: $A_{1}=\left\{a\right\}$ $A_{2}=\left\{b,d\right\}$ $A_{3}=\left\{c\right\}$ .

Defino $R$ como: $R=\left\{(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(b,d),(d,b)\right\}$ .

Entonces $[a]=\left\{a\right\},[b]=\left\{b,d\right\},[c]=\left\{c\right\}$ . Dentro de cada conjunto de la particion he relacionado sus elementos de todas las formas posibles.

Theorem 2.25.

Supongamos que tenemos una particion de un conjunto $A$ . Definimos una relacion $R$ en $A$ de la siguiente forma:

aRb\iff\text{existe un subconjunto de la particion al que }a\text{ y }b\text{ pertenecen}

Entonces la relacion $R$ es de equivalencia.

Ademas, las clases de equivalencia de $R$ coinciden con los subconjuntos de la particion.

Proof 2.26.

Vamos a demostrar que $R$ es de equivalencia.

•

$R$ es reflexiva?

Dado $a\in A$ , como la particion recubre $A$ existe un conjunto de la particion al que $a$ pertenece. Luego $a$ y $a$ estan en el mismo conjunto de la particion $\Rightarrow aRa$ .
•

$R$ es simetrica?

$aRb\Rightarrow a$ y $b$ estan en el mismo conjunto de la particion $\Rightarrow bRa$ .

Por tanto, $R$ es simetrica.
•

$R$ es transitiva?

$aRb,bRc\Rightarrow a$ y $b$ estan en el mismo conjunto de la particion y $b$ y c estan en el mismo conjunto de la particion. Por lo tanto, $a$ y $c$ estan en el mismo conjunto y $aRc$ .

Las clases de $R$ son los conjuntos de la particion por construccion.

[a]_{R}=\left\{b\mid aRb\right\}=\left\{b\mid\text{a y b estan en el mismo % conjunto de particion}\right\}

Luego es el conjunto de la particion al que $a$ pertenece.

Example 2.27.

Cuantas relaciones de equivalencia se pueden definir sobre un conjunto de 4 elementos?

Proof 2.28.

Es lo mismo que contar cuantas particiones diferentes se pueden hacer de un conjunto de 4 elementos. Cuento por numero de “trozos”.

•

Con un subconjunto. Solo hay una particion que es tomar todo el conjunto.
•

Con 2 trozos. En total, hay 7 trozos (3 con 2 trozos iguales, 4 con un trozo de 1 elemento y otro de 3).
•

Con 3 trozos. Los trozos deben ser 2 de 1 elemento y otro de 2. Hay 6 distintas.
•

Con 4 trozos hay una unica forma.

Hay $1+7+6+1=15$ relaciones de equivalencia distintas en $A$ . Ver: Numeros de Bell.

Example 2.29.

Dos relaciones de equivalencia importantes:

•

Construccion de los racionales.
•

Enteros modulo 2.

Proof 2.30.

•

Los numeros racionales como cociente.

Si defino los racionales como $F=\left\{\frac{a}{b}\mid a,b\in\mathbb{Z},b\neq 0\right\}$ :
En el conjunto $F$ de fracciones vamos a definir una relacion $R$ tal que

$\frac{a}{b}R\frac{c}{d}\iff a\cdot d=c\cdot b$

Vamos a demostrar que $R$ es de equivalencia.
- –
  
  $R$ reflexiva: $\forall a,b$ se cumple
  
  $\frac{a}{b}R\frac{a}{b}$
- –
  
  Simetrica: $\forall\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}$
  
  $\frac{c}{d}R\frac{a}{b}\Rightarrow cb=ad\Rightarrow\frac{a}{b}R\frac{c}{d}$
- –
  
  Transitiva: $\forall\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}\cdot\frac{e}{f}$
  
  $\frac{a}{b}R\frac{c}{d},\frac{c}{d}R\frac{e}{f}\Rightarrow\frac{a}{b}R\frac{e}% {f}?$
  
  $\frac{a}{b}R\frac{c}{d}\Rightarrow ad=cb$ , $\frac{c}{d}R\frac{e}{f}\Rightarrow cf=de$
  
  Debemos llegar a que $af=eb$
  
  $adf=cbf\Rightarrow adf=deb$
  
  Como d es un denominador, implica que $d\neq 0$ y puedo dividir ambos enteros entre $d$ $\Rightarrow af=eb$ .
Luego la relacion $R$ es de equivalencia. Como son las clases?
Por ejemplo:

$\left[\frac{2}{3}\right]=\left\{\frac{2}{3},\frac{6}{9},\ldots,\frac{-2}{-3},% \frac{-4}{-6},\ldots\right\}$

$|[\frac{2}{3}]|=\infty$

$F/R=\left\{[\frac{a}{b}]\mid\frac{a}{b}\in F\right\}=\mathbb{Q}$ .

Quien es $[\frac{4}{6}]$ ?

Luego en este cociente $[\frac{2}{3}]=[\frac{4}{6}]$ .

Obs: $|Q|=\infty$ .
•

Enteros modulo 2.

$A=\mathbb{Z}$ . Dados $x,y\in\mathbb{Z}$ , $xRy\iff x-y$ es par. Es decir, $\exists k\in\mathbb{Z}$ tal que $x-y=2k$ ( $x\equiv y\text{ mod }2$ ) ( $x$ congruente con $y$ modulo 2).
Veamos si esta relacion es de equivalencia:
- –
  
  Reflexiva: $\forall x\in\mathbb{Z},\;x\equiv x\text{ mod }2?$
  
  Si porque $x-x=2\cdot 0=0$
- –
  
  Simetrica: $\forall x,y\in\mathbb{Z},\;x\equiv y\text{ mod }2\Rightarrow y\equiv x\text{ % mod }2?$
  
  Si $x\equiv y\text{ mod }2\Rightarrow\exists k\in\mathbb{Z}$ tal que $x-y=2k\Rightarrow y-x=2(-k)\Rightarrow y\equiv x\text{ mod }2$ .
- –
  
  Transitiva: $\forall x,y,z\in\mathbb{Z},\;x\equiv y\text{ mod }2,y\equiv z\text{ mod }2% \Rightarrow x\equiv z\text{ mod }2?$
  
  $x\equiv y\text{ mod }2$ $\Rightarrow\exists k\in\mathbb{Z}/x-y=2k$
  
  $y\equiv z\text{ mod }2\Rightarrow\exists m\in\mathbb{Z}/y-z=2m$ .
  
  Sumando $x-y+y-z=2k+2m\Rightarrow x-z=2(k+m)$ . Por tanto $x\equiv z\text{ mod }2$ .
Hemos visto que la congruencia modulo 2 es una relacion de equivalencia.
Ejemplos de enteros relacionados: $8\equiv 6\text{ mod 2}$ , $3\equiv 7\text{ mod }2$ , $4\equiv 4\text{ mod }2$ .

Clases de equivalencia:

$[1]=\left\{\ldots,-3,-1,1,3,5,7,\ldots\right\}=[3]=[5]=\ldots$

$[2]=\left\{\ldots,-4,-2,0,2,4,\ldots\right\}=[4]=[0]=\ldots$

Luego hay 2 clases y $\mathbb{Z}/\equiv\text{mod }2=\left\{[0],[1]\right\}=\mathbb{Z}_{2}$ .

Definition 2.31 (Orden parcial).

Decimos que una relacion es de orden parcial si es de orden pero no es de orden total.

Example 2.32.

•

Relacion “menor o igual” en $\mathbb{Z}$ (orden total).
•

Relacion “contenido o igual” en $\mathcal{{P}}(A),$ siendo $A$ un conjunto (orden parcial si $|A|\geq 2$ , orden total si $|A|=1$ o $A=\varnothing$ ).

Definition 2.33.

Sean $n\in\mathbb{N},n\geq 2$ y $A_{1},A_{2},\ldots,A_{n}$ conjuntos no vacios. Una relacion $n$ -aria entre $A_{1},A_{2},\ldots,A_{n}$ es un subconjunto $R\subseteq A_{1}\times A_{2}\times\cdots\times A_{n}$ .