3 Funciones ‣ Part I Conjuntos, relaciones y funciones ‣ Lógica

Definition 3.1 (Función).

Sean $A$ y $B$ conjuntos no vacios. Decimos que $f$ es una funcion de $A$ en $B$ si es una relacion binaria entre $A$ y $B$ tal que cada elemento de $A$ esta relacionado con un unico elemento de $B$ . Simbolicamente:

•

$f\subseteq A\times B$
•

$\forall a\in A\;\exists!b\in B\,/\,afb$

Dado cualquier $a\in A$ , al unico $b\in B$ que esta relacionado con $a$ lo llamamos imagen de $a$ por $f$ ( $b=f(a)$ ).

Remark 3.2.

Si $f$ es una funcion, entonces $dom(f)=A$ .

Definition 3.3 (Codominio).

Si $f$ es una funcion de $A$ en $B$ , decimos que $B$ es el codominio de $f$ .

Example 3.4.

\displaystyle f\colon\mathbb{R}

\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{R}

\displaystyle x

\displaystyle{}\mapsto f(x)=x^{2}-5

$(1,-4)\in f$ , $1f-4$ , $f(1)=-4$

Definition 3.5 (Funcion inyectiva).

Sea $f\colon A\to B$ una funcion. Decimos que $f$ es inyectiva si no hay dos elementos que tengan la misma imagen. Simbolicamente:

\forall a,a^{\prime}\in A\;(a\neq a^{\prime}\Rightarrow f(a)\neq f(a^{\prime}))

Tambien se puede escribir:

\forall a,a^{\prime}\in A\;(f(a)=f(a^{\prime})\Rightarrow a=a^{\prime})

Definition 3.6 (Funcion suprayectiva).

Sea $f\colon A\to B$ una funcion. Decimos que $f$ es suprayectiva o sobreyectiva si todo elemento de $B$ es imagen de algun elemento de $A$ . Simbolicamente:

\forall b\in B\;\exists a\in A/f(a)=b

Es decir, $Im(f)=B$ .

Definition 3.7 (Funcion biyectiva).

Sea $f\colon A\to B$ una funcion. Decimos que $f$ es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva a la vez. Por tanto,

\forall b\in B\;\exists!a\in A/f(a)=b

Remark 3.8.

Para que exista una funcion inyectiva entre dos conjuntos finitos es necesario que tengan el mismo cardinal.

Remark 3.9.

“Calcular el dominio de una funcion”.

Estamos resolviendo “busca el conjunto mas grande de numeros reales que pueda ser dominio de una funcion con esta expresion”.

Puedo definir una funcion

\displaystyle f\colon\mathbb{R}\setminus\left\{1,-1\right\}

\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{R}

\displaystyle x

\displaystyle{}\longmapsto f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-1}

o tambien

\displaystyle g\colon(2,+\infty)

\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{R}

\displaystyle x

\displaystyle{}\longmapsto g(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-1}

Definition 3.10.

Sean $f\colon A\to B$ y $g\colon B\to C$ dos funciones. Se define una nueva funcion, llamada la composicion de $f$ con $g$ como una nueva funcion:

\displaystyle g\circ f\colon A

\displaystyle{}\longrightarrow C

\displaystyle x

\displaystyle{}\longmapsto y=(g\circ f)(x)\coloneqq g(f(x))

Example 3.11.

$A=\left\{1,2,3\right\}$

$B=\left\{a,b,c,d\right\}$

$C=\left\{2,4,6,8\right\}$

\begin{array}[]{lr}\begin{aligned} f\colon A&{}\longrightarrow B\\ 1&{}\longmapsto f(1)=a\\ 2&{}\longmapsto f(2)=a\\ 3&{}\longmapsto f(3)=d\end{aligned}&\qquad\begin{aligned} g\colon B&{}% \longrightarrow C\\ a&{}\longmapsto f(a)=2\\ b&{}\longmapsto f(b)=2\\ c&{}\longmapsto f(c)=6\\ d&{}\longmapsto f(d)=8\end{aligned}\end{array}

Entonces

\displaystyle g\circ f\colon A

\displaystyle{}\longrightarrow C

\displaystyle 1

\displaystyle{}\longmapsto 2

\displaystyle 2

\displaystyle{}\longmapsto 2

\displaystyle 3

\displaystyle{}\longmapsto 8

La composicion $f\circ g$ no tiene sentido (contraejemplo: $f$ no esta definido en 8).

Example 3.12.

\displaystyle f\colon\mathbb{R}

\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{R}

\displaystyle x

\displaystyle{}\longmapsto f(x)=2x+1

\displaystyle g\colon\mathbb{R}

\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{R}

\displaystyle x

\displaystyle{}\longmapsto g(x)=x^{2}

Por ejemplo: $(g\circ f)(4)=g(f(4))=g(9)=81$

La expresion general de $g\circ f$ es: $(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(2x+1)=(2x+1)^{2}=4x^{2}+4x+1$ .

En este caso si tiene sentido $f\circ g$ :

(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x^{2})=2x^{2}+1

Vamos a justificar que $f\circ g\neq g\circ f$ . Hemos visto que $(g\circ f)(4)=81$ .

$(f\circ g)(4)=2\cdot 4^{2}+1=33$ .

Luego son funciones distintas.

Remark 3.13.

Para definir la composicion $g\circ f$ para dos funciones cualesquiera es suficiente que $im(f)\subseteq dom(g)$ .

Definition 3.14 (Funcion identidad).

Sea $A$ un conjunto. Se define la funcion identidad en $A$ como

\displaystyle id_{A}\colon A

\displaystyle{}\longrightarrow A

\displaystyle x

\displaystyle{}\longmapsto id_{A}(x)=x

Definition 3.15.

Sea $f\colon A\to B$ una funcion. Se dice que $f$ tiene inversa si exista otra funcion $g\colon B\to A$ que cumple:

•

$\forall a\in A\;((g\circ f)(a)=a)$
•

$\forall b\in B\;((f\circ g)(b)=b)$

En ese caso se dice que $g$ es la funcion inversa de $f$ ( $g=f^{-1}$ ).

Remark 3.16.

Las dos condiciones anteriores se pueden reformular como

•

$g\circ f=id_{A}$
•

$f\circ g=id_{B}$

Remark 3.17.

No todas las funciones tienen inversa.

Ejemplo: Sea $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R},\;x\mapsto x^{2}$ .

No existe ningun $a\in\mathbb{R}$ tal que $a^{2}=-3$ . Eso me impide que haya inversa.

Ahora, definimos $g\colon\mathbb{R}\to[0,+\infty],\;x\mapsto x^{2}$ .

En este caso, tampoco tiene inversa porque no puedo definir una funcion que vaya bien para 4 ( $f(2)=4$ y $f(-2)=4$ ) o cualquier otro numero.

Theorem 3.18.

Sea $f\colon A\to B$ una funcion. Se cumple

f\text{ tiene inversa}\iff f\text{ es biyectiva}

Proof 3.19.

$\Rightarrow)$ Vamos a demostrar que si $f$ tiene inversa, entonces $f$ es biyectiva.

Al ser inversa, $\exists$ una funcion $g\colon B\to A$ tal que $f\circ g=id_{A}$ y $g\circ f=id_{B}$ .

1.

Vamos a ver que $f$ es inyectiva. Sean $x,y\in A$ tales que $f(x)=f(y)$ .

Aplico la funcion $g$ a ambos lados.

$\underbrace{g(f(x))}_{=x(id_{A})}=\underbrace{g(f(y))}_{=y(id_{B})}$

Por tanto, $x=y$ .
2.

Vamos a ver que $f$ es suprayectiva. Sea $b\in B$ cualquiera. Tenemos que encontrar una preimagen de $b$ , es decir, un $x\in A$ tal que $f(x)=b$ .

Tomo $x=g(b)$ ya que $f(x)=f(g(b))=b$ .

Por tanto, $f$ es biyectiva.

$\Leftarrow)$ Vamos a demostrar que si $f$ es biyectiva, entonces tiene inversa.

Vamos a formalizar la idea de “darle la vuelta a las flechas”.

Como se escribe $f$ si la veo como una relacion? $f=\left\{(a,b)\mid a\in A,b=f(a)\right\}$ .

Voy a construir la relacion $g\coloneqq\left\{(b,a)\mid a\in A,b=f(a)\right\}$ .

Basta con comprobar que $g$ es una funcion.

Como $f$ es suprayectiva, tenemos que $dom(g)=B$ , es decir, todos los elementos de $B$ tienen imagen.

Como $f$ es inyectiva, no hay ningun elemento de $B$ que tenga dos imagenes distintas por $g$ .

Por construccion, $g$ que hemos visto que es una funcion, cumple la definicion de ser inversa de $f$ . Por tanto, $f$ tiene inversa.

Remark 3.20.

\displaystyle f\colon\mathbb{R}

\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{R}

\displaystyle x

\displaystyle{}\longmapsto f(x)=e^{x}

Como funcion de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ , $e^{x}$ no tiene inversa, ya que no es suprayectiva.

En cambio, si consideramos

\displaystyle f\colon\mathbb{R}

\displaystyle{}\longrightarrow(0,+\infty)

\displaystyle x

\displaystyle{}\longmapsto f(x)=e^{x}

Esta funcion si es biyectiva porque el codominio coincide con la imagen. En este caso su inversa es

\displaystyle g\colon(0,+\infty)

\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{R}

\displaystyle x

\displaystyle{}\longmapsto g(x)=\ln(x)

Asi definidas se cumple $f^{-1}=g$ .

Remark 3.21.

Si $f^{-1}=g$ , tambien es cierto que $g^{-1}=f$ .

Remark 3.22.

La notacion $f^{-1}$ es ambigua. Puede referirse a la inversa de $f$ , en el caso de que esta exista, o la imagen inversa de un conjunto por la relacion $f$ .

Ejemplo: Dada $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R},\;x\mapsto x^{3}$ (biyectiva y tiene inversa).

$f^{-1}(64)=4$ , $f^{-1}(2)=\sqrt[3]{2}$ , $f^{-1}([8,64])=[2,4]$ .

Otro ejemplo es $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R},\;x\mapsto x^{2}$ .

$f^{-1}(9)$ no tiene sentido porque $f$ no es biyectiva y por tanto no tiene inversa. En cambio, $f^{-1}(\left\{9\right\})=\left\{3,-3\right\}$ o $f^{-1}([25,49])=[5,7]\cup(-7,5]$