10 Evaluacion semantica de formulas (valores de verdad) ‣ Part III Semantica de la logica proposicional ‣ Lógica

Definition 10.1.

Llamamos signatura al conjunto $\Sigma$ formado por todos los simbolos de proposicion atomica.

Remark 10.2.

Como en una formula o conjunto finito de formulas solo aparecera una cantidad finita de simbolos de proposicion atomica, por extension, llamaremos tambien signatura a cualquier conjunto finito de simbolos de proposicion atomica (y lo denotaremos tambien con $\Sigma$ ).

Definition 10.3.

Sea $\Sigma$ una signatura. Llamamos valoracion …

Example 10.4.

Sea $\Sigma=\left\{p,q,r\right\}$ Un ejemplo de valoracion sobre $\Sigma$ es

\displaystyle v_{1}\colon\Sigma

\displaystyle{}\longrightarrow(0,1)

\displaystyle p

\displaystyle{}\longmapsto 0

\displaystyle q

\displaystyle{}\longmapsto 1

\displaystyle r

\displaystyle{}\longmapsto 1

Remark 10.5.

En total habria $2^{3}=8$ valoraciones diferentes.

Definition 10.6.

Sea $\Sigma$ la signatura formada por todos los simbolos de proposicion atomica y $u$ una valoracion concreta definida sobre $\Sigma$ . Vamos a definir por recursion una funcion que asocia a cada formula $\varphi$ un valor de verdad que denotaremos $(\varphi)^{u}$ , extendiendo la valoracion $y$ de proposiciones atomicas a todas las formulas:

•

Si $p$ es un simbolo de proposicion atomica $\Rightarrow(p)^{u}\coloneqq u(p)$ , $(\perp)^{u}\coloneqq 0$ , $(\top)^{u}\coloneqq 1$ .
•

Si $\varphi\in\mathcal{{F}}_{0}$ $\Rightarrow(\neg\varphi)^{u}\coloneqq\begin{dcases}1\text{ si }(\varphi)^{u}=0% \\ 0\text{ si }(\varphi)^{u}=1\end{dcases}$

Definition 10.7.

Sean $\varphi,\psi\in\mathcal{{F}}_{0}\Rightarrow$

((\varphi\wedge\psi))^{u}\coloneqq\begin{dcases}1\text{ si }(\varphi)^{u}=(% \psi)^{u}=1\\ 0\text{ en otro caso}\end{dcases}

((\varphi\vee\psi))^{u}\coloneqq\begin{dcases}0\text{ si }(\varphi)^{u}=(\psi)% ^{u}=0\\ 1\text{ en otro caso}\end{dcases}

((\varphi\rightarrow\psi))^{u}\coloneqq\begin{dcases}0\text{ si }(\varphi)^{u}% =1\text{ y }(\psi)^{u}=0\\ 1\text{ en otro caso}\end{dcases}

((\varphi\leftrightarrow\psi))^{u}\coloneqq\begin{dcases}1\text{ si }(\varphi)% ^{u}=(\psi)^{u}\\ 0\text{ si }(\varphi)^{u}\neq(\psi)^{u}\end{dcases}

Remark 10.8.

Si no se genera ambiguedad escribiremos $\varphi^{u}$ en lugar de $(\varphi)^{u}$

Remark 10.9.

Los valores de verdad de las conectivas binarias se pueden resumir con tablas de verdad.

Example 10.10.

Sea $u$ la valoracion dada por $u(p)=u(q)=1,u(r)=0$ . Hallar $\varphi^{u}$ siendo

\varphi=(p\rightarrow\neg(q\wedge r))\leftrightarrow(p\vee\neg q\rightarrow% \neg r)

$(q\wedge r)^{u}=0$ , $\neg(q\wedge r)^{u}=1$ , $(p\rightarrow\neg(q\wedge r))^{u}=1$ .

Por otro lado $(\neg q)^{u}=0$ , $(p\vee\neg q)^{u}=1$ , $(\neg r)^{u}=1$ , $(p\vee\neg q\rightarrow\neg r)^{u}=1$

Por tanto, $\varphi^{u}=1$ .