12 Consecuencia logica ‣ Part III Semantica de la logica proposicional ‣ Lógica

Definition 12.1.

Sea $\Phi=\left\{\varphi_{1},\varphi_{2},\ldots,\varphi_{n}\right\}$ un conjintp de formulas y $u$ una valoracion. Decimos que $u$ es modelo de $\Phi$ si $\forall i(u\models\varphi_{i})$ .

Definition 12.2.

Sean $\Phi=\left\{\varphi_{1},\ldots,\varphi_{n}\right\}$ un conjunto de formulas y $\psi$ otra formula. Decimos que $\psi$ es consecuencia logica de $\Phi$ si todo modelo de $\Phi$ tambien es modelo de $\psi$ .

Remark 12.3.

Si $\Phi=\left\{\varphi\right\}$ consta de una unica formula y $\varphi$ es otra formula, en lugar de

Definition 12.4.

Recordemos que un razonamiento es una formula de tipo

\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\wedge\cdots\wedge\varphi_{n}

Example 12.5.

Estudia si la siguiente implicacion logica es cierta

\left\{p\rightarrow q,q\rightarrow r,\neg r\right\}\models\neg p

p	q	r	$p\rightarrow q$	$q\rightarrow r$	$\neg r$	$\neg p$	$\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\wedge\varphi_{3}$	$(\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\wedge\varphi_{3})\rightarrow\psi$
0	0	0	1	1	0	1	1	0
0	0	1	1	1	0	1	0	0
0	1	0	1	0	1	1	0	0
0	1	1	1	1	0	1	0	0
1	0	0	0	1	1	0	0	1
1	0	1	0	1	0	0	0	1
1	1	0	1	0	1	0	0	1
1	1	1	1	1	0	0	0	1

$\psi$ es consecuencia logica del compuesto de formulas $\left\{\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3}\right\}$ . Contradiccion…

Proposition 12.6.

Sean $\Phi=\left\{\varphi_{1},\ldots,\varphi_{n}\right\}$ un conjunto de formulas y $\psi$ otra formula. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

•

$\Phi\models\psi$
•

El razonamiento $\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\wedge\cdots\wedge\varphi_{n}$ $\rightarrow\psi$ es correcto.
•

La formula $\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\wedge\cdots\wedge\varphi_{n}\wedge\neg\psi$ es una contradiccion.

Proof 12.7.

Los tres puntos son equivalentes a decir que, para toda valoracion $v$ que cumpla que

\varphi^{v}_{1}=1,\varphi^{v}_{2}=1,\ldots,\varphi^{v}_{n}=1

Si cumple inversamente que $\psi^{v}=1$

Example 12.8.

Estudia si el razonamiento: “Si llueve hace viento. No hace viento a menos que haga frio. No hace frio. Por tanto, no llueve.”

formalizado mediante la formula

(l\rightarrow v)\wedge(\neg f\rightarrow\neg v)\wedge\neg f\rightarrow\neg l

es correcto.

Supongamos que el razonamiento es incorrecto, es decir, que existe una valoracion $u$ que hace ciertas las premisas y falsa la conclusion, es decir,

$(l\rightarrow v)^{u}=1$ (1), $(\neg f\rightarrow\neg v)=1$ (2), $(\neg f)^{u}=1$ (3), $(\neg l)^{u}=0$ (4).

$(4)\Rightarrow u(l)=1\Rightarrow u(v)=1\Rightarrow(\neg v)^{u}=0\Rightarrow(% \neg f\Rightarrow\neg v)^{u}=0$ .

Contradiccion porque $\neg f\rightarrow\neg v$ es a la vez verdadera y falsa.

Luego el razonamiento es correcto.

Example 12.9.

Estudia si el razonamiento del ejercicio 14 de la hoja 2:

“Si llueve las calles estaran vacias. Si las calles estan vacias, el comercio obtiene perdidas. Los musicos no podrian sobrevivir si los comerciantes no les contratasen para componer canciones para publicidad. Los comerciantes invierten en canciones publicitarias cuando tienen perdidas. Por tanto, si llueve, los musicos pueden sobrevivir”

formalizado mediante la formula

(l\rightarrow v)\wedge(v\rightarrow p)\wedge(\neg c\rightarrow\neg m)\wedge(p% \rightarrow c)\rightarrow(l\rightarrow m)

es correcto.

$l\rightarrow v\;(1)$ , $v\rightarrow p$ (2), $\neg c\rightarrow\neg m$ (3), $p\rightarrow c$ (4)

Conclusion: $l\rightarrow m$ (5).

Supongamos que el razonamiento es incorrecto, es decir, existe una valoracion u tal que

$(l\rightarrow v)=1$ , $(v\rightarrow p)=1$ , $(\neg c\rightarrow\neg m)=1$ , $p\rightarrow c=1$ , $l\rightarrow m=0\Rightarrow l=1,m=0$

$l=1\Rightarrow v=1(1)\Rightarrow p=1(2)\Rightarrow c=1(4)$

Con esta valoracion, $l=1,m=0,v=1,p=1$ y $c=1$ se tiene que (3) es verdadera.

Luego esta valoracion es un contraejemplo al razonamiento y, por tanto, el razonamiento es incorrecto.