12 Consecuencia logica ‣ Parte III Semantica de la logica proposicional ‣ Lógica

Definición III.7.

Sea $\Phi=\left\{\varphi_{1},\varphi_{2},\ldots,\varphi_{n}\right\}$ un conjintp de formulas y $u$ una valoracion. Decimos que $u$ es modelo de $\Phi$ si $\forall i(u\models\varphi_{i})$ .

Definición III.8.

Sean $\Phi=\left\{\varphi_{1},\ldots,\varphi_{n}\right\}$ un conjunto de formulas y $\psi$ otra formula. Decimos que $\psi$ es consecuencia logica de $\Phi$ si todo modelo de $\Phi$ tambien es modelo de $\psi$ .

Observación III.7.

Si $\Phi=\left\{\varphi\right\}$ consta de una unica formula y $\varphi$ es otra formula, en lugar de

Definición III.9.

Recordemos que un razonamiento es una formula de tipo

\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\wedge\cdots\wedge\varphi_{n}

Ejemplo III.6.

Estudia si la siguiente implicacion logica es cierta

\left\{p\rightarrow q,q\rightarrow r,\neg r\right\}\models\neg p

p	q	r	$p\rightarrow q$	$q\rightarrow r$	$\neg r$	$\neg p$	$\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\wedge\varphi_{3}$	$(\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\wedge\varphi_{3})\rightarrow\psi$
0	0	0	1	1	0	1	1	0
0	0	1	1	1	0	1	0	0
0	1	0	1	0	1	1	0	0
0	1	1	1	1	0	1	0	0
1	0	0	0	1	1	0	0	1
1	0	1	0	1	0	0	0	1
1	1	0	1	0	1	0	0	1
1	1	1	1	1	0	0	0	1

$\psi$ es consecuencia logica del compuesto de formulas $\left\{\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3}\right\}$ . Contradiccion…

Proposición III.1.

Sean $\Phi=\left\{\varphi_{1},\ldots,\varphi_{n}\right\}$ un conjunto de formulas y $\psi$ otra formula. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

$\Phi\models\psi$
El razonamiento $\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\wedge\cdots\wedge\varphi_{n}$ $\rightarrow\psi$ es correcto.
La formula $\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\wedge\cdots\wedge\varphi_{n}\wedge\neg\psi$ es una contradiccion.

Ejemplo III.7.

Estudia si el razonamiento: “Si llueve hace viento. No hace viento a menos que haga frio. No hace frio. Por tanto, no llueve.”

formalizado mediante la formula

(l\rightarrow v)\wedge(\neg f\rightarrow\neg v)\wedge\neg f\rightarrow\neg l

es correcto.

Supongamos que el razonamiento es incorrecto, es decir, que existe una valoracion $u$ que hace ciertas las premisas y falsa la conclusion, es decir,

$(l\rightarrow v)^{u}=1$ (1), $(\neg f\rightarrow\neg v)=1$ (2), $(\neg f)^{u}=1$ (3), $(\neg l)^{u}=0$ (4).

$(4)\Rightarrow u(l)=1\Rightarrow u(v)=1\Rightarrow(\neg v)^{u}=0\Rightarrow(% \neg f\Rightarrow\neg v)^{u}=0$ .

Contradiccion porque $\neg f\rightarrow\neg v$ es a la vez verdadera y falsa.

Luego el razonamiento es correcto.

Ejemplo III.8.

Estudia si el razonamiento del ejercicio 14 de la hoja 2:

“Si llueve las calles estaran vacias. Si las calles estan vacias, el comercio obtiene perdidas. Los musicos no podrian sobrevivir si los comerciantes no les contratasen para componer canciones para publicidad. Los comerciantes invierten en canciones publicitarias cuando tienen perdidas. Por tanto, si llueve, los musicos pueden sobrevivir”

formalizado mediante la formula

(l\rightarrow v)\wedge(v\rightarrow p)\wedge(\neg c\rightarrow\neg m)\wedge(p% \rightarrow c)\rightarrow(l\rightarrow m)

es correcto.

$l\rightarrow v\;(1)$ , $v\rightarrow p$ (2), $\neg c\rightarrow\neg m$ (3), $p\rightarrow c$ (4)

Conclusion: $l\rightarrow m$ (5).

Supongamos que el razonamiento es incorrecto, es decir, existe una valoracion u tal que

$(l\rightarrow v)=1$ , $(v\rightarrow p)=1$ , $(\neg c\rightarrow\neg m)=1$ , $p\rightarrow c=1$ , $l\rightarrow m=0\Rightarrow l=1,m=0$

$l=1\Rightarrow v=1(1)\Rightarrow p=1(2)\Rightarrow c=1(4)$

Con esta valoracion, $l=1,m=0,v=1,p=1$ y $c=1$ se tiene que (3) es verdadera.

Luego esta valoracion es un contraejemplo al razonamiento y, por tanto, el razonamiento es incorrecto.