7 Variedades afines

Definición III.5 (Variedad afin).

Dado un espacio afin $(A,V,+)$ , todo subconjunto de $A$ de la forma

X=P+S\;\;\;\text{ o }\;\;\;X=\left\{P+v\mid v\in S\right\}\overset{Q=P+\vec{PQ% }}{=}\left\{Q\in A\mid\vec{PQ}\in S\right\}

donde $P\in A$ y $S\leq V$ se llama variedad afin que pasa por $P$ y tiene subespacio director $S$ .

Observación III.1.

En general, si $X\subseteq A$ con $X\neq\varnothing$ y $P\in X$ , $X$ se puede reescribir como

X=\underbrace{P+\left\{\vec{PQ}\mid Q\in X\right\}}_{Q\in X}

Ejemplo III.2.

Sea $A\in\mathbb{R}^{3}$ , $V=\mathbb{R}^{3}$ espacio afin estandar.

1.

Consideramos $P=(1,2,3)$ y $S=\langle(1,0,1)\rangle$ . Veamos que es $X$ :

$X=P+S=\left\{(1,2,3)+\lambda(1,0,1)\mid\lambda\in\mathbb{R}\right\}$

Por lo tanto, $(x,y,z)=(1,2,3)+\lambda(1,0,1)$ y es una recta.
2.

Consideramos $P=(1,2,3)$ y $S=\langle(1,0,1),(1,0,0)\rangle$ . Entonces $(x,y,z)=(1,2,3)+\lambda(1,0,1)+\mu(1,0,0,)$ y se obtiene un plano.
3.

$X=P+\langle v\rangle$ . Si $A=\mathbb{R}^{3}$ espacio afin estandar,

$X=\left\{p_{1},p_{2},p_{3}+\lambda(v_{1},v_{2},v_{3})\mid\lambda\in\mathbb{R}\right\}$

Luego $(x,y,z)=(p_{1},p_{2},p_{3})+\lambda(v_{1},v_{2},v_{3})$ (ecuacion parametrica de la recta). Esto es una generalizacion del ejemplo anterior.
4.

Sea $A=\mathbb{R}^{2}$ espacio afin estandar y $X=\left\{P\in\mathbb{R}^{2}\mid x\in[0,1],y=0\right\}\subseteq A$ .

$X=(0,0)+\overbrace{\left\{\vec{(0,0)(p_{1},p_{2})}\mid p_{2}=0,p_{1}\in[0,1]% \right\}}^{S}=\left\{(p_{1},0)\mid p_{1}\in[0,1]\right\}$

Como S no es subespacio, no es variedad afin.

Definición III.6.

Llamamos dimension de $X$ a la dimension de su subespacio director $S$ , es decir, $\dim X=\dim S_{X}$ .

Definición III.7.

Sea $X=P+S$ una variedad afin,

si $\dim S=0$ , $X=P$ y se llama punto
si $\dim S=1$ , $X$ se llama recta
si $\dim S=2$ , $X$ se llama plano
si $\dim S=\dim V-1$ , $X$ se llama hiperplano.

Observación III.2.

Si $\dim S=\dim V$ , $X=A$ .

Lema III.1.

Sea $X=P+S$ una variedad afin:

1.

Si $Q\in X$ entonces $X=Q+S$ .
2.

$S=\left\{\vec{PQ}\mid Q\in X\right\}=\left\{\vec{RQ}\mid R,Q\in X\right\}$

Demostración.

Como $X=P+S$ , sabemos que $S$ es un subespacio de $V$ .

1.

Veamos que $P+S=Q+S$ , donde $Q\in X$ .

$\subseteq)$

Sea $R\in P+S$ , es decir, $R=P+w$ donde $w\in S$ , $w=\vec{PR}$ .

$R=P+\vec{PR},\vec{PR}\in S\Rightarrow R=\underbrace{Q+\vec{QP}}_{P}+\vec{PR}$

$Q\in X$ asi que $\vec{QP}\in S$ . Como $\vec{QP}$ y $\vec{PR}$ pertenecen a $S$ y $S$ es subespacio, $\vec{QP}+\vec{PR}\in S$ y $R\in Q+S$ .

$\supseteq)$

$R=Q+\underbrace{\vec{QR}}_{\in S}=P+\vec{PQ}+\vec{QR}\in P+S$
2.

$X\neq\varnothing$ . Tomemos $P\in X$ , entonces $X=P+\left\{\vec{PQ}\mid Q\in X\right\}=\left\{Q\mid Q\in X\right\}$ . Tenemos que probar que $S=\left\{\vec{PQ}\mid Q\in X\right\}=\left\{\vec{RQ}\mid R,Q\in X\right\}$ .

Sabemos que se cumple $X=P+S\overset{1)}{=}R+S\;\forall R\in X$ . Luego $S=\bigcup_{R\in X}\left\{\vec{RQ}\mid Q\in X\right\}=\left\{\vec{RQ}\mid R,Q% \in X\right\}$ .

∎

Definición III.8 (Intersección de variedades).

Dadas las variedades $X_{i}=P_{i}+S_{i}$ con $i\in I$ (conjunto de indices finito o infinito).

Si $\cap X_{i}\neq 0$ , entonces $\cap X_{i}$ es de nuevo una variedad afin y se puede expresar como $\cap X_{i}=P+\cap S_{i}$ , donde $P\in\cap X_{i}$ .

Definición III.9 (Suma de variedades).

Dadas dos variedades $\begin{cases}X_{1}=P_{1}+S_{1}\\ X_{2}=P_{2}+S_{2}\end{cases}$ , se define

X_{1}+X_{2}=P_{1}+\langle S_{1},\vec{P_{1}P_{2}},S_{2}\rangle=P_{1}+S_{1}+S_{2% }+\langle\vec{P_{1}P_{2}}\rangle,\;P_{1}\in X_{1},P_{2}\in X_{2}

donde + es notación y $P_{1}$ puede ser tambien cualquier otro punto que este en $X_{1}$ o en $X_{2}$ .

$X_{1}+X_{2}$ es la menor variedad que contiene a $X_{1}$ y a $X_{2}$ .

Ejemplo III.3.

Sea $A=\mathbb{R}^{2}$ espacio afin estandar y tres puntos $P_{1},P_{2},P_{3}\in A$ . Veamos que es $P_{1}+P_{2}$ .

Sabemos que $P_{1}=P_{1}+\left\{0_{V}\right\}$ (variedad) y $P_{2}=P_{2}+\left\{0_{V}\right\}$ (tambien variedad). Entonces

P_{1}+P_{2}=P_{1}+\langle 0_{V},0_{V},\vec{P_{1}P_{2}}\rangle=P_{1}+\langle% \vec{P_{1}P_{2}}\rangle

La suma de estos dos puntos nos da la recta que pasa por ambos.

Supongamos que $P_{3}\notin P_{1}+P_{2}$ ,

P_{1}+P_{2}+P_{3}=(P_{1}+\langle\vec{P_{1}P_{2}}\rangle)+P_{3}+\left\{0_{V}% \right\}=P_{1}+\langle\vec{P_{1}P_{2},0_{V},\vec{P_{1}P_{3}}}=P_{1}+\langle% \vec{P_{1}P_{2}},\vec{P_{1}P_{3}}\rangle

Entonces $P_{1}+P_{2}+P_{3}$ forma un plano y tiene dimension 2 (si tuviera dimension 1, entonces $P_{3}$ estaria alineado con $P_{1}$ y $P_{2}$ y seria una recta).

7.1 Ecuaciones de una variedad respecto de un sistema de referencia

Sea $X=P+S$ una variedad afin y sea $R=\left\{O,B=\left\{v_{1},\ldots,v_{n}\right\}\right\}$ un sistema de referencia.

Supongamos que tenemos las coordenadas de $P$ respecto del sistema de referencia, $(P)_{R}=(p_{1},\ldots,p_{n})$ y una base de $S$ $\left\{s_{1},\ldots,s_{m}\right\}$ .

Consideramos $(s_{1})_{B},(s_{2})_{B},\ldots,(s_{m})_{B}$ $\Rightarrow$ escribimos la base de S en coordenadas respecto de $B$ por columnas en una matriz $A$ .

Queremos describir $X=P+S$ . Un punto $Q$ pertenece a $X$ si y solo si $Q=P+\vec{PQ}$ donde $\vec{PQ}\in S=\langle s_{1},\ldots,s_{m}\rangle$ $\iff Q=P+(\lambda_{1}s_{1}+\ldots+\lambda_{m}s_{m})$ para escalares $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{m}\in K\iff\vec{OQ}=\vec{O(P+(\lambda_{1}s_{1}+% \cdots+\lambda_{m}s_{m}))}=\vec{OP}+(\lambda_{1}s_{1}+\cdots+\lambda_{m}s_{m})$ para escalares $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{m}\in K$ $\iff(\vec{OQ})_{B}=(\vec{OP})_{B}+(\lambda_{1}s_{1}+\ldots+\lambda_{m}s_{m})$ para escalares $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{m}\in K$ . Entonces

\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p_{1}\\ \vdots\\ p_{n}\\ \end{pmatrix}+A\cdot\begin{pmatrix}\lambda_{1}\\ \vdots\\ \lambda_{m}\\ \end{pmatrix}\quad\text{ ec. parametricas de la variedad.}

Segun cambian $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{m}$ se obtienen todos los puntos de la variedad.

Ejemplo III.4.

Sea $A=\mathbb{R}^{3}$ e. afin estandar y el sistema de referencia $RC=\left\{(0,0,0),BC\right\}$ . Sea la variedad $X=(1,2,3)+\langle(4,5,6)\rangle$ .

(P)_{RC}=\vec{(0,0,0),(1,2,3)}=1(1,0,0)+2(0,1,0)+3(0,0,1)

S=\langle(4,5,6)_{BC}\rangle\quad A=\begin{pmatrix}4\\ 5\\ 6\\ \end{pmatrix}

Entonces las ecuaciones parametricas de la recta respecto de RC son

\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\ 5\\ 6\\ \end{pmatrix}\cdot\lambda

que tambien se escriben como

\begin{cases}x=1+4\lambda\\ y=2+5\lambda\\ z=3+6\lambda\end{cases}

Tambien podemos obtener las ecuaciones implicitas. Despejando $\lambda,\lambda=\frac{x-1}{4}$ y

\begin{cases}y=2+\frac{5}{4}(x-1)\\ z=3+\frac{6}{4}(x-1)\end{cases}

Ejemplo III.5.

$X=P+S=(1,2,3)+\langle(4,5,6),(1,0,0)\rangle$ . Utilizando el sistema de referencia $RC$ ,

\begin{array}[]{c}(P)_{RC}=(1,2,3)\\ A=\begin{pmatrix}4&1\\ 5&0\\ 6&0\\ (s_{1})_{BC}&(s_{2})_{BC}\end{pmatrix}\end{array}

Luego $Q\in X\iff(Q)_{RC}=(x,y,z)$ y cumple

\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4&1\\ 5&0\\ 6&0\\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\lambda_{1}\\ \lambda_{2}\\ \end{pmatrix}

Por tanto, las ecuaciones parametricas son

\begin{cases}x=1+4\lambda_{1}+\lambda_{2}\\ y=2+5\lambda_{1}\\ z=3+6\lambda_{1}\end{cases}\Rightarrow 6y-5z=-3\;\forall x

Quitando parametros, obtenemos $6y-5z=-3$ para todo $x$ (porque $x$ toma infinitos valores al estar $\lambda_{2}$ solamente en su ecuacion). Esto es la ecuacion implicita.

A partir de las ecuaciones parametricas, operamos entre ellas para “librarnos” de los parametros, y obtenemos un sistema del tipo

\begin{cases}\beta_{11}x_{1}+\cdots+\beta_{1n}x_{n}=b_{1}\\ \beta_{21}x_{1}+\cdots+\beta_{2n}x_{n}=b_{2}\\ \cdots\\ \beta_{n1}x_{1}+\cdots+\beta_{nn}x_{n}=b_{n}\end{cases}

Estas son las ecuaciones implicitas de la variedad. Cada una de estas ecuaciones es la ecuacion implicita de un hiperplano.

Ejemplo III.6.

En $\mathbb{R}^{3}$ , las rectas tienen dos ecuaciones implicitas, cada una de ellas siendo la ecuacion de un plano. La recta es la interseccion de dos planos.

Las ecuaciones implicitas de una variedad son un sistema de ecuaciones lineales. Reciprocamente, las soluciones de un sistema lineal representan las coordenadas de los puntos de una variedad afin respecto de un sistema de referencia.

Caso particular de un hiperplano

Sea $A$ un espacio afin y $\dim A=n=\dim V$ . Sea $R=\left\{O,B\right\}$ sistema de referencia.

Consideramos $\pi=P+S$ donde $\dim S=n-1$ (hiperplano) y $S=\langle s_{1},\ldots,s_{n-1}\rangle$ (base de $S$ ).

Si $(P)_{R}=(\vec{OP})_{B}=(p_{1},\ldots,p_{n})$ y $A$ es la matriz con $(s_{i})_{B}$ por columnas, un punto $Q$ de coordenadas $(x_{1},\ldots,x_{n})$ respecto de $R$ pertenece a $\pi$ si y solo si $\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p_{1}\\ \vdots\\ p_{n}\\ \end{pmatrix}+A\cdot\begin{pmatrix}\lambda_{1}\\ \vdots\\ \lambda_{n-1}\\ \end{pmatrix}$ para ciertos $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n-1}\in K$ . Entonces las ecuaciones parametricas son

\begin{cases}x_{1}=p_{1}+a_{11}\lambda_{1}+\cdots+a_{n-1}\lambda_{n-1}\\ x_{2}=p_{2}+a_{21}\lambda_{1}+\cdots+a_{2n-1}\lambda_{n-1}\\ \cdots\\ x_{n}=p_{n}+a_{n1}\lambda_{1}+\cdots+a_{nn-1}\lambda_{n-1}\end{cases}

Eliminando los parametros llegamos a la ecuacion implicita del hiperplano,

\beta_{1}x_{1}+\cdots+\beta_{n}x_{n}=b

(forma de pasar de implicitas a parametricas).

Ejemplo III.7.

Ecuaciones implicitas de $X$ $\begin{cases}x+y+z=3\\ y+2z=7\end{cases}$ .

Solucion: $y=7-2z$ .

x+7-2z+z=3\Rightarrow x-z=-4\Rightarrow x=z-4,

\begin{cases}x=-4+\lambda_{1}\\ y=7-2\lambda_{1}\\ z=\lambda_{1}\end{cases}

es decir,

\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\ 7\\ 0\\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\ -2\\ 1\\ \end{pmatrix}\cdot\lambda_{1}

Ejemplo III.8.

$\pi=x+y+z=3$ (ec implicita). Pasar a parametrica:

\begin{rcases}x=3-\lambda-\mu\\ y=\lambda\\ z=\mu\end{rcases}

\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\ 0\\ 0\\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1&-1\\ 1&0\\ 0&1\\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\lambda\\ \mu\\ \end{pmatrix}

Como cambia la ecuacion implicita de un huperplano al cambiar de sistema de referencia?

Sea $\pi=P+S$ un hiperplano y $R=\left\{O,B\right\}$ y $\tilde{R}=\left\{\tilde{O},\tilde{B}\right\}$ sistemas de referencia.

Si $(x_{1},\ldots,x_{n})$ son las coordenadas de un punto respecto de $R$ y $(\tilde{x_{1}},\ldots,\tilde{x_{n}})$ son las coordenadas del mismo punto respecto de $\tilde{R}$ ,

\left(\begin{array}[]{c}1\\ \hline\cr x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\end{array}\right)=\underbrace{\left(\begin{array}[]{c|c}1&0\cdots\cdots% \\ \hline\cr\alpha_{1}&\\ \vdots&M(\tilde{B},B)\\ \alpha_{n}&\end{array}\right)}_{Q}\cdot\left(\begin{array}[]{c}1\\ \hline\cr\tilde{x_{1}}\\ \vdots\\ \tilde{x_{n}}\end{array}\right)

Supongamos que $\pi$ respecto de $R$ es $a_{0}+a_{1}x_{1}+\cdots+a_{n}x_{n}=0$ y respecto de $\tilde{R}$ es $\tilde{a_{0}}+\tilde{a_{1}}\tilde{x_{1}}+\cdots+\tilde{a_{n}}\tilde{x_{n}}$ . Queremos relacionar $a_{0},\ldots,a_{n}$ con $(\tilde{a_{0}},\ldots,\tilde{a_{n}})$ .

Sea $Q\in\pi$ ,

\begin{cases}(Q)_{R}=(q_{1},\ldots,q_{n})\in\pi\iff a_{0}+a_{1}q_{1}+\cdots+a_% {n}q_{n}=0\iff\begin{pmatrix}a_{0}&a_{1}&\cdots&a_{n}\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ q_{1}\\ \vdots\\ q_{n}\\ \end{pmatrix}=0=\\ \quad=\begin{pmatrix}a_{0}&\cdots&a_{n}\\ \end{pmatrix}Q\begin{pmatrix}1\\ \tilde{q_{1}}\\ \vdots\\ \tilde{q_{n}}\\ \end{pmatrix}\\ (Q)_{\tilde{R}}=(\tilde{q_{1}},\ldots,\tilde{q_{n}})\in\pi\iff\tilde{a_{0}}+% \tilde{a_{1}}\tilde{q_{1}}+\cdots+\tilde{a_{n}}\tilde{q_{n}}=0\iff\begin{% pmatrix}\tilde{a_{0}}&\cdots&\tilde{a_{n}}\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ \tilde{q_{1}}\\ \vdots\\ \tilde{q_{n}}\\ \end{pmatrix}=0\end{cases}

Entonces $\exists\lambda\neq 0$ tal que $(\tilde{a_{0}},\ldots,\tilde{a_{n}})=\lambda(a_{0},\ldots,a_{n})Q$ . En la practica, cuando despejamos $(\tilde{a_{0}},\ldots,\tilde{a_{n}})$ en funcion de $(a_{0},\ldots,a_{n})$ y de Q podemos tomar cualquier valor de $\lambda$ con tal de que sea $\lambda\neq 0$ (ej $\lambda=1)$ .

Ejemplo III.9.

$A=\mathbb{R}^{3}$ espacio afin estandar.

Sea $RC=\left\{(0,0,0),BC\right\}$ y $\tilde{R}=\left\{(1,1,1),\tilde{B}=\left\{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)\right\}\right\}$ .

$X$ la variedad afin que pasa por $P$ y tiene subespacio director $S$ donde $(P)_{RC}=(0,0,1)$ , $S=\langle v\rangle$ con $(v)_{BC}=(1,1,-1)$ .

Respecto de RC: un punto $Q$ que tiene coordenadas respecto de $RC$ dado por $(x,y,z)$

$\text{Ec parametricas }\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\ 1\\ -1\\ \end{pmatrix}\cdot\lambda$

$\text{Ec implicitas }\begin{cases}x=\lambda\\ y=\lambda\\ z=1-\lambda\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x-y=0\\ 1-x-z=0\end{cases}(*)$
Respecto de $\tilde{R}$ : $(P)_{\tilde{R}}=(\vec{\tilde{O}P})_{\tilde{B}}=(\vec{(1,1,1)(0,0,1)})_{\tilde{% B}}=(-1,-1,0)_{\tilde{B}}=(\alpha,\beta,0)$ donde $(-1,-,1,0)=\alpha(1,1,1)+\beta(1,1,0)+\gamma(1,0,0)\Rightarrow(P)_{\tilde{R}}=% (0,-1,0)$ .

Por otro lado, $(v)_{\tilde{B}}=((1,1,-1))_{\tilde{B}}=(-1,2,0)$ .

$\text{Ec parametricas }\begin{pmatrix}\tilde{x}\\ \tilde{y}\\ \tilde{z}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ -1\\ 0\\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\ 2\\ 0\\ \end{pmatrix}\cdot\lambda$

$\text{Ec implicitas }\begin{cases}\tilde{z}=0\\ 1+2\tilde{x}+\tilde{y}=0\end{cases}$

Vamos a cambiar directamente las ecuaciones de los hiperplanos de (*) aprovechando la matriz del cambio de sistema de referencia (otra alternativa).

Q=\left(\begin{array}[]{c|ccc}1&0&0&0\\ \hline\cr 1&1&1&1\\ 1&1&1&0\\ 1&1&0&0\end{array}\right)

1º ecuacion: $x-y=0$

$\begin{pmatrix}0&1&-1&0\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ \end{pmatrix}$

Buscamos $\tilde{a_{0}}+\tilde{a_{1}}\tilde{x}+\tilde{a_{2}}\tilde{y}+\tilde{a_{3}}% \tilde{z}$ donde $\begin{pmatrix}\tilde{a_{0}}&\tilde{a_{1}}&\tilde{a_{2}}&\tilde{a_{3}}\\ \end{pmatrix}=\underbrace{\lambda}_{1}\begin{pmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ \end{pmatrix}\Rightarrow\begin{pmatrix}\tilde{a_{0}}&\tilde{a_{1}}&\tilde{a_{2% }}&\tilde{a_{3}}\\ \end{pmatrix}\cdot 1\cdot\begin{pmatrix}0&1&-1&0\\ \end{pmatrix}\cdot Q=\begin{pmatrix}0&0&0&1\\ \end{pmatrix}\Rightarrow\tilde{z}=0$ .
2º ecuacion: $1-x-z=0$ .

$\begin{pmatrix}1&-1&0&-1\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ \end{pmatrix}$

Buscamos $\tilde{a_{0}}+\tilde{a_{1}}\tilde{x}+\tilde{a_{2}}\tilde{y}+\tilde{a_{3}}% \tilde{z}$ donde $\begin{pmatrix}\tilde{a_{0}}&\tilde{a_{1}}&\tilde{a_{2}}&\tilde{a_{3}}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ \end{pmatrix}Q\Rightarrow\begin{pmatrix}\tilde{a_{0}}&\tilde{a_{1}}&\tilde{a_{% 2}}&\tilde{a_{3}}\\ \end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}1&-1&0&-1\\ \end{pmatrix}\cdot Q=\begin{pmatrix}-1&-2&-1&-1\\ \end{pmatrix}\Rightarrow-1-2\tilde{x}-\tilde{y}-\tilde{z}=0$ .

Aunque no es el mismo sistema que el anterior, son sistemas equivalentes.