Part I Formas bilineales y sesquilineales

Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo con característica distinta de 2 (en general, $\mathbb{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ o $\mathbb{Z}_{p}$ con $p\neq 2$ ).

Definition 3.24.

Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{K}$ . Definimos la aplicación

\displaystyle F\colon V\times V

\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{K}

\displaystyle(v_{1},v_{2})

\displaystyle{}\longmapsto F(v_{1},v_{2})

Decimos que:

•
$F$ es una forma bilineal si, $\forall v_{1},v^{\prime}_{1},v_{2},v^{\prime}_{2}\in V,\forall\alpha\in\mathbb% {K}$ ,
1. 1.
  
  $F(v_{1}+v^{\prime}_{1},v_{2})=F(v_{1},v_{2})+F(v^{\prime}_{1}+v_{2})$
2. 2.
  
  $F(v_{1},v_{2}+v^{\prime}_{2})=F(v_{1},v_{2})+F(v_{1},v^{\prime}_{2})$
3. 3.
  
  $F(\alpha v_{1},v_{2})=\alpha F(v_{1},v_{2})=F(v_{1},\alpha v_{2})$
•
$F$ es una forma sesquilineal si cumple 1 y 2 de la definición anterior y además
1. 3.
  
  $F(v_{1},\alpha v_{2})=\alpha F(v_{1},v_{2})$
2. 4.
  
  $F(\alpha v_{1},v_{2})=\overline{\alpha}F(v_{1},v_{2})$ , donde $\overline{\alpha}$ es el conjugado de $\alpha$ (en $\mathbb{R},\overline{\alpha}=\alpha$ ; en $\mathbb{C},$ si $\alpha=a+bi$ entonces $\overline{\alpha}=a-bi$ ).

Example 3.25.

1.

Considerando $V=\mathbb{R}^{2}$ .

El producto escalar estándar de dos vectores es $\langle(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})\rangle=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}$ .

$\begin{aligned} \langle,\rangle\colon\mathbb{R}^{2}\times\mathbb{R}^{2}&{}% \longrightarrow\mathbb{R}\\ ((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}))&{}\longmapsto x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}\end{aligned}% \qquad\text{ es forma bilineal y forma sesquilineal.}$

Tomando $V=\mathbb{C}^{2}$ ,

$\begin{aligned} \langle,\rangle\colon\mathbb{C}^{2}\times\mathbb{C}^{2}&{}% \longrightarrow\mathbb{C}\\ ((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}))&{}\longmapsto x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}\end{aligned}% \qquad\text{ es forma bilineal pero no sesquilineal.}$

Un ejemplo de forma sesquilineal en $\mathbb{C}^{2}$ se muestra en el ejemplo 2 (generalizado).
2.

Considerando $V=\mathbb{K}^{n}$ , una forma bilineal es

$\displaystyle F\colon\mathbb{K}^{n}\times\mathbb{K}^{n}$

$\displaystyle{}\longrightarrow K$

$\displaystyle((x_{1},\ldots,x_{n}),(y_{1},\ldots,y_{n}))$

$\displaystyle{}\longmapsto\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=\begin{pmatrix}x_{1}&\cdots% &x_{n}\\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}y_{1}\\ \vdots\\ y_{n}\\ \end{pmatrix}$

y una forma sesquilineal

$\displaystyle G\colon K^{n}\times K^{n}$

$\displaystyle{}\longrightarrow K$

$\displaystyle((x_{1},\ldots,x_{n}),(y_{1},\ldots,y_{n}))$

$\displaystyle{}\longmapsto\sum_{i=1}^{n}\overline{x_{i}}y_{i}=\begin{pmatrix}% \overline{x_{1}}&\cdots&\overline{x_{n}}\\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}y_{1}\\ \vdots\\ y_{n}\\ \end{pmatrix}$
3.

Para $V=\mathbb{K}_{2}[x]$ , con $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ ,

$\displaystyle F\colon V\times V$

$\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{K}$

$\displaystyle(p(x),q(x))$

$\displaystyle{}\longmapsto\int^{1}_{0}p(x)q(x)\;\mathrm{d}x$

es una forma bilineal.

Si quiero que sea sesquilineal,

$\displaystyle F\colon V\times V$

$\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{K}$

$\displaystyle(p(x),q(x))$

$\displaystyle{}\longmapsto\int^{1}_{0}\overline{p(x)}\cdot q(x)\;\mathrm{d}x$
4.

Sea $V=\mathbb{K}^{3}$ . Dada cualquier matriz $A\in$ $M_{3\times 3}(\mathbb{K})$ ,

$\displaystyle F\colon V\times V$

$\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{K}$

$\displaystyle((x_{1},x_{2},x_{3}),(y_{1},y_{2},y_{3}))$

$\displaystyle{}\longmapsto\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\ \end{pmatrix}\cdot A\cdot\begin{pmatrix}y_{1}\\ y_{2}\\ y_{3}\\ \end{pmatrix}$

es forma bilineal.
5.

Si $V=\mathbb{C}$ ,

$\displaystyle F\colon\mathbb{C}^{2}\times\mathbb{C}^{2}$

$\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{C}$

$\displaystyle((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}))$

$\displaystyle{}\longmapsto x_{1}y_{1}-3x_{1}y_{2}+2x_{2}y_{2}$

$\displaystyle G\colon\mathbb{C}^{2}\times\mathbb{C}^{2}$

$\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{C}$

$\displaystyle((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}))$

$\displaystyle{}\longmapsto\overline{x_{1}}y_{1}-3\overline{x_{1}}y_{2}+2% \overline{x_{2}}y_{2}$

son bilineales.

Proposition 3.26 (Propiedades básicas).

Sea $V$ un $\mathbb{K}$ espacio vectorial, $F$ una forma bilineal o sesquilineal y $v_{1},v_{2}\in V$ , se tiene que

1.

$F(v_{1},\vec{0})=0=F(\vec{0},v_{2})$
2.

Si $V$ es $\mathbb{C}$ -espacio vectorial, $F\colon V\times V\to\mathbb{C}$ , entonces

$F\text{ bilineal y sesquilineal}\iff F=0\text{ (aplicacion nula)}$
3.
Si $F$ es bilineal, existen dos familias de aplicaciones lineales asociadas:
- •
  
  Si $v_{1}\in V$ es fijo, $F_{v_{1}}\colon V\to K,F_{v_{1}}(v_{2})\coloneqq F(v_{1},v_{2})$
- •
  
  Si $v_{2}\in V$ es fijo, $F_{v_{2}}\colon V\to K,F_{v_{2}}(v_{1})\coloneqq F(v_{1},v_{2})$
Sin embargo, si $F$ es sesquilineal solo tiene asociada una familia de aplicaciones lineales $F_{v_{1}}\colon V\to K,v_{2}\mapsto F(v_{1},v_{2})$ (la otra no es lineal en general porque los escalares salen “conjugados”).

Proof 3.27.

1.

$F(v_{1},\vec{0})=F(v_{1},\vec{0}+\vec{0})\overset{\begin{subarray}{c}\text{% Prop.}\\ 2\end{subarray}}{=}F(v_{1},\vec{0})+F(v_{1},\vec{0})\Rightarrow F(v_{1},\vec{0% })=0$ . El otro caso es análogo.
2.

$\Rightarrow$

] Supongamos que $F$ es bilineal y sesquilineal. Entonces $F(\alpha v_{1},v_{2})=\alpha F(v_{1},v_{2})$ (bilineal) y $F(\alpha v_{1},v_{2})=\overline{\alpha}F(v_{1},v_{2})$ (sesquilineal). Por tanto,

$\alpha F(v_{1},v_{2})=\overline{\alpha}F(v_{1},v_{2})\ \Rightarrow(\alpha-% \overline{\alpha})F(v_{1},v_{2})=0$

y tomando cualquier $\alpha$ tal que $\alpha\neq\overline{\alpha}$ , llegamos a que $F(v_{1},v_{2})=0\;\forall v_{1},v_{2}\in V$ .

$\Leftarrow$

] Obvio.
3.

Comprobar fácilmente, por definición.

Definition 3.28 (Matriz de una forma bilineal o sesquilineal).

Sea $V$ un $\mathbb{K}$ -espacio vectorial, $F\colon V\times V\to\mathbb{K}$ una forma bilineal o sesquilineal y $\mathcal{{B}}=\left\{v_{1},\ldots,v_{n}\right\}$ una base de $V$ .

Definimos la matriz de la forma bilineal/sesquilineal $F$ respecto de la base $\mathcal{{B}}$ como

M(F,B)=\begin{pmatrix}F(v_{1},v_{1})&F(v_{1},v_{2})&\cdots&F(v_{1},v_{n})\\ F(v_{2},v_{1})&F(v_{2},v_{2})&\cdots&F(v_{2},v_{n})\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ F(v_{n},v_{1})&F(v_{n},v_{2})&\cdots&F(v_{n},v_{n})\\ \end{pmatrix}\in\mathcal{{M}}_{m\times n}(\mathbb{K})

(en ocasiones escribiremos $M(F,B)=(F(v_{i},v_{j}))_{ij})\in\mathcal{{M}}_{n}(\mathbb{K})$ .

Que cumple esta matriz?

Si $\begin{cases}v=x_{1}v_{1}+\cdots+x_{n}v_{n}\in V;(v)_{\mathcal{{B}}}=(x_{1},% \ldots,x_{n})\\ w=y_{1}v_{1}+\cdots+y_{n}v_{n}\in V;(w)_{\mathcal{{B}}}=(y_{1},\ldots,y_{n})% \end{cases}$ entonces

•

Si $F$ es bilineal,

$\displaystyle F(v,w)$

$\displaystyle{}=F(x_{1}v_{1}+\cdots+x_{n}v_{n},y_{1}v_{1}+\cdots+y_{n}v_{n})=% \sum_{i,j=1}^{n}x_{i}y_{j}F(v_{i},v_{j})=$

$\displaystyle{}=\begin{pmatrix}x_{1}&\cdots&x_{n}\\ \end{pmatrix}\cdot M(F,\mathcal{{B}})\cdot\begin{pmatrix}y_{1}\\ \vdots\\ y_{n}\\ \end{pmatrix}$
•

Si $F$ es sesquilineal,

$\displaystyle F(v,w)$

$\displaystyle{}=F(x_{1}v_{1}+\cdots+x_{n}v_{n},y_{1}v_{1}+\cdots+y_{n}v_{n})=% \sum_{i,j=1}^{n}\overline{x_{i}}y_{j}F(v_{i},v_{j})=$

$\displaystyle{}=\begin{pmatrix}\overline{x_{1}}&\cdots&\overline{x_{n}}\\ \end{pmatrix}\cdot M(F,\mathcal{{B}})\cdot\begin{pmatrix}y_{1}\\ \vdots\\ y_{n}\\ \end{pmatrix}$

Example 3.29.

1.

A partir de la forma bilineal de 1) del ejemplo 3.25,

$M(F,\mathcal{{BC}})=\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0\\ 0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1\\ \end{pmatrix}=I$

porque $\begin{cases}F(e_{i},e_{i})=1\\ F(e_{i},e_{j})=0\end{cases}$ . Si la forma es sesquilineal, es lo mismo.
2.

Consideramos la forma bilineal de 3) del ejemplo 3.25 y la base canónica $\mathcal{{BC}}=\left\{1,x,x^{2}\right\}$ . Tengo que calcular cuanto vale $F(1,1),F(1,x),F(1,x^{2}),F(x,1),$ etc.

$\displaystyle F(1,1)$

$\displaystyle{}=\int^{1}_{0}1dx=[x]^{1}_{0}=1$

$\displaystyle F(1,x)$

$\displaystyle{}=\int^{1}_{0}x^{2}dxd=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]^{1}_{0}=% \frac{1}{3}$

$\displaystyle\cdots$

Una vez hemos hecho todos los cálculos, obtenemos que la matriz de la forma lineal es

M(F,\mathcal{{BC}})=\begin{pmatrix}1&\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\[6.0pt] \frac{1}{2}&\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\[6.0pt] \frac{1}{3}&\frac{1}{4}&\frac{1}{5}\end{pmatrix}

Dados dos polinomios cualesquiera de grado menor o igual que 2, ahora podemos calcular el resultado con

F(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2},b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2})=\begin{pmatrix}a_{0}&a_{1}&% a_{2}\\ \end{pmatrix}\cdot(M(F,BC))\cdot\begin{pmatrix}b_{0}\\ b_{1}\\ b_{2}\\ \end{pmatrix}

En el ejemplo 4) de 3.25, $M(F,BC)=A$ .

Remark 3.30.

Cambio de la matriz de $F$ cuando cambia la base de $V$ :

•

Si $F$ es bilineal:

Sean $\mathcal{{B}}=\left\{v_{1},\ldots,v_{n}\right\}$ y $\mathcal{{\tilde{B}}}=\left\{\tilde{v_{1}},\ldots,\tilde{v_{n}}\right\}$ bases de $V\Rightarrow M(F,\mathcal{{B}})=(F(v_{i},v_{j}))_{ij}=A$ y $M(F,\mathcal{{\tilde{B}}})=(F(\tilde{v_{i}},\tilde{v_{j}}))_{ij}=B$ .

Consideremos la matriz de cambio de base de $\mathcal{{\tilde{B}}}$ a $\mathcal{{B}}$ , $P=M(id,\mathcal{{\tilde{B}}},\mathcal{{B}})$ . Esta matriz cumple que $\forall v\in V$ , $P\cdot(v)^{t}_{\mathcal{{\tilde{B}}}}=(v)^{t}_{\mathcal{{B}}}\Rightarrow P% \cdot\begin{pmatrix}\tilde{x_{1}}\\ \vdots\\ \tilde{x_{n}}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\\ \end{pmatrix}$ .
Además, $\forall v,w\in V$ :
- –
  
  Si usamos $M(F,\mathcal{{B}})$ : $F(v,w)=(v)_{\mathcal{{B}}}\cdot A\cdot(w)^{t}_{\mathcal{{B}}}$
- –
  
  Si usamos $M(F,\mathcal{{\tilde{B}}})$ : $F(v,w)=(v)_{\mathcal{{\tilde{B}}}}\cdot B\cdot(w)^{t}_{\mathcal{{\tilde{B}}}}$
Por tanto,

$\begin{rcases}F(v,w)=(v)_{\mathcal{{\tilde{B}}}}\cdot P^{t}\cdot A\cdot P\cdot% (w)^{t}_{\mathcal{{\tilde{B}}}}\\ F(v,w)=(v)_{\mathcal{{\tilde{B}}}}\cdot B\cdot(w)^{t}_{\mathcal{{\tilde{B}}}}% \end{rcases}\overset{\forall v,w}{\Rightarrow}B=P^{t}\cdot A\cdot P$
•

Si $F$ es sesquilineal:

Sean $\mathcal{{B}},\mathcal{{C}}$ bases como antes y $P=M(id,\mathcal{{C}},\mathcal{{B}})$ matriz de cambio de base de $\mathcal{{C}}$ a $\mathcal{{B}}$ .

$\begin{rcases}F(v,w)=(\overline{v})^{t}_{\mathcal{{B}}}\cdot M(F,\mathcal{{B}}% )\cdot(w)_{\mathcal{{B}}}\\ F(v,w)=(\overline{v})^{t}_{\mathcal{{C}}}\cdot M(F,\mathcal{{C}})\cdot(w)_{% \mathcal{{C}}}\end{rcases}\Rightarrow B=\overline{P^{t}}\cdot A\cdot P$

Definition 3.31.

Dos matrices $A$ y $B$ se dicen congruentes si existe $P$ inversible tal que $B=P^{t}\cdot A\cdot P$ .

Dos matrices $A$ y $B$ se dicen congruentes hermíticas o hermitianas si existe $P$ inversible tal que $B=\overline{P^{t}}\cdot A\cdot P$ .

La relación de congruencia y “ser congruentes hermíticas” es de equivalencia en el conjunto de las matrices cuadradas (probar).

Hemos probado antes que todas las matrices de una misma forma bilineal son congruentes entre sí y todas las matrices de una misma forma sesquilineal son congruentes hermíticas entre sí.

Remark 3.32.

En ambos casos, congruente o congruente hermitiana, implica que $A$ y $B$ son equivalentes ( $\exists P,Q$ inversibles con $B=Q\cdot A\cdot P$ ) $\iff A$ y $B$ son matrices de la misma aplicación lineal $\iff A$ y $B$ tienen el mismo rango ( $rgF=\dim Imf=rgA=rgB$ ).

Definition 3.33 (Rango).

Se llama rango de una forma bilineal o sesquilineal al rango de cualquiera de sus matrices (respecto de cualquier base).

Definition 3.34.

Si $\mathrm{rg}(F)=n=\dim V$ , $F$ es regular o no degenerada.

Si $\mathrm{rg}(F)<n=\dim V$ , $F$ es singular o degenerada.

Definition 3.35 (Forma cuadrática).

Dada una forma bilineal o sesquilineal $F\colon V\times V\to\mathbb{K}$ definimos la forma cuadrática asociada a $F$ como:

\displaystyle q\colon V

\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{K}

\displaystyle v

\displaystyle{}\longmapsto q(v)=F(v,v)

Remark 3.36.

Si $F$ es bilineal, $q(\alpha v)=F(\alpha v,\alpha v)=\alpha^{2}F(v,v)=\alpha^{2}q(v)$ (“saca” los números al cuadrado).

Si $F$ es sesquilineal, $q(\alpha v)=F(\alpha v,\alpha v)=\overline{\alpha}\cdot\alpha\cdot F(v,v)=% \overline{\alpha}\cdot\alpha\cdot q(v)$ .

En los complejos, $\alpha=a+bi$ y $\overline{\alpha}=a-bi$ . Por tanto, $\overline{\alpha}\cdot\alpha=a^{2}+b^{2}=\left\lvert\alpha\right\rvert^{2}$ , con $\left|\alpha\right|$ el modulo complejo ( $\left|\alpha\right|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ ).

Definition 3.37 (Forma polar).

Sea $q$ una forma cuadrática asociada a una forma bilineal $F\colon V\times V\to\mathbb{K}$ , definimos las siguientes formas bilineales/sesquilineales asociadas:

1.

$\displaystyle F_{q}\colon V\times V$

$\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{K}$

$\displaystyle(v,w)$

$\displaystyle{}\longmapsto\overline{F}(v,w)=\frac{1}{2}(q(v+w)-q(v)-q(w))$
2.

$\displaystyle\overline{F_{q}}\colon V\times V$

$\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{K}$

$\displaystyle(v,w)$

$\displaystyle{}\longmapsto\overline{F}(v,w)=\frac{1}{2}(q(v+w)-q(v)-q(w))-% \frac{i}{2}(q(v+iw)-q(v)-q(w))$