7 Mas sobre grupos

7.1 Centro, centralizador y normalizador

Definición 7.1 (Centro de un grupo).

Sea $G$ un grupo. Se define el centro de $G$ como el conjunto

Z(G)\coloneqq\left\{x\in G\mid\forall g\in G\;gx=xg\right\}

Proposición 7.1.

$Z(G)$ es subgrupo normal de $G$ .
$G$ es abeliano si y solo si $G=Z(G)$ .

Demostración.

Veremos dentro de un rato que $Z(G)=Ker(\hat{\varphi})$ donde $\hat{\varphi}$ es un homomorfismo de grupos, y por tanto $Z(G)\leq G$ .
Trivial.

∎

Ejemplo 7.1.

1.

$G=S_{3}=\left\{id,(123),(132),(13),(23),(12)\right\}$ .

$\sigma=(1)2)\in Z(G)$ ? $(12)(13)=(132)$ , $(13)(12)=(123)$ . Luego $(12)\notin Z(G)$ . Analogamente, $(13)\notin Z(G)$ .

$\mu=(123)\in Z(G)$ ? $(123)(12)=(123)$ , $(12)(123)=(23)\Rightarrow\mu\notin Z(G)$ . De modo analogo, $(132)\notin Z(G)$ (es su cuadrado).

Luego, en este ejemplo, $Z(G)=\left\{id\right\}$ .
2.

$G=D_{4}=\left\{id,(1234),(13)(24),(1432),(24),(12)(34),(13),(14)(23)\right\}$ .

$\sigma=(1234)\in Z(G)$ ? $(1234)(24)=(12)(34)$ , $(24)(1234)=(14)(23)$ . Como son distintos, $\sigma\notin Z(G)$ . De la misma manera $(1432)\notin Z(G)$ .

$\sigma^{2}=(13)(24)\in Z(G)$ ? $(13)(24)(12)(34)=(14)(32)$ , $(12)(34)(13)(24)=(14)(32)\Rightarrow$ conmutan. Probamos con $(14)(23)\Rightarrow(13)(24)(14)(23)=(12)(34)$ , $(14)(23)(13)(24)=(12)(34)$ . Ademas, conmuta con $\sigma^{n}$ por ser potencias y con $\tau_{1}$ porque se tachan los $(24)$ .

$\tau_{2}=(12)(34)\in Z(G)$ ? $(12)(34)(24)=(1234)$ y $(24)(12)(34)=(1432)$ . Luego $\tau_{2}\notin Z(G)$ .

Por el teorema de Lagrange, $Z(G)$ no puede tener 3 elementos. Descartamos $\tau_{4}$ .

Por tanto, $Z(G)=\left\{id,(13)(24)\right\}$ .
3.

$G=\left\{A\in\mathcal{{M}}_{2}(\mathbb{R})\mid|A|\neq 0\right\}$ .

$AB=BA\quad\forall B\Rightarrow A=\begin{pmatrix}\lambda&0\\ 0&\lambda\\ \end{pmatrix}\;\lambda\neq 0$ .

Para $n$ , $GL_{n}=\left\{A\in\mathcal{{M}}_{n}(\mathbb{R})\mid|A|\neq 0\right\}$ . Se tiene que $Z(GL_{n})=\left\{\lambda I_{n}\mid\lambda\neq 0\right\}$ .

Definición 7.2 (Centralizador de un conjunto en un grupo).

Sean $G$ un grupo y $H$ un subgrupo de G. Se define el centralizador de $H$ en $G$ como el conjunto

C_{G}(H)\coloneqq\left\{x\in G\mid\forall h\in H\quad xh=hx\right\}=\left\{x% \in G\mid\forall h\in H\quad xhx^{-1}=h\right\}

Definición 7.3 (Normalizador de un conjunto en un grupo).

Sean $G$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G$ . Se define el normalizador de $H$ en $G$ como el conjunto

N_{G}(H)\coloneqq\left\{x\in G\mid xH=Hx\right\}=\left\{x\in G\mid xHx^{-1}=H\right\}

7.2 Acciones de grupos

Definición 7.4 (Accion de un grupo sobre un conjunto).

Sean $G$ un grupo y $X$ un conjunto no vacio. Una accion (por la izquierda) de $G$ sobre $X$ es una aplicacion

\displaystyle\phi\colon G\times X

\displaystyle{}\longrightarrow X

\displaystyle(g,x)

\displaystyle{}\longmapsto\phi(g,x)=g\cdot x

que cumple:

1.

Si $e$ es el neutro de $G,$ entonces $g\cdot x=x$
2.

$g_{1}\cdot(g_{2}\cdot x)=(g_{1}g_{2})\cdot x\quad\forall g_{1},g_{2}\in G,\;% \forall x\in X$ .

Usamos la notacion $\cdot$ para la accion. Si queremos denotar que estamos operando dos elementos del grupo ponemos uno a continuacion del otro, sin nada en medio.

Proposición 7.2.

Dada una accion $\varphi\colon G\times X\to X$ , podemos definir un homomorfismo asociado

\displaystyle\hat{\phi}\colon G

\displaystyle{}\longrightarrow S(X)=\left\{\sigma\colon X\to X\mid\sigma\text{% biyectiva}\right\}

\displaystyle g

\displaystyle{}\longmapsto\phi_{g}

con

\displaystyle\phi_{g}\colon X

\displaystyle{}\longrightarrow X

\displaystyle x

\displaystyle{}\longmapsto\phi_{g}(x)=g\cdot x

Demostración.

Veamos que $\hat{\phi}$ esta bien definida y que es homomorfismo de grupos:

Bien definida: $\phi_{g}\colon X\to X$ es una biyeccion de $X$ ?
- •
  
  Inyectiva: si $g\cdot x_{1}=g\cdot x_{2}$ entonces $g^{-1}(g\cdot x_{1})=g^{-1}(g\cdot x_{2})\overset{2)}{\Rightarrow}(g^{-1}\cdot g% )\cdot x_{1}=(g^{-1}\cdot g)\cdot x_{2}\overset{1)}{\Rightarrow}e\cdot x_{1}=e% \cdot x_{2}\Rightarrow x_{1}=x_{2}$ .
- •
  
  Suprayectiva: si $y\in X$ , $\exists x\in X$ tal que $g\cdot x=y\Rightarrow x=g^{-1}y$ ?
  
  $y=g\cdot\underbrace{(g^{-1}\cdot y)}_{\in X}=\phi_{g}(g^{-1}\cdot y)=y$
Homomorfismo: $g_{1},g_{2}\in G$
- •
  
  $\hat{\phi}(g_{1}\cdot g_{2})=\begin{aligned} \phi_{g_{1}\cdot g_{2}}\colon X&{% }\to X\\ x_{2}&{}\mapsto(g_{1}g_{2})\cdot x\end{aligned}$
- •
  
  $\begin{aligned} \hat{\phi}(g_{1})\cdot\hat{\phi}(g_{2})\colon X&{}\to X\\ x&{}\mapsto g_{1}(g_{2}x)\end{aligned}$ (composicion)

∎

Definición 7.5.

Una accion es fiel si $Ker\hat{\phi}=\left\{e\right\}$ .

Ejemplo 7.2.

1.
Si $\sigma$ es un grupo y $x=\sigma$ , podemos definir

$\displaystyle\varphi\colon X$

$\displaystyle{}\longrightarrow X$

$\displaystyle(g,x)$

$\displaystyle{}\longmapsto g\cdot x=gxg^{-1}$

Es accion?
- $e\cdot x=exe^{-1}=x\quad\forall x\in X=G$
- $g_{1}\cdot(g_{2}\cdot x)=g_{1}\cdot(g_{2}xg^{-1}_{2})=g_{1}(g_{2}xg^{-1}_{2})g% ^{-1}_{1}=(g_{1}g_{2})x(g_{1}g_{2})^{-1}=(g_{1}g_{2})\cdot x$
Si es una accion.
Veamos su homomorfismo asociado.

$\displaystyle\hat{\varphi}\colon G$

$\displaystyle{}\longrightarrow Biy(x)$

$\displaystyle g$

$\displaystyle{}\longmapsto\hat{\varphi}(g)=\varphi_{g}\colon X\to X,x\mapsto gxg% ^{-1}$

$Ker\hat{\varphi}=\left\{g\in G\mid\varphi_{g}=id\right\}=\left\{y\in G\mid gxg% ^{-1}=x\;\forall x\in X=G\right\}=\left\{g\in G\mid gx=xg\;\forall x\in G% \right\}=Z(G)$ y $Ker\hat{\varphi}\trianglelefteq G\Rightarrow Z(G)\trianglelefteq G$ (resultado que faltaba por probar).
2.
$G$ grupo, $X=\left\{H\text{ tal que }H\leq G\right\}$ .

$\displaystyle\varphi\colon G\times X$

$\displaystyle{}\longrightarrow X$

$\displaystyle(g,H)$

$\displaystyle{}\longmapsto\varphi((g,H))=gHg^{-1}$
- Bien definida? $gHg^{-1}$ es subgrupo de $G$ ?
  
  Cerrado para el producto: sean $gh_{1}g^{-1}$ , $gh_{2}g^{-1}\in K\Rightarrow(gh_{1}g^{-1})(gh_{2}g^{-1})=gh_{1}h_{2}g^{-1}\in K$ .
  
  Contiene inversos: $ghg^{-1}\in K$ , $(ghg^{-1})^{-1}=gh^{-1}g^{-1}\in K$ .
Veamos que es accion (accion por conjugacion sobre el conjunto de los subgrupos):
1. a)
  
  $e\cdot H=eHe^{-1}=H\;\forall H\in X$
2. b)
  
  $g_{1}\cdot(g_{2}\cdot H)=g_{1}(g_{2}Hg^{-1}_{2})g^{-1}_{1}=g_{1}g_{2}H(g_{1}g_% {2})^{-1}$ .
Defino

$\displaystyle\hat{\varphi}\colon G$

$\displaystyle{}\longrightarrow Biy(X)$

$\displaystyle g$

$\displaystyle{}\longmapsto\varphi_{g}\colon X\to X,H\mapsto gHg^{-1}$

$Ker\hat{\varphi}=\left\{g\in G\mid\varphi_{g}=id\right\}=\left\{g\in G\mid gHg% ^{-1}=H\quad\forall H\in X\right\}=\left\{g\in G\mid gH=Hg\quad\forall H\in X% \right\}=\bigcap_{H\in X}N(H)$
3.
Sea $G$ un grupo y $X=G$ .
- Accion por traslacion a la izquierda.
  
  $\displaystyle\varphi\colon G\times X$
  
  $\displaystyle{}\longrightarrow X$
  
  $\displaystyle(g,x)$
  
  $\displaystyle{}\longmapsto\varphi(g,x)=gx$
  
  Ver que es accion y comprobar que es fiel.
- Accion por traslacion a la derecha.
  
  $\displaystyle\varphi\colon G\times X$
  
  $\displaystyle{}\longrightarrow X$
  
  $\displaystyle(g,x)$
  
  $\displaystyle{}\longmapsto\varphi((g,x))=xg^{-1}$
  
  Ver que es accion y comprobar que es fiel.

Definición 7.6.

Si $\varphi\colon G\times X\to X$ es una accion en $X$ podemos definir la siguiente relacion:

x\equiv_{\varphi}y\iff\exists g\in G\text{ tal que }\varphi(g,x)=y

Proposición 7.3.

La relacion $\equiv_{\varphi}$ es una relacion de equivalencia en $X$ .

Demostración.

Veamos que cumple las propiedades de relacion de equivalencia:

1.

Reflexiva: $x\equiv_{\varphi}x$ porque $e\cdot x=x$
2.

Simetrica: si $x\equiv_{\varphi}y$ , $\exists g\in G$ con $g\cdot x=y$ , es decir, $\varphi_{g}(x)=y$ . Como $\varphi_{g}$ es biyectiva, $g^{-1}\cdot y=x\Rightarrow y\equiv_{\varphi}x$ .
3.

Transitiva: si $x\equiv_{\varphi}y$ , $y\equiv_{\varphi}z\Rightarrow\exists g_{1}\in G\mid g_{1}\cdot x=y$ , $\exists g_{2}\in G\mid g_{2}\cdot y=z\;(y=g^{-1}_{2}\cdot z)\Rightarrow g_{1}% \cdot x=g^{-1}_{2}\cdot z\Rightarrow g_{2}\cdot g_{1}\cdot x=g_{2}\cdot g^{-1}% _{2}\cdot z\Rightarrow g_{2}g_{1}\cdot x=z\Rightarrow x\equiv_{\varphi}z$ .

∎

Definición 7.7.

Dado $x\in X$ , se llama orbita de $x$ bajo la accion de $\varphi$ al conjunto:

orb(x)\coloneqq\left\{y\in X\mid x\equiv_{\varphi}y\right\}=\left\{y\in X\mid% \exists g\in G\text{ tal que }g\cdot x=y\right\}\mathchar 46\relax

Notese que las orbitas son las clases de equivalencia de la relacion $\equiv_{\varphi}$ y forman, por tanto, una particion de $X$ .

Definición 7.8.

Una accion es transitiva si solo hay una orbita

orb(X)=X\text{, es decir, }\forall x,y\in X\quad\exists g\in G\text{ tal que }% g\cdot x=y

Definición 7.9.

Sean $x\in B$ y $\varphi$ una accion. Se define el estabilizador de $x$ como el conjunto

S_{x}=\left\{g\in G\mid g\cdot x=x\right\}

Una notacion alternativa para el estabilizador es $Stab_{G}(x)$ . Notese que el estabilizador de $x$ esta formado por los elementos de $G$ que dejan fijo $x$ cuando actuan sobre el.

Proposición 7.4.

$\forall x\in B$ , $S_{x}$ es un subgrupo de $G$ .

Demostración.

Veamos que $S_{x}\leq G$ .

Si $g_{1},g_{2}\in Stab_{G}(x)$ , $g_{1}g_{2}\in Stab_{G}(x)$ ?

$(g_{1}g_{2})\cdot x\overset{2)}{=}g_{1}\cdot(g_{2}\cdot x)\overset{g_{2}\in S(% x)}{=}g_{1}\cdot x\overset{g_{1}\in S(x)}{=}x\Rightarrow g_{1}g_{2}\in Stab_{G% }(x)$
Si $g\in Stab_{G}(x)$ , $g^{-1}\in Stab_{G}(x)$ ?

$g^{-1}\cdot x\overset{g\cdot x=x}{=}g^{-1}\cdot(g\cdot x)\overset{2)}{=}% \underbrace{(g^{-1}g)}_{e}\cdot x\overset{1)}{=}x\text{, es decir, }g^{-1}\in Stab% _{G}(x)$

∎

Sea

\displaystyle\hat{\varphi}\colon G

\displaystyle{}\longrightarrow Biy(x)

\displaystyle g

\displaystyle{}\longmapsto\hat{\varphi}(g)=\varphi_{g}

Vamos a calcular $Ker\hat{\varphi}$ :

Ker\hat{\varphi}=\left\{g\in G\mid\varphi_{g}=id\right\}=\left\{g\in G\mid g% \cdot x=x\quad\forall x\in X\right\}=\bigcap_{x\in X}Stab_{G}(x)

Ejemplo 7.3.

Si $\varphi$ es la accion por conjugacion $X=G$

\displaystyle\varphi\colon G\times X

\displaystyle{}\longrightarrow X

\displaystyle(g,x)

\displaystyle{}\longmapsto\varphi((g,x))=gxg^{-1}

Para $x\in X=G,$ $Stab_{G}(x)=\left\{g\in G\mid g\times x=x\right\}=\left\{g\in G\mid gxg^{-1}=x% \right\}=\left\{g\in G\mid gx=xg\right\}=C_{G}(\left\{x\right\})\leq G% \mathchar 46\relax$ Como consecuencia de esto, hemos obtenido que el centralizador es un subgrupo.

Ker\hat{\varphi}=\bigcap_{x\in X}Stab_{G}(x)=\bigcap_{x\in X}C_{G}(\left\{x% \right\})=\left\{g\in G\mid gx=xg\quad\forall x\in X\right\}=Z(G)

Teorema 7.1 (de la orbita).

Sea $\varphi$ una accion de un grupo $G$ sobre un conjunto $X$ . Consideramos $H=Stab_{G}(x)\leq G$ .

Consideramos $\left\{g\cdot Stab_{G}(x)\mid g\in G\right\}$ (conjunto de clases a la izquierda respecto de la relacion ser congruente a izquierda modulo H). Podemos definir una biyeccion entre $\left\{gStab_{G}(x)\mid g\in G\right\}$ y $orb(x)$ dada por

\displaystyle f\colon\left\{gStab_{G}(x)\mid g\in G\right\}

\displaystyle{}\longrightarrow orb(x)

\displaystyle gStab_{G}(x)

\displaystyle{}\longmapsto g\cdot x

En particular $[G:Stab_{G}(x)]=|orb(x)|$ .

Demostración.

Vamos a ver que $f$ es una biyeccion. En primer lugar, veamos que esta bien definida: si $g_{1}Stab_{G}(x)=g_{2}Stab_{G}(x)$ , entonces $g^{-1}_{1}g_{2}\in Stab_{G}(x)\Rightarrow(g^{-1}_{1}g_{2})\cdot x=x\Rightarrow g% _{1}\cdot((g^{-1}_{1}g_{2})\cdot x)=g_{1}\cdot x\Rightarrow(g_{1}g^{-1}_{1}g_{% 2})\cdot x=g_{1}\cdot x\Rightarrow g_{2}\cdot x=g_{1}\cdot x$ . Por lo tanto, $f(g_{1}Stab_{G}(x))=f(g_{2}Stab_{G}(x))$ .

Veamos que es inyectiva. Si $f(g_{1}Stab_{G}(x))=f(g_{2}Stab_{G}(x))\Rightarrow g_{1}\cdot x=g_{2}\cdot x% \Rightarrow g^{-1}_{1}\cdot(g_{2}\cdot x)=g^{-1}_{1}\cdot(g_{2}\cdot x)% \Rightarrow(g^{-1}_{1}g_{1})\cdot x=(g^{-1}_{1}g_{2})\cdot x\Rightarrow x=(g^{% -1}_{1}g_{2})\cdot x$ . Luego $g^{-1}_{1}g_{2}\in Stab_{G}(x)\Rightarrow g_{1}\equiv_{i}g_{2}\allowbreak% \mkern 18.0mu({\operator@font m\acute{o}d}\,\,{Stab_{G}(x)}\Rightarrow g_{1})% Stab_{G}(x)=g_{2}Stab_{G}(x)$ .

Nos falta ver que es suprayectiva. Sea $y\in orb(x)$ , es decir, $\exists g\in G$ tal que $g\cdot x=y$ . Entonces $f(gStab_{G}(x))=y$ porque, por definicion, $g\cdot x=y$ .

Por tanto, $[G:Stab_{G}(x)]=|orb(x)|$ . ∎

Observación 7.1.

En el caso de que $G$ sea un grupo finito, el teorema anterior nos da la relacion:

|orb(x)|=\frac{|G|}{|S_{x}|}

por el teorema de Lagrange.

7.3 Clasificacion de grupos

Definición 7.10 (Conjunto generador).

Sean $G$ un grupo y $\varnothing\neq S\subseteq G$ . Decimos que $S$ es un conjunto generador de $G$ si todo elemento de $G$ se puede escribir como producto finito (que puede ser de un solo factor) de elementos de $S$ y de inversos de elementos de $S$ .

Definición 7.11 (Grupo finitamente generado).

Decimos que un grupo $G$ es finitamente generado si existe un conjunto $S$ finito y generador de $G$ .

Observación 7.2.

Si $G$ es finito, es obvio que $G$ es finitamente generado y se puede tomar como conjunto generador al propio $G$ .

Observación 7.3.

Si $G$ es ciclico y $G=\langle a\rangle$ , $S=\left\{a\right\}$ es el conjunto generador de $G$ .
$D_{n}$ tiene como conjunto generador $\left\{\sigma,\tau\right\}$ donde $\sigma$ es el giro de angulo $2\pi/n$ en sentido positivo y $\tau$ es una simetria cualquiera.
$S_{n}$ esta generado por el conjunto de las trasposiciones: $S=\left\{(ab)\mid a,b\in\left\{1,\ldots,n\right\}\right\}$ es un conjunto generador de $S_{n}$ porque todo $\sigma\in S_{n}$ se escribe como producto de trasposiciones.
Si $G=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\times\cdots\times Z=\mathbb{Z}^{m}$ , $S=\left\{(1,0,\ldots,0),(0,1,\ldots,0),\ldots,(0,0,\ldots,0,1)\right\}$ es un conjunto generador de $\mathbb{Z}^{m}$ .

Los dos siguientes teoremas proporcionan una clasificacion de los grupos abelianos finitamente generados. Ambas clasificaciones son equivalentes, simplemente cambia la presentacion de los grupos.

Teorema 7.2 (Descomposicion en factores invariantes).

Sea $G$ un grupo abeliano finitamente generado con $|G|\geq 2$ . Entonces existen $m\text{ (rango de la parte libre)},k_{1},\ldots,k_{n}\in\mathbb{N}\cup\left\{0% \right\}\text{ (factores invariantes de }G\text{)}$ tales que

$\forall j\in\left\{1,\ldots,n\right\}\quad k_{j}\geq 2$
$\forall j\in\left\{1,\ldots,n-1\right\}\quad k_{j}|k_{j+1}$
$G\cong\underbrace{\mathbb{Z}^{m}}_{\begin{subarray}{c}\text{parte}\\ \text{libre}\end{subarray}}\times\underbrace{\mathbb{Z}_{k_{1}}\times\mathbb{Z% }_{k_{2}}\times\cdots\times\mathbb{Z}_{k_{n}}}_{\text{ parte de torsion}}$

donde

$\mathbb{Z}^{0}$ se interpreta como que no aparece este factor.
Se incluye el caso en el que solo aparece un factor de tipo $\mathbb{Z}^{m}$ .

Ademas los numeros $m,k_{1},k_{2},\ldots,k_{n}$ son unicos cumpliendo estas condiciones.

Ejemplo 7.4.

Descomposicion de todos los grupos abelianos de orden $36$ .
$m=0$ porque son grupos finitos. Posibilidades para los factores invariantes:
- •
  
  $k=36\rightarrow G\cong\mathbb{Z}_{36}$ .
- •
  
  $k_{1}=2,k_{2}=18\rightarrow G\cong\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{18}$
- •
  
  $k_{1}=3,k_{2}=12\rightarrow G\cong\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{12}$
- •
  
  $k_{1}=6,k_{2}=6\rightarrow G\cong\mathbb{Z}_{6}\times\mathbb{Z}_{6}$
Estos son los 4 grupos (salvo isomorfismo) que podemos tener con las condiciones de ser abeliano y tener orden $36$ .

Teorema 7.3 (Descomposicion en factores primarios).

Sea $G$ un grupo abeliano finitamente generado con $|G|\geq 2$ . Entonces existen $m\text{ (rango de la parte libre)},q_{1},q_{2},\ldots,q_{t}\in\mathbb{N}\cup% \left\{0\right\}$ tales que

$\forall j\in\left\{1,\ldots,t\right\}\quad q_{j}\text{ es una potencia de un % numero primo}$ (se llaman divisores elementales o factores primarios).
$G\cong\underbrace{\mathbb{Z}^{m}}_{\begin{subarray}{c}\text{parte}\\ \text{libre}\end{subarray}}\times\underbrace{\mathbb{Z}_{k_{1}}\times\mathbb{Z% }_{k_{2}}\times\cdots\times\mathbb{Z}_{k_{n}}}_{\text{ parte de torsion}}$

donde Ademas los numeros $m,q_{1},\ldots,q_{t}$ son unicos cumpliendo estas condiciones (salvo el orden de los $q_{j}$ ).

Ejemplo 7.5.

Descomposicion de todos los grupos abelianos de orden 36 (en funcion de sus divisores elementales).

Posibilidades para los divisores elementales:

$2^{2}$ , $3^{2}\rightarrow G\cong\mathbb{Z}_{2^{2}}\times\mathbb{Z}_{3^{2}}\cong\mathbb{% Z}_{36}$
$2,2,3^{2}\rightarrow G\cong\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_% {3^{2}}\cong\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{18}$
$2,2,3,3,\rightarrow G\cong\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{% 3}\times\mathbb{Z}_{3}\cong\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{2}$
$2^{2},3,3\rightarrow G\cong\mathbb{Z}_{2^{2}}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb% {Z}_{3}\cong\mathbb{Z}_{6}\times\mathbb{Z}_{6}$

Vamos a ver cuales son todos los grupos de orden menor o igual que 8. Para ello, introduciremos un grupo de orden 8 que aun no conocemos.

Definición 7.12.

Consideremos el conjunto $Q_{8}=\left\{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\right\}$ donde

$i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1$ .
$ij=k$ , $jk=i$ , $ki=j$ .

$Q_{8}$ es un grupo llamado grupo de los cuaternios (o cuaterniones). Ademas, $Q_{8}$ no es abeliano y $Z(Q_{8})=\left\{1,-1\right\}$ .

A continuacion se enumeran todos los grupos (salvo isomorfismo) de un orden dado. En la primera linea aparecen los abelianos y en la segunda, si hay, los no abelianos:

Orden	Grupos
1	$\left\{e\right\}$
2	$\mathbb{Z}_{2}$
3	$\mathbb{Z}_{3}$
4	$\mathbb{Z}_{4},\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}$
5	$\mathbb{Z}_{5}$
6	$\begin{subarray}{c}\mathbb{Z}_{6}\\ S_{3}\end{subarray}$
7	$\mathbb{Z}_{7}$
8	$\begin{subarray}{c}\mathbb{Z}_{8},\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{4},\mathbb{Z% }_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\\ D_{4},Q_{8}\end{subarray}$

Cuadro 1: Grupos de orden menor o igual que 8.