5 Grupos. Generalidades

5.1 Definiciones básicas

Definición 5.1 (Grupo).

Un grupo es un par $(G,\otimes)$ donde:

$G$ es un conjunto no vacio
$\otimes\colon G\times G\to G$ es una operacion interna

que cumplen:

1.

Asociativa: $\forall a,b,c\in G\;(a\otimes b)\otimes c=a\otimes(b\otimes c)$
2.

Existencia de neutro: $\exists e_{G}\in G\mid\forall a\in G\;a\otimes e_{G}=e_{G}\otimes a=a$
3.

Existencia de inversos: $\forall a\in G\;\exists b\in G\mid a\otimes b=b\otimes a=e_{G}$

Definición 5.2.

Un grupo $(G,\otimes)$ es abeliano o conmutativo si la operacion $\otimes$ es conmutativa, es decir, $\forall a,b\in G\;a\otimes b=b\otimes a$ .

Proposición 5.1.

1.

Sean $G$ un conjunto y $\otimes$ una opreacion en $G$ con elemento neutro $e_{G}$ . Se cumple que $e_{G}$ es el unico elemento de $G$ con la propiedad que define al neutro.
2.

Sea $(G,\otimes)$ un grupo. Se cumplen las propiedades de cancelacion:

$\displaystyle\forall a,b,c\in G$

$\displaystyle{}\quad a\otimes b=a\otimes c\Rightarrow b=c$

$\displaystyle{}b\otimes a=c\otimes a\Rightarrow b=c$
3.

En un grupo, el inverso de cualquier elemento es unico.

Demostración.

1.

Supongamos que $\exists e_{1},e_{2}$ que tienen la propiedad de neutro. Entonces $e_{1}=e_{1}\otimes e_{2}=e_{2}\Rightarrow e_{1}=e_{2}$ .
2.

Como $a\in G$ tiene inverso, multiplicando por el inverso en ambos lados se obtiene el resultado (trivial).
3.

Sea $a\in G$ y supongamos que $\exists b_{1},b_{2}$ que actuan como inversos de $a$ . Entonces $b_{1}=b_{1}\otimes e=b_{1}\otimes(a\otimes b_{2})=(b_{1}\otimes a)\otimes b_{2% }=e\otimes b_{2}=b_{2}$ .

∎

En el caso en el que $G$ sea conmutativo, $\otimes$ se suele denotar $+$ , al elemento neutro se le denota $0$ y el inverso de cada elemento $a\in G$ se llama opuesto y se denota $-a$ .

En general, la operacion interna en el grupo se denota como $\cdot$ o simplemente por yuxtaposicion $a\cdot b=ab=a\otimes b$ , y $a^{-1}$ denota el inverso de $a\in G$ .

Definición 5.3.

El orden de un grupo $G$ es su numero de elementos, es decir, $\left|G\right|$ .

Notacion: $ord(G)$ .

Ejemplo 5.1.

$(A,+,\cdot)$ es un anillo $\Rightarrow(A,+)$ es un grupo abeliano.
$(A,+,\cdot)$ es un anillo $\Rightarrow(A^{*},\cdot)$ es un grupo, con $A^{*}=\left\{\text{elementos invertibles de A}\right\}$
En particular, $\mathbb{Z}^{*}_{p}=\mathbb{Z}_{p}-\left\{0\right\}$ con $p$ primo.

$\mathbb{Z}^{*}_{6}=\left\{1,5\right\}=\left\{m\in\mathbb{Z}_{6}\mid mcd(m,6)=1\right\}$

$\mathbb{Z}^{*}_{8}=\left\{1,3,5,7\right\}$
( $\mathcal{{M}}_{m\times n}(K),+$ ) es un abeliano.
Se denomina grupo general lineal a $GL_{n}=(\left\{A\in\mathcal{{M}}_{n}(K)\mid det(A)\neq 0\right\},\cdot$ ).
Se denomina grupo especial lineal a $SL_{n}=(\left\{A\in\mathcal{{M}}(K)\mid det(A)=1\right\},\cdot)$ (contenido en el anterior).

Proposición 5.2.

Sean $G$ un grupo y $a\in G$ . Las funciones $f_{a}\colon G\to G$ y $g_{a}\colon G\to G$ definidas como $f_{a}(x)\coloneqq ax$ y $g_{a}(x)\coloneqq xa$ son biyectivas.

Definición 5.4 (Funcion phi de Euler).

La funcion $\varphi\colon\mathbb{N}\setminus\left\{1\right\}\to\mathbb{N}$ definida como $\varphi(n)\coloneqq ord(\mathbb{Z}^{*}_{n})$ recibe el nombre de funcion phi de Euler.

Proposición 5.3.

1.

$p$ es primo $\Rightarrow\varphi(p)=p-1$
2.

$p$ es primo y $k\geq 2\Rightarrow\varphi(p^{k})=(p-1)p^{k-1}$
3.

$m,n\geq 2$ tales que $mcd(m,n)=1\Rightarrow\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)$

Definición 5.5.

Sea $(G,\cdot)$ un grupo y $\varnothing\neq H\subseteq G$ . Decimos que $H$ es subgrupo de $G$ si:

1.

$\forall r,s\in H\quad r\cdot s\in H$
2.

$(H,\cdot|_{H\times H})$ cumple la definicion de grupo.

Proposición 5.4 (Caracterizacion 1 de subgrupo).

Sea $(G,\cdot)$ un grupo y $H\subseteq G$ .

$H$ es subgrupo de $G$ si y solo si se cumplen:

1.

$e_{g}\in H$
2.

$\forall r\in H\quad r^{-1}\in H$
3.

$\forall r,s\in H\quad r\cdot s\in H$

Proposición 5.5 (Caracterizacion 2 de subgrupo).

Sea $(G,\cdot)$ un grupo y $H\subseteq G$ .

$H$ es subgrupo de $G$ si y solo si se cumplen:

$e_{g}\in H$
$\forall r,s\in H\quad r\cdot s^{-1}\in H$

Definición 5.6.

Sean $(G_{1},\otimes_{1})$ y $(G_{2},\otimes_{2})$ dos grupos. En el conjunto $G_{1}\times G_{2}$ se define la operacion

(x_{1},x_{2})\otimes(y_{1},y_{2})\coloneqq(x_{1}\otimes_{1}y_{1},x_{2}\otimes_% {2}y_{2})\in G_{1}\times G_{2}

Proposición 5.6.

$(G_{1}\times G_{2},\otimes)$ es un grupo.

Definición 5.7.

Sea $(G,\cdot)$ un grupo y $a\in G$ podemos definir:

\begin{aligned} L_{a}\colon G&{}\longrightarrow G\\ x&{}\longmapsto ax\end{aligned}\qquad\begin{aligned} R_{a}\colon G&{}% \longrightarrow G\\ x&{}\longmapsto xa\end{aligned}

Ademas, $L_{a}$ y $R_{a}$ son biyectivas.

Definición 5.8 (Homomorfismo).

Sean $(G_{1},\otimes_{1})$ y $(G_{2},\otimes_{2})$ dos grupos y $f\colon G_{1}\to G_{2}$ una funcion. Decimos que $f$ es homomorfismo de grupos si cumple:

\forall x,y\in G_{1}\quad f(x\otimes_{1}y)=f(x)\otimes_{2}f(y)

Observación 5.1.

En general, $L_{a}$ y $R_{a}$ no son homomorfismos de grupos.

Definición 5.9 (Monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo, automorfismo).

Sean $G_{1}$ y $G_{2}$ dos grupos y $f\colon G_{1}\to G_{2}$ una funcion.

Decimos que $f$ es un monomorfismo de grupos si $f$ es un homomorfismo inyectivo ( $G_{1}\hookrightarrow G_{2}$ ), epimorfismo si $f$ es un homomorfismo suprayectivo $(G_{1}\twoheadrightarrow G_{2})$ , isomorfismo si $f$ es un homomorfismo biyectivo, y automorfismo si $f$ es un isomorfismo tal que $G_{1}=G_{2}$ .

Definición 5.10 (Grupos isomorfos).

Sean $G_{1}$ y $G_{2}$ dos grupos. Decimos que $G_{1}$ y $G_{2}$ son grupos isomorfos si existe algun isomorfismo $f\colon G_{1}\to G_{2}$ .

Notacion: $G_{1}\cong G_{2}$ .

Proposición 5.7.

Sea $f\colon G_{1}\to G_{2}$ un homomorfismo de grupos. Se cumple:

1.

$f(e_{1})=e_{2}$
2.

$\forall a\in G_{1}\;f(a^{-1})=(f(a))^{-1}$

Demostración.

1.

$f(e_{1})=f(e_{1}\cdot_{1}e_{1})=f(e_{1})\cdot_{2}f(e_{1})\overset{\text{% Cancelacion}}{\Rightarrow}e_{2}=f(e_{1})$ .
2.

$f(a)\cdot f(a^{-1})=f(a\cdot a^{-1})=f(e_{1})=e_{2}\Rightarrow(f(a))^{-1}=f(a)$ .

Analogamente, $f(a^{-1})\cdot f(a)=e_{2}$ .

∎

Proposición 5.8.

Sean $f\colon G\to H$ y $g\colon H\to L$ homomorfismos de grupos. Entonces $g\circ f$ es un homomorfismo de grupos.

Demostración.

Trivial. ∎

Proposición 5.9.

Sea $f\colon G\to H$ un isomorfismo de grupos. Se cumple:

1.

$f^{-1}$ es isomorfismo de grupos.
2.

$G$ abeliano $\Rightarrow H$ abeliano.

Proposición 5.10.

La relacion de isomorfia de grupos es una relacion de de equivalencia.

Definición 5.11.

Sea $f\colon G\to H$ un homomorfismo de grupos. Se definen el nucleo y la imagen de $f$ como:

$Kerf\coloneqq\left\{x\in G\mid f(x)=e_{H}\right\}$
$Imf\coloneqq\left\{y\in H\mid\exists x\in G\mid\exists f(x)=y\right\}$

Proposición 5.11.

1.

$Kerf$ es un subgrupo de $G$ .
2.

$f$ es inyectiva $\iff Kerf=\left\{e_{G}\right\}$ .
3.

$Imf$ es un subgrupo de $H$ .
4.

$f$ es suprayectiva $\iff Imf=H$ .

Demostración.

Veamos que $Kerf$ es cerrado para la operacion. Si $h_{1},h_{2}\in Kerf$ , $h_{1}h_{2}\in Kerf?$ .

$f(h_{1}h_{2})\overset{\text{Homomorfismo}}{=}\underbrace{f(h_{1})}_{e}% \underbrace{f(h_{2})}_{e}=e$

Luego $h_{1}h_{2}\in Kerf$ .

Si $h\in H$ , $f(h^{-1})=(\underbrace{f(h)}_{e})^{-1}=e$ . $Kerf$ es cerrado para opuestos.

∎

5.2 Orden de un elemento

Sean $G$ un grupo, $a\in G$ y $k\in\mathbb{N}$ , denotamos $a^{k}\coloneqq\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{k\text{ veces}}$ , $a^{-k}\coloneqq(a^{-1})^{k}$ y $a^{0}\coloneqq e_{G}$ .

Definición 5.12 (Orden de un elemento).

Sean $G$ un grupo y $a\in G$ .

Decimos que $a$ es de orden finito si $\exists k\in\mathbb{N}$ tal que $a^{k}=e$ . En ese caso definimos el orden de $a$ como:

$ord(a)\coloneqq\mathop{\operator@font m\acute{{\imath}}n}\left\{k\in\mathbb{N}% \mid a^{k}=e\right\}$
Decimos que $a$ es de orden infinito si $\not\exists k\in\mathbb{N}$ tal que $a^{k}=e$ . En ese caso definimos el orden de $a$ como:

$ord(a)\coloneqq\infty$

Ejemplo 5.2.

1.

$G=(\mathbb{Z}_{3},+)\leftarrow$ grupo abeliano con neutro 0. En vez de escribir $a^{k},$ escribiremos $Ka=a+a+\cdots+a$ (k veces). Tenemos que $o(0)=1$ , $o(1)=8$ , $o(2)=4$ , $o(3)=8$ , $o(4)=2$ , $o(5)=8$ , $o(6)=4$ y $o(7)=8$ .
2.

En $G=(\mathbb{Z}^{*}_{8},\cdot)$ , $o(1)=1$ , $o(3)=2$ , $o(5)=2$ , $o(7)=2$ .
3.

En $G=(\mathbb{Z},+)$ , $o(0)=1$ y $\forall x\neq 0\;o(1)=\infty$ .
4.

$G=(\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{3},+)$ , $o(1,1)=6$ …

Proposición 5.12.

Sean $G$ un grupo y $a\in G$ .

1.

$G$ finito $\Rightarrow\forall a\in G\;a$ es de orden finito.
2.

$ord(a)=\infty\Rightarrow\left\{a^{0},a^{1},a^{2},\ldots,a^{k},\ldots\right\}$ esta formado por elementos distintos dos a dos.
3.

Sean $k\in\mathbb{Z}$ y $n=ord(a)$ . Entonces:

$a^{k}=e\iff n|k$
4.

Sean $j,k\in\mathbb{Z}$ y $n=ord(a)$ . Entonces:

$a^{j}=a^{k}\iff j\equiv k\allowbreak\mkern 18.0mu({\operator@font m\acute{o}d}% \,\,n$
5.

Sea $n=ord(a)$ y supongamos que $n=td$ . Entonces $ord(a^{t})=d$ .

Demostración.

1.

Supongamos que $|G|=n$ con $n\in\mathbb{N}$ . Consideramos $a,a^{2},a^{3},\ldots,a^{n},a^{n+1}$ .

Como $|G|=n$ , tiene que haber al menos $2$ iguales en la lista anterior.

Sea $a^{k}=a^{m}$ con $k>m$ . Multiplicando por $(a^{m})^{-1}$ ( $(a^{m})^{-1}=a^{-1}\cdot a^{-1}\cdots a^{-1}$ (m veces)) en ambos lados, $a^{k}\cdot a^{-m}=a^{m}\cdot a^{-m}=e\Rightarrow a^{k-m}=e\Rightarrow ord(a)<\infty$ .
2.

Por reduccion al absurdo, supongamos que en la lista $a,a^{2},\ldots,a^{m},\ldots$ hay dos elementos $a^{k}$ y $a^{m}$ que son iguales.

Supongamos que $a^{k}=a^{m}$ con $k>m$ . Multiplicando por $(a^{m})^{-1}$ , $a^{k-m}=a^{k}\cdot a^{-m}=e\Rightarrow ord(a)<\infty$ .
3.

Supongamos que $o(a)=n<\infty$ .

“ $\Rightarrow$ ” Supongamos que $a^{k}=e$ . Tengo que $k=n\cdot q+r\Rightarrow e=a^{k}=a^{nq+r}=(a^{n})^{q}\cdot a^{r}=e^{q}a^{r}=a^{r}$ . Hay dos casos: $r=0$ o $n>r\neq 0$ . Si $n>r\neq 0$ , hay una contradiccion con que $o(a)=n$ . Luego $r=0$ y por tanto $n|k$ .

“ $\Leftarrow$ ” $n|k$ , es decir, $k=nq$ . Entonces $a^{k}=a^{nq}=(a^{n})^{q}=e$ .
4.

“ $\Rightarrow$ ” Supongamos que $a^{i}=a^{j}$ y que $i>j$ . Multiplicamos por $a^{-j}$ y nos queda $\underbrace{a^{i}\cdot a^{-j}}_{a^{i-j}}=a^{j}\cdot a^{-j}=e\Rightarrow n|i-j% \iff i\equiv j\allowbreak\mkern 18.0mu({\operator@font m\acute{o}d}\,\,n$ .

“ $\Leftarrow$ ” Supongamos que $i\equiv j\allowbreak\mkern 18.0mu({\operator@font m\acute{o}d}\,\,n$ , es decir, $i-j$ es multiplo de $n$ : $\exists k\in\mathbb{Z}\mid i-j=n\cdot k$ ( $i=j+nk$ ). Nos queda

$a^{i}=a^{j+nk}=a^{j}\cdot(\underbrace{a^{n}}_{e})^{k}=a^{j}$
5.

Queremos ver que $ord(a^{2})=d$ . Hay que ver que $(a^{t})^{d}=e$ (a) y que $\not\exists d^{\prime}<d$ tal que $(a^{t})^{d}=e$ (b).

En primer lugar, $(a^{t})^{d}=a^{td}=a^{n}=e$ (a).

(b) Por reduccion al absurdo, supongamos que $\exists d^{\prime}<d$ tal que $(a^{t})^{d}=e$ . Entonces tendriamos que $n^{\prime}=td^{\prime}<td=n$ . Esto no puede ser porque entonces existiria $n^{\prime}<n$ tal que $a^{n^{\prime}}=e$ y es una contradiccion con que $ord(a)=n$ .

∎

5.3 Grupos cíclicos

Definición 5.13.

Decimos que un grupo $G$ es cíclico si $\exists a\in G$ tal que $G=\left\{a^{k}\mid k\in\mathbb{Z}\right\}$ . En ese caso decimos tambien que $a$ es un generador de $G$ .

Notacion: $G=\langle a\rangle$ .

Observación 5.2.

Un grupo cíclico puede tener varios generadores distintos.

Observación 5.3.

Los grupos cíclicos siempre son abelianos. Dados $a^{k},a^{j}\in G$ ,

a^{k}\cdot a^{j}=a^{k+j}=a^{j+k}=a^{j}\cdot a^{k}

Proposición 5.13.

Sean $G$ un grupo cíclico y $a$ un generador de $G$ . Entonces:

Si $ord(a)=\infty\Rightarrow G\cong\mathbb{Z}$

Es más, la siguiente funcion es un isomorfismo

$\displaystyle f\colon\mathbb{Z}$

$\displaystyle{}\longrightarrow G$

$\displaystyle k$

$\displaystyle{}\longmapsto a^{k}$
Si $ord(a)=n\Rightarrow G\cong\mathbb{Z}_{n}$

Es más, la siguiente funcion es un isomorfismo

$\displaystyle f\colon\mathbb{Z}_{n}$

$\displaystyle{}\longrightarrow G$

$\displaystyle[k]_{n}$

$\displaystyle{}\longmapsto a^{k}$

Demostración.

Veamos que $f$ es homomorfismo de grupos:

$f(n+m)=a^{n+m}=a^{n}\cdot a^{m}=f(n)\cdot f(m)$

También es inyectivo por el apartado 2 de la proposición 5.12.

Es suprayectiva por la definición de grupo cíclico (todo elemento es de la forma $a^{k}$ así que $f(k)=a^{k}$ ).

Luego $f$ es isomorfismo.
Supongamos que $ord(a)=n<\infty$ .

Definimos $f\colon\mathbb{Z}_{n}\rightarrow G,[k]\mapsto a^{k}$ . Veamos si está bien definida: si $k^{\prime}\in[k]_{n}\Rightarrow k^{\prime}\equiv_{n}k\overset{\text{4) de }% \ref{orden}}{\Rightarrow}a^{k}=a^{k^{\prime}}=f([k])$ .

Es homomorfismo de grupos ya que $f([k]+[j])=f([k+j])=a^{k+j}=a^{k}\cdot a^{j}=f([k])\cdot f([j])$ .

$f$ es inyectiva porque si $a^{k}=a^{j}\overset{\text{4) de }\ref{orden}}{\Rightarrow}k\equiv_{n}j\iff[k]=% [j]$ .

Como el grupo es cíclico, todo elemento es de la forma $a^{k}$ , una preimagen es $[k]_{n}$ ya que $f(k)\coloneqq a^{k}$ . Por tanto es suprayectiva.

∎

Proposición 5.14 (Subgrupo cíclico generado por un elemento).

Sean $G$ un grupo y $b\in G$ .

\langle b\rangle\coloneqq\left\{b^{k}\mid k\in\mathbb{Z}\right\}\text{ es un % subgrupo de }G

5.4 Grupos de permutaciones

Definición 5.14.

Sea $T\neq\varnothing,G=\left\{f\colon T\to T\mid f\text{ es biyectiva}\right\}$ y $\circ$ el simbolo que denota la composición de funciones.

Entonces $(G,\circ)$ es un grupo ya que la composición es una operación interna en $G$ , es asociativa, tiene elemento neutro ( $id\colon T\to T$ ) y $\forall f\in G,\exists f^{-1}\in G\mid f\circ f^{-1}=id$ .

Además, $(G,\circ)$ recibe el nombre de grupos de permutaciones de $G$ .

Definición 5.15 (Grupo de permutaciones de

n

elementos).

Sea $T_{n}=\left\{1,2,\ldots,n\right\}$ el conjunto formado por los primeros $n$ números naturales. Definimos:

S_{n}\coloneqq\left\{\sigma\colon T_{n}\to T_{n}\mid\sigma\text{ es biyectiva}\right\}

$(S_{n},\circ)$ recibe el nombre de grupo de permutaciones de $n$ elementos o grupo simetrico.

Proposición 5.15.

$|S_{n}|=n!$

Dado $\sigma\in S_{n}$ usaremos la siguiente notacion matricial para referirnos a $\sigma$ :

\sigma=\begin{pmatrix}1)))&2&3&\cdots&n\\ \sigma(1)&\sigma(2)&\sigma(3)&\cdots&\sigma(n)\\ \end{pmatrix}

Ejemplo 5.3.

\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\ 2&1&3&5&4\\ \end{pmatrix}\in S_{5}

Un caso particular de permutacion viene dado por los ciclos.

Definición 5.16.

Sea $k\in\mathbb{N}$ , $k\geq 2$ . Decimos que una permutacion $\sigma\in S_{n}$ es un $k$ -ciclo si $\exists a_{1},a_{2},\ldots,a_{k}\in T_{n}$ tal que:

$\forall i\in\left\{1,\ldots,k-1\right\}\;\sigma(a_{i})=a_{i+1}$
$\sigma(a_{n})=a_{1}$
$\forall a\notin\left\{a_{1},\ldots,a_{k}\right\}\quad\sigma(a)=a$

Dado $\sigma\in S_{n}$ un $k$ -ciclo, usaremos la siguiente notacion para referirnos a $\sigma:$

\sigma=\begin{pmatrix}a_{1}\ldots a_{k}\end{pmatrix}

Ejemplo 5.4.

$\sigma=\begin{pmatrix}2&5&1\\ \end{pmatrix}\in S_{5}\equiv\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\ 2&5&3&4&1\\ \end{pmatrix}\qquad ord(\sigma)=3$

Definición 5.17.

Se dice que un ciclo es una trasposición si tiene longitud 2.

Definición 5.18.

Dados dos ciclos $\sigma,\tau\in S_{n}$ , $\sigma=\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots&a_{k}\\ \end{pmatrix}$ y $\tau=\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2}&\cdots&b_{m}\\ \end{pmatrix}$ , decimos que $\sigma$ y $\tau$ son disjuntos si

\left\{a_{1},a_{2},\ldots,a_{k}\right\}\cap\left\{b_{1},b_{2},\ldots,b_{m}% \right\}=\varnothing

Ejemplo 5.5.

$\begin{pmatrix}2&5&1\\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix}3&4\\ \end{pmatrix}$ son disjuntos.
$\begin{pmatrix}2&5&1\\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix}2&1&3\\ \end{pmatrix}$ son disjuntos.

Observación 5.4.

Los ciclos disjuntos conmutan.

Usualmente omitiremos el simbolo de composición y escribiremos simplemente las permutaciones una despues de otra:

\sigma\tau\coloneqq\sigma\circ\tau

Proposición 5.16.

Toda permutación $\sigma\in S_{n}$ se puede escribir como composición de ciclos disjuntos.

Demostración.

Sea $\sigma\in S_{n}$ . Sea $i_{1}$ tal que $i_{1}\neq\sigma(i_{1})=i_{2},i_{2}\neq\sigma(i_{2})=i_{3},i_{3}\neq\sigma(i_{3% }),i_{4}\neq\sigma(i_{4}),\ldots$ . Sea $i_{k}$ el primero que cumple que $\sigma(i_{k})\in\left\{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k-1}\right\}$ .

Veamos que $\sigma(i_{k})=i_{1}$ . Por reduccion al absurdo, supongamos que $\sigma(i_{k})=i_{j}$ con $j>1$ .

Entonces $\sigma(i_{k})=i_{j}=\sigma(i_{j-1})$ . Esto es imposible porque $\sigma$ es biyectiva. Luego $\sigma(i_{k})=i_{1}$ .

Sea $b\in\left\{1,\ldots,n\right\}\setminus\left\{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}\right\}$ tal que $\sigma(b)\neq b$ : $b_{1}=b,b_{2}=\sigma(b_{1}),\ldots,b_{s}=\sigma(b_{s-1}),\sigma(b_{s})=b_{1}$ .

Repetimos el proceso hasta descomponer todo $\sigma$ y nos queda que $\sigma=(i_{1}i_{2}\cdots i_{k})(b_{1}\cdots b_{s})$ ∎

Ejemplo 5.6.

1.

$\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\ 2&6&3&1&8&7&4&5\\ \end{pmatrix}\equiv\begin{pmatrix}1&2&6&7&4\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&8\\ \end{pmatrix}$
2.

$\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\ 5&1&7&2&4&6&3&8\\ \end{pmatrix}\equiv\begin{pmatrix}1&5&4&2\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&7\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}6&8\\ \end{pmatrix}$

Ejemplo 5.7.

Composicion a la derecha:

$\begin{pmatrix}2&5&1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1&3\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&2\\ \end{pmatrix}\equiv\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\ 3&1&5&4&2\\ \end{pmatrix}$

Lema 5.1.

Todo ciclo se escribe como producto de trasposiciones (no necesariamente disjuntas).

Demostración.

$\begin{pmatrix}i_{1}&i_{2}&\cdots&i_{k}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}i_{1}&i_{k}\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}i_{i}&i_{k-1}\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}i_{1}&i_{k-2}\\ \end{pmatrix}\cdots\begin{pmatrix}i_{1}&i_{2}\\ \end{pmatrix}$ ∎

Corolario 5.1.

Toda permutacion se escribe como producto de trasposiciones.

Demostración.

Trivial. ∎

Definición 5.19.

Decimos que una permutacion es:

par si se escribe como un numero par de trasposiciones
impar si se escribe como un numero impar de trasposiciones

\displaystyle s\colon S_{n}

\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{Z}_{2}

\displaystyle\sigma

\displaystyle{}\longmapsto 0\text{ si es par }

\displaystyle\sigma

\displaystyle{}\longmapsto 1\text{ si es impar }

Observación 5.5.

La descomposicion con trasposiciones no es unica.

Lema 5.2.

La identidad no se puede poner como un numero impar de trasposiciones.

Demostración.

Hungerford, pg 222. ∎

Teorema 5.1.

Una permutacion no puede ser par e impar a la vez.

Demostración.

Sea $\sigma$ una permutacion tal que $\sigma=\tau_{1}\tau_{2}\cdots\tau_{m}=\mu_{1}\mu_{2}\cdots\mu_{n}$ con cada $\tau_{i}$ y $\mu_{i}$ una trasposicion y $m$ par y $n$ impar. Entonces

id=\sigma\sigma^{-1}=(\tau_{1}\tau_{2}\cdots\tau_{m})\cdot(\mu_{1}\mu_{2}% \cdots\mu_{n})^{-1}=\tau_{1}\tau_{2}\cdots\tau_{m}\cdot\mu_{n}\cdots\mu_{1}

Hemos escrito $id$ como producto de $m+n$ trasposiciones. Pero esto es imposible porque $m+n$ es impar y sabemos que la identidad solo se puede poner como un numero par de trasposiciones.

Por tanto, una permutacion no puede ser par e impar a la vez. ∎

Definición 5.20.

Se denomina signatura o signo de una permutacion a la funcion

\displaystyle f\colon S_{n}

\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{Z}_{2}

\displaystyle\sigma

\displaystyle{}\longmapsto f(\sigma)=\begin{dcases}0\text{ si }\sigma\text{ es% par}\\ 1\text{ si }\sigma\text{ es impar}\end{dcases}

Proposición 5.17.

Sea $A_{n}\coloneqq\left\{\sigma\in S_{n}\mid\sigma\text{ es par}\right\}$ . Se cumple que $A_{n}$ es un subgrupo de $S_{n}$ . $A_{n}$ recibe el nombre de grupo alternado de grado $n$ .

Proposición 5.18.

$|A_{n}|=\frac{n!}{2}$

5.5 Grupo diédrico

Definición 5.21 (Grupo diedrico).

Sea $n\geq 3$ . Definimos el grupo diedral o grupo diedrico de grado $n$ como el conjunto $D_{n}$ formado por los movimientos del plano que dejan invariante un poligono regular de $n$ lados.

Proposición 5.19.

$D_{n}$ con la composicion de aplicaciones es un grupo.
$|D_{n}|=2n$
$D_{n}=\left\{id,\sigma,\sigma^{2},\ldots,\sigma^{n-1},\tau_{1},\tau_{2},\ldots% ,\tau_{n}\right\}$ donde $\sigma$ es el giro de angulo $2\pi/n$ en sentido positivo (antihorario) y $\tau_{1},\ldots,\tau_{n}$ son simetrias respecto de los $n$ ejes que pasan por el centro del poligono.
Ademas:
- •
  
  La identidad y los giros preservan la orientacion
- •
  
  Las simetrias invierten la orientacion.

Ejemplo 5.8.

$D_{3}=\left\{1,\sigma,\sigma^{2},\tau_{1},\tau_{2},\tau_{3}\right\}$

Composicion simetria y giro: $\sigma\tau_{1}:1\to 3,2\to 2,3\to 1=\tau_{3}$ .

$\sigma=\tau_{1}\tau_{2}:1\to 2,2\to 3,3\to 1$ .
$D_{4}=\left\{1,\sigma,\sigma^{2},\sigma^{3},\tau_{1},\tau_{2},\tau_{3},\tau_{4% }\right\}$

Observación 5.6.

Otra forma de escribir $D_{n}=\langle\sigma,\tau\mid o(\sigma)=n,o(\tau)=2,\tau\sigma\tau=\sigma^{-1}\rangle$ (grupo dado por generadores y relaciones).

Observación 5.7.

$D_{n}$ puede verse como un subgrupo de $S_{n}$ , numerando los vertices del poligono regular del $1$ al $n$ e identificando cada movimiento con la permutacion que induce en el conjunto de los vertices.

Ejemplo 5.9.

$D_{3}\leq S_{3}:$

$D_{3}=\left\{1,\underbrace{(123)}_{\sigma},\underbrace{(132)}_{\sigma^{2}},% \underbrace{(12)}_{\tau_{1}},\underbrace{(23)}_{\tau_{2}},\underbrace{(13)}_{% \tau_{3}}\right\}$
$D_{4}\leq S_{4}:$

$D_{4}=\left\{1,\underbrace{(1234)}_{\sigma},\underbrace{(13)(24)}_{\sigma^{2}}% ,\underbrace{(1432)}_{\sigma^{3}},\underbrace{(24)}_{\tau_{1}},\underbrace{(12% )(34)}_{\tau_{2}},\underbrace{(13)}_{\tau_{3}},\underbrace{(14)(23)}_{\tau_{4}% }\right\}$