5 Grupos. Generalidades

5.1 Definiciones básicas

Definition 5.1 (Grupo).

Un grupo es un par $(G,\otimes)$ donde:

•

$G$ es un conjunto no vacio
•

$\otimes\colon G\times G\to G$ es una operacion interna

que cumplen:

1.

Asociativa: $\forall a,b,c\in G\;(a\otimes b)\otimes c=a\otimes(b\otimes c)$
2.

Existencia de neutro: $\exists e_{G}\in G\mid\forall a\in G\;a\otimes e_{G}=e_{G}\otimes a=a$
3.

Existencia de inversos: $\forall a\in G\;\exists b\in G\mid a\otimes b=b\otimes a=e_{G}$

Definition 5.2.

Un grupo $(G,\otimes)$ es abeliano o conmutativo si la operacion $\otimes$ es conmutativa, es decir, $\forall a,b\in G\;a\otimes b=b\otimes a$ .

Proposition 5.3.

1.

Sean $G$ un conjunto y $\otimes$ una opreacion en $G$ con elemento neutro $e_{G}$ . Se cumple que $e_{G}$ es el unico elemento de $G$ con la propiedad que define al neutro.
2.

Sea $(G,\otimes)$ un grupo. Se cumplen las propiedades de cancelacion:

$\displaystyle\forall a,b,c\in G$

$\displaystyle{}\quad a\otimes b=a\otimes c\Rightarrow b=c$

$\displaystyle{}b\otimes a=c\otimes a\Rightarrow b=c$
3.

En un grupo, el inverso de cualquier elemento es unico.

Proof 5.4.

1.

Supongamos que $\exists e_{1},e_{2}$ que tienen la propiedad de neutro. Entonces $e_{1}=e_{1}\otimes e_{2}=e_{2}\Rightarrow e_{1}=e_{2}$ .
2.

Como $a\in G$ tiene inverso, multiplicando por el inverso en ambos lados se obtiene el resultado (trivial).
3.

Sea $a\in G$ y supongamos que $\exists b_{1},b_{2}$ que actuan como inversos de $a$ . Entonces $b_{1}=b_{1}\otimes e=b_{1}\otimes(a\otimes b_{2})=(b_{1}\otimes a)\otimes b_{2% }=e\otimes b_{2}=b_{2}$ .

En el caso en el que $G$ sea conmutativo, $\otimes$ se suele denotar $+$ , al elemento neutro se le denota $0$ y el inverso de cada elemento $a\in G$ se llama opuesto y se denota $-a$ .

En general, la operacion interna en el grupo se denota como $\cdot$ o simplemente por yuxtaposicion $a\cdot b=ab=a\otimes b$ , y $a^{-1}$ denota el inverso de $a\in G$ .

Definition 5.5.

El orden de un grupo $G$ es su numero de elementos, es decir, $\left|G\right|$ .

Notacion: $ord(G)$ .

Example 5.6.

•

$(A,+,\cdot)$ es un anillo $\Rightarrow(A,+)$ es un grupo abeliano.
•

$(A,+,\cdot)$ es un anillo $\Rightarrow(A^{*},\cdot)$ es un grupo, con $A^{*}=\left\{\text{elementos invertibles de A}\right\}$
•

En particular, $\mathbb{Z}^{*}_{p}=\mathbb{Z}_{p}-\left\{0\right\}$ con $p$ primo.

$\mathbb{Z}^{*}_{6}=\left\{1,5\right\}=\left\{m\in\mathbb{Z}_{6}\mid mcd(m,6)=1\right\}$

$\mathbb{Z}^{*}_{8}=\left\{1,3,5,7\right\}$
•

( $\mathcal{{M}}_{m\times n}(K),+$ ) es un abeliano.
•

Se denomina grupo general lineal a $GL_{n}=(\left\{A\in\mathcal{{M}}_{n}(K)\mid det(A)\neq 0\right\},\cdot$ ).
•

Se denomina grupo especial lineal a $SL_{n}=(\left\{A\in\mathcal{{M}}(K)\mid det(A)=1\right\},\cdot)$ (contenido en el anterior).

Proposition 5.7.

Sean $G$ un grupo y $a\in G$ . Las funciones $f_{a}\colon G\to G$ y $g_{a}\colon G\to G$ definidas como $f_{a}(x)\coloneqq ax$ y $g_{a}(x)\coloneqq xa$ son biyectivas.

Definition 5.8 (Funcion phi de Euler).

La funcion $\varphi\colon\mathbb{N}\setminus\left\{1\right\}\to\mathbb{N}$ definida como $\varphi(n)\coloneqq ord(\mathbb{Z}^{*}_{n})$ recibe el nombre de funcion phi de Euler.

Proposition 5.9.

1.

$p$ es primo $\Rightarrow\varphi(p)=p-1$
2.

$p$ es primo y $k\geq 2\Rightarrow\varphi(p^{k})=(p-1)p^{k-1}$
3.

$m,n\geq 2$ tales que $mcd(m,n)=1\Rightarrow\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)$

Definition 5.10.

Sea $(G,\cdot)$ un grupo y $\varnothing\neq H\subseteq G$ . Decimos que $H$ es subgrupo de $G$ si:

1.

$\forall r,s\in H\quad r\cdot s\in H$
2.

$(H,\cdot|_{H\times H})$ cumple la definicion de grupo.

Proposition 5.11 (Caracterizacion 1 de subgrupo).

Sea $(G,\cdot)$ un grupo y $H\subseteq G$ .

$H$ es subgrupo de $G$ si y solo si se cumplen:

1.

$e_{g}\in H$
2.

$\forall r\in H\quad r^{-1}\in H$
3.

$\forall r,s\in H\quad r\cdot s\in H$

Proposition 5.12 (Caracterizacion 2 de subgrupo).

Sea $(G,\cdot)$ un grupo y $H\subseteq G$ .

$H$ es subgrupo de $G$ si y solo si se cumplen:

•

$e_{g}\in H$
•

$\forall r,s\in H\quad r\cdot s^{-1}\in H$

Definition 5.13.

Sean $(G_{1},\otimes_{1})$ y $(G_{2},\otimes_{2})$ dos grupos. En el conjunto $G_{1}\times G_{2}$ se define la operacion

(x_{1},x_{2})\otimes(y_{1},y_{2})\coloneqq(x_{1}\otimes_{1}y_{1},x_{2}\otimes_% {2}y_{2})\in G_{1}\times G_{2}

Proposition 5.14.

$(G_{1}\times G_{2},\otimes)$ es un grupo.

Definition 5.15.

Sea $(G,\cdot)$ un grupo y $a\in G$ podemos definir:

\begin{aligned} L_{a}\colon G&{}\longrightarrow G\\ x&{}\longmapsto ax\end{aligned}\qquad\begin{aligned} R_{a}\colon G&{}% \longrightarrow G\\ x&{}\longmapsto xa\end{aligned}

Ademas, $L_{a}$ y $R_{a}$ son biyectivas.

Definition 5.16 (Homomorfismo).

Sean $(G_{1},\otimes_{1})$ y $(G_{2},\otimes_{2})$ dos grupos y $f\colon G_{1}\to G_{2}$ una funcion. Decimos que $f$ es homomorfismo de grupos si cumple:

\forall x,y\in G_{1}\quad f(x\otimes_{1}y)=f(x)\otimes_{2}f(y)

Remark 5.17.

En general, $L_{a}$ y $R_{a}$ no son homomorfismos de grupos.

Definition 5.18 (Monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo, automorfismo).

Sean $G_{1}$ y $G_{2}$ dos grupos y $f\colon G_{1}\to G_{2}$ una funcion.

Decimos que $f$ es un monomorfismo de grupos si $f$ es un homomorfismo inyectivo ( $G_{1}\hookrightarrow G_{2}$ ), epimorfismo si $f$ es un homomorfismo suprayectivo $(G_{1}\twoheadrightarrow G_{2})$ , isomorfismo si $f$ es un homomorfismo biyectivo, y automorfismo si $f$ es un isomorfismo tal que $G_{1}=G_{2}$ .

Definition 5.19 (Grupos isomorfos).

Sean $G_{1}$ y $G_{2}$ dos grupos. Decimos que $G_{1}$ y $G_{2}$ son grupos isomorfos si existe algun isomorfismo $f\colon G_{1}\to G_{2}$ .

Notacion: $G_{1}\cong G_{2}$ .

Proposition 5.20.

Sea $f\colon G_{1}\to G_{2}$ un homomorfismo de grupos. Se cumple:

1.

$f(e_{1})=e_{2}$
2.

$\forall a\in G_{1}\;f(a^{-1})=(f(a))^{-1}$

Proof 5.21.

1.

$f(e_{1})=f(e_{1}\cdot_{1}e_{1})=f(e_{1})\cdot_{2}f(e_{1})\overset{\text{% Cancelacion}}{\Rightarrow}e_{2}=f(e_{1})$ .
2.

$f(a)\cdot f(a^{-1})=f(a\cdot a^{-1})=f(e_{1})=e_{2}\Rightarrow(f(a))^{-1}=f(a)$ .

Analogamente, $f(a^{-1})\cdot f(a)=e_{2}$ .

Proposition 5.22.

Sean $f\colon G\to H$ y $g\colon H\to L$ homomorfismos de grupos. Entonces $g\circ f$ es un homomorfismo de grupos.

Proof 5.23.

Trivial.

Proposition 5.24.

Sea $f\colon G\to H$ un isomorfismo de grupos. Se cumple:

1.

$f^{-1}$ es isomorfismo de grupos.
2.

$G$ abeliano $\Rightarrow H$ abeliano.

Proposition 5.25.

La relacion de isomorfia de grupos es una relacion de de equivalencia.

Definition 5.26.

Sea $f\colon G\to H$ un homomorfismo de grupos. Se definen el nucleo y la imagen de $f$ como:

•

$Kerf\coloneqq\left\{x\in G\mid f(x)=e_{H}\right\}$
•

$Imf\coloneqq\left\{y\in H\mid\exists x\in G\mid\exists f(x)=y\right\}$

Proposition 5.27.

1.

$Kerf$ es un subgrupo de $G$ .
2.

$f$ es inyectiva $\iff Kerf=\left\{e_{G}\right\}$ .
3.

$Imf$ es un subgrupo de $H$ .
4.

$f$ es suprayectiva $\iff Imf=H$ .

Proof 5.28.

•

Veamos que $Kerf$ es cerrado para la operacion. Si $h_{1},h_{2}\in Kerf$ , $h_{1}h_{2}\in Kerf?$ .

$f(h_{1}h_{2})\overset{\text{Homomorfismo}}{=}\underbrace{f(h_{1})}_{e}% \underbrace{f(h_{2})}_{e}=e$

Luego $h_{1}h_{2}\in Kerf$ .

Si $h\in H$ , $f(h^{-1})=(\underbrace{f(h)}_{e})^{-1}=e$ . $Kerf$ es cerrado para opuestos.

5.2 Orden de un elemento

Sean $G$ un grupo, $a\in G$ y $k\in\mathbb{N}$ , denotamos $a^{k}\coloneqq\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{k\text{ veces}}$ , $a^{-k}\coloneqq(a^{-1})^{k}$ y $a^{0}\coloneqq e_{G}$ .

Definition 5.29 (Orden de un elemento).

Sean $G$ un grupo y $a\in G$ .

•

Decimos que $a$ es de orden finito si $\exists k\in\mathbb{N}$ tal que $a^{k}=e$ . En ese caso definimos el orden de $a$ como:

$ord(a)\coloneqq\min\left\{k\in\mathbb{N}\mid a^{k}=e\right\}$
•

Decimos que $a$ es de orden infinito si $\not\exists k\in\mathbb{N}$ tal que $a^{k}=e$ . En ese caso definimos el orden de $a$ como:

$ord(a)\coloneqq\infty$

Example 5.30.

1.

$G=(\mathbb{Z}_{3},+)\leftarrow$ grupo abeliano con neutro 0. En vez de escribir $a^{k},$ escribiremos $Ka=a+a+\cdots+a$ (k veces). Tenemos que $o(0)=1$ , $o(1)=8$ , $o(2)=4$ , $o(3)=8$ , $o(4)=2$ , $o(5)=8$ , $o(6)=4$ y $o(7)=8$ .
2.

En $G=(\mathbb{Z}^{*}_{8},\cdot)$ , $o(1)=1$ , $o(3)=2$ , $o(5)=2$ , $o(7)=2$ .
3.

En $G=(\mathbb{Z},+)$ , $o(0)=1$ y $\forall x\neq 0\;o(1)=\infty$ .
4.

$G=(\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{3},+)$ , $o(1,1)=6$ …

Proposition 5.31.

Sean $G$ un grupo y $a\in G$ .

1.

$G$ finito $\Rightarrow\forall a\in G\;a$ es de orden finito.
2.

$ord(a)=\infty\Rightarrow\left\{a^{0},a^{1},a^{2},\ldots,a^{k},\ldots\right\}$ esta formado por elementos distintos dos a dos.
3.

Sean $k\in\mathbb{Z}$ y $n=ord(a)$ . Entonces:

$a^{k}=e\iff n|k$
4.

Sean $j,k\in\mathbb{Z}$ y $n=ord(a)$ . Entonces:

$a^{j}=a^{k}\iff j\equiv k\pmod{n}$
5.

Sea $n=ord(a)$ y supongamos que $n=td$ . Entonces $ord(a^{t})=d$ .

Proof 5.32.

1.

Supongamos que $|G|=n$ con $n\in\mathbb{N}$ . Consideramos $a,a^{2},a^{3},\ldots,a^{n},a^{n+1}$ .

Como $|G|=n$ , tiene que haber al menos $2$ iguales en la lista anterior.

Sea $a^{k}=a^{m}$ con $k>m$ . Multiplicando por $(a^{m})^{-1}$ ( $(a^{m})^{-1}=a^{-1}\cdot a^{-1}\cdots a^{-1}$ (m veces)) en ambos lados, $a^{k}\cdot a^{-m}=a^{m}\cdot a^{-m}=e\Rightarrow a^{k-m}=e\Rightarrow ord(a)<\infty$ .
2.

Por reduccion al absurdo, supongamos que en la lista $a,a^{2},\ldots,a^{m},\ldots$ hay dos elementos $a^{k}$ y $a^{m}$ que son iguales.

Supongamos que $a^{k}=a^{m}$ con $k>m$ . Multiplicando por $(a^{m})^{-1}$ , $a^{k-m}=a^{k}\cdot a^{-m}=e\Rightarrow ord(a)<\infty$ .
3.

Supongamos que $o(a)=n<\infty$ .

“ $\Rightarrow$ ” Supongamos que $a^{k}=e$ . Tengo que $k=n\cdot q+r\Rightarrow e=a^{k}=a^{nq+r}=(a^{n})^{q}\cdot a^{r}=e^{q}a^{r}=a^{r}$ . Hay dos casos: $r=0$ o $n>r\neq 0$ . Si $n>r\neq 0$ , hay una contradiccion con que $o(a)=n$ . Luego $r=0$ y por tanto $n|k$ .

“ $\Leftarrow$ ” $n|k$ , es decir, $k=nq$ . Entonces $a^{k}=a^{nq}=(a^{n})^{q}=e$ .
4.

“ $\Rightarrow$ ” Supongamos que $a^{i}=a^{j}$ y que $i>j$ . Multiplicamos por $a^{-j}$ y nos queda $\underbrace{a^{i}\cdot a^{-j}}_{a^{i-j}}=a^{j}\cdot a^{-j}=e\Rightarrow n|i-j% \iff i\equiv j\pmod{n}$ .

“ $\Leftarrow$ ” Supongamos que $i\equiv j\pmod{n}$ , es decir, $i-j$ es multiplo de $n$ : $\exists k\in\mathbb{Z}\mid i-j=n\cdot k$ ( $i=j+nk$ ). Nos queda

$a^{i}=a^{j+nk}=a^{j}\cdot(\underbrace{a^{n}}_{e})^{k}=a^{j}$
5.

Queremos ver que $ord(a^{2})=d$ . Hay que ver que $(a^{t})^{d}=e$ (a) y que $\not\exists d^{\prime}<d$ tal que $(a^{t})^{d}=e$ (b).

En primer lugar, $(a^{t})^{d}=a^{td}=a^{n}=e$ (a).

(b) Por reduccion al absurdo, supongamos que $\exists d^{\prime}<d$ tal que $(a^{t})^{d}=e$ . Entonces tendriamos que $n^{\prime}=td^{\prime}<td=n$ . Esto no puede ser porque entonces existiria $n^{\prime}<n$ tal que $a^{n^{\prime}}=e$ y es una contradiccion con que $ord(a)=n$ .

5.3 Grupos cíclicos

Definition 5.33.

Decimos que un grupo $G$ es cíclico si $\exists a\in G$ tal que $G=\left\{a^{k}\mid k\in\mathbb{Z}\right\}$ . En ese caso decimos tambien que $a$ es un generador de $G$ .

Notacion: $G=\langle a\rangle$ .

Remark 5.34.

Un grupo cíclico puede tener varios generadores distintos.

Remark 5.35.

Los grupos cíclicos siempre son abelianos. Dados $a^{k},a^{j}\in G$ ,

a^{k}\cdot a^{j}=a^{k+j}=a^{j+k}=a^{j}\cdot a^{k}

Proposition 5.36.

Sean $G$ un grupo cíclico y $a$ un generador de $G$ . Entonces:

•

Si $ord(a)=\infty\Rightarrow G\cong\mathbb{Z}$

Es más, la siguiente funcion es un isomorfismo

$\displaystyle f\colon\mathbb{Z}$

$\displaystyle{}\longrightarrow G$

$\displaystyle k$

$\displaystyle{}\longmapsto a^{k}$
•

Si $ord(a)=n\Rightarrow G\cong\mathbb{Z}_{n}$

Es más, la siguiente funcion es un isomorfismo

$\displaystyle f\colon\mathbb{Z}_{n}$

$\displaystyle{}\longrightarrow G$

$\displaystyle[k]_{n}$

$\displaystyle{}\longmapsto a^{k}$

Proof 5.37.

•

Veamos que $f$ es homomorfismo de grupos:

$f(n+m)=a^{n+m}=a^{n}\cdot a^{m}=f(n)\cdot f(m)$

También es inyectivo por el apartado 2 de la proposición 5.31.

Es suprayectiva por la definición de grupo cíclico (todo elemento es de la forma $a^{k}$ así que $f(k)=a^{k}$ ).

Luego $f$ es isomorfismo.
•

Supongamos que $ord(a)=n<\infty$ .

Definimos $f\colon\mathbb{Z}_{n}\rightarrow G,[k]\mapsto a^{k}$ . Veamos si está bien definida: si $k^{\prime}\in[k]_{n}\Rightarrow k^{\prime}\equiv_{n}k\overset{\text{4) de }% \ref{orden}}{\Rightarrow}a^{k}=a^{k^{\prime}}=f([k])$ .

Es homomorfismo de grupos ya que $f([k]+[j])=f([k+j])=a^{k+j}=a^{k}\cdot a^{j}=f([k])\cdot f([j])$ .

$f$ es inyectiva porque si $a^{k}=a^{j}\overset{\text{4) de }\ref{orden}}{\Rightarrow}k\equiv_{n}j\iff[k]=% [j]$ .

Como el grupo es cíclico, todo elemento es de la forma $a^{k}$ , una preimagen es $[k]_{n}$ ya que $f(k)\coloneqq a^{k}$ . Por tanto es suprayectiva.

Proposition 5.38 (Subgrupo cíclico generado por un elemento).

Sean $G$ un grupo y $b\in G$ .

\langle b\rangle\coloneqq\left\{b^{k}\mid k\in\mathbb{Z}\right\}\text{ es un % subgrupo de }G

5.4 Grupos de permutaciones

Definition 5.39.

Sea $T\neq\varnothing,G=\left\{f\colon T\to T\mid f\text{ es biyectiva}\right\}$ y $\circ$ el simbolo que denota la composición de funciones.

Entonces $(G,\circ)$ es un grupo ya que la composición es una operación interna en $G$ , es asociativa, tiene elemento neutro ( $id\colon T\to T$ ) y $\forall f\in G,\exists f^{-1}\in G\mid f\circ f^{-1}=id$ .

Además, $(G,\circ)$ recibe el nombre de grupos de permutaciones de $G$ .

Definition 5.40 (Grupo de permutaciones de

n

elementos).

Sea $T_{n}=\left\{1,2,\ldots,n\right\}$ el conjunto formado por los primeros $n$ números naturales. Definimos:

S_{n}\coloneqq\left\{\sigma\colon T_{n}\to T_{n}\mid\sigma\text{ es biyectiva}\right\}

$(S_{n},\circ)$ recibe el nombre de grupo de permutaciones de $n$ elementos o grupo simetrico.

Proposition 5.41.

$|S_{n}|=n!$

Dado $\sigma\in S_{n}$ usaremos la siguiente notacion matricial para referirnos a $\sigma$ :

\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&\cdots&n\\ \sigma(1)&\sigma(2)&\sigma(3)&\cdots&\sigma(n)\\ \end{pmatrix}

Example 5.42.

\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\ 2&1&3&5&4\\ \end{pmatrix}\in S_{5}

Un caso particular de permutacion viene dado por los ciclos.

Definition 5.43.

Sea $k\in\mathbb{N}$ , $k\geq 2$ . Decimos que una permutacion $\sigma\in S_{n}$ es un $k$ -ciclo si $\exists a_{1},a_{2},\ldots,a_{k}\in T_{n}$ tal que:

•

$\forall i\in\left\{1,\ldots,k-1\right\}\;\sigma(a_{i})=a_{i+1}$
•

$\sigma(a_{n})=a_{1}$
•

$\forall a\notin\left\{a_{1},\ldots,a_{k}\right\}\quad\sigma(a)=a$

Dado $\sigma\in S_{n}$ un $k$ -ciclo, usaremos la siguiente notacion para referirnos a $\sigma:$

\sigma=\begin{pmatrix}a_{1}\ldots a_{k}\end{pmatrix}

Example 5.44.

$\sigma=\begin{pmatrix}2&5&1\\ \end{pmatrix}\in S_{5}\equiv\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\ 2&5&3&4&1\\ \end{pmatrix}\qquad ord(\sigma)=3$

Definition 5.45.

Se dice que un ciclo es una trasposición si tiene longitud 2.

Definition 5.46.

Dados dos ciclos $\sigma,\tau\in S_{n}$ , $\sigma=\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots&a_{k}\\ \end{pmatrix}$ y $\tau=\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2}&\cdots&b_{m}\\ \end{pmatrix}$ , decimos que $\sigma$ y $\tau$ son disjuntos si

\left\{a_{1},a_{2},\ldots,a_{k}\right\}\cap\left\{b_{1},b_{2},\ldots,b_{m}% \right\}=\varnothing

Example 5.47.

•

$\begin{pmatrix}2&5&1\\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix}3&4\\ \end{pmatrix}$ son disjuntos.
•

$\begin{pmatrix}2&5&1\\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix}2&1&3\\ \end{pmatrix}$ son disjuntos.

Remark 5.48.

Los ciclos disjuntos conmutan.

Usualmente omitiremos el simbolo de composición y escribiremos simplemente las permutaciones una despues de otra:

\sigma\tau\coloneqq\sigma\circ\tau

Proposition 5.49.

Toda permutación $\sigma\in S_{n}$ se puede escribir como composición de ciclos disjuntos.

Proof 5.50.

Sea $\sigma\in S_{n}$ . Sea $i_{1}$ tal que $i_{1}\neq\sigma(i_{1})=i_{2},i_{2}\neq\sigma(i_{2})=i_{3},i_{3}\neq\sigma(i_{3% }),i_{4}\neq\sigma(i_{4}),\ldots$ . Sea $i_{k}$ el primero que cumple que $\sigma(i_{k})\in\left\{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k-1}\right\}$ .

Veamos que $\sigma(i_{k})=i_{1}$ . Por reduccion al absurdo, supongamos que $\sigma(i_{k})=i_{j}$ con $j>1$ .

Entonces $\sigma(i_{k})=i_{j}=\sigma(i_{j-1})$ . Esto es imposible porque $\sigma$ es biyectiva. Luego $\sigma(i_{k})=i_{1}$ .

Sea $b\in\left\{1,\ldots,n\right\}\setminus\left\{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}\right\}$ tal que $\sigma(b)\neq b$ : $b_{1}=b,b_{2}=\sigma(b_{1}),\ldots,b_{s}=\sigma(b_{s-1}),\sigma(b_{s})=b_{1}$ .

Repetimos el proceso hasta descomponer todo $\sigma$ y nos queda que $\sigma=(i_{1}i_{2}\cdots i_{k})(b_{1}\cdots b_{s})$

Example 5.51.

1.

$\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\ 2&6&3&1&8&7&4&5\\ \end{pmatrix}\equiv\begin{pmatrix}1&2&6&7&4\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&8\\ \end{pmatrix}$
2.

$\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\ 5&1&7&2&4&6&3&8\\ \end{pmatrix}\equiv\begin{pmatrix}1&5&4&2\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&7\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}6&8\\ \end{pmatrix}$

Example 5.52.

Composicion a la derecha:

$\begin{pmatrix}2&5&1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1&3\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&2\\ \end{pmatrix}\equiv\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\ 3&1&5&4&2\\ \end{pmatrix}$

Lemma 5.53.

Todo ciclo se escribe como producto de trasposiciones (no necesariamente disjuntas).

Proof 5.54.

$\begin{pmatrix}i_{1}&i_{2}&\cdots&i_{k}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}i_{1}&i_{k}\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}i_{i}&i_{k-1}\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}i_{1}&i_{k-2}\\ \end{pmatrix}\cdots\begin{pmatrix}i_{1}&i_{2}\\ \end{pmatrix}$

Corollary 5.55.

Toda permutacion se escribe como producto de trasposiciones.

Proof 5.56.

Trivial.

Definition 5.57.

Decimos que una permutacion es:

•

par si se escribe como un numero par de trasposiciones
•

impar si se escribe como un numero impar de trasposiciones

\displaystyle s\colon S_{n}

\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{Z}_{2}

\displaystyle\sigma

\displaystyle{}\longmapsto 0\text{ si es par }

\displaystyle\sigma

\displaystyle{}\longmapsto 1\text{ si es impar }

Remark 5.58.

La descomposicion con trasposiciones no es unica.

Lemma 5.59.

La identidad no se puede poner como un numero impar de trasposiciones.

Proof 5.60.

Hungerford, pg 222.

Theorem 5.61.

Una permutacion no puede ser par e impar a la vez.

Proof 5.62.

Sea $\sigma$ una permutacion tal que $\sigma=\tau_{1}\tau_{2}\cdots\tau_{m}=\mu_{1}\mu_{2}\cdots\mu_{n}$ con cada $\tau_{i}$ y $\mu_{i}$ una trasposicion y $m$ par y $n$ impar. Entonces

id=\sigma\sigma^{-1}=(\tau_{1}\tau_{2}\cdots\tau_{m})\cdot(\mu_{1}\mu_{2}% \cdots\mu_{n})^{-1}=\tau_{1}\tau_{2}\cdots\tau_{m}\cdot\mu_{n}\cdots\mu_{1}

Hemos escrito $id$ como producto de $m+n$ trasposiciones. Pero esto es imposible porque $m+n$ es impar y sabemos que la identidad solo se puede poner como un numero par de trasposiciones.

Por tanto, una permutacion no puede ser par e impar a la vez.

Definition 5.63.

Se denomina signatura o signo de una permutacion a la funcion

\displaystyle f\colon S_{n}

\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{Z}_{2}

\displaystyle\sigma

\displaystyle{}\longmapsto f(\sigma)=\begin{dcases}0\text{ si }\sigma\text{ es% par}\\ 1\text{ si }\sigma\text{ es impar}\end{dcases}

Proposition 5.64.

Sea $A_{n}\coloneqq\left\{\sigma\in S_{n}\mid\sigma\text{ es par}\right\}$ . Se cumple que $A_{n}$ es un subgrupo de $S_{n}$ . $A_{n}$ recibe el nombre de grupo alternado de grado $n$ .

Proposition 5.65.

$|A_{n}|=\frac{n!}{2}$

5.5 Grupo diédrico

Definition 5.66 (Grupo diedrico).

Sea $n\geq 3$ . Definimos el grupo diedral o grupo diedrico de grado $n$ como el conjunto $D_{n}$ formado por los movimientos del plano que dejan invariante un poligono regular de $n$ lados.

Proposition 5.67.

•

$D_{n}$ con la composicion de aplicaciones es un grupo.
•

$|D_{n}|=2n$
•

$D_{n}=\left\{id,\sigma,\sigma^{2},\ldots,\sigma^{n-1},\tau_{1},\tau_{2},\ldots% ,\tau_{n}\right\}$ donde $\sigma$ es el giro de angulo $2\pi/n$ en sentido positivo (antihorario) y $\tau_{1},\ldots,\tau_{n}$ son simetrias respecto de los $n$ ejes que pasan por el centro del poligono.
•
Ademas:
- –
  
  La identidad y los giros preservan la orientacion
- –
  
  Las simetrias invierten la orientacion.

Example 5.68.

•

$D_{3}=\left\{1,\sigma,\sigma^{2},\tau_{1},\tau_{2},\tau_{3}\right\}$

Composicion simetria y giro: $\sigma\tau_{1}:1\to 3,2\to 2,3\to 1=\tau_{3}$ .

$\sigma=\tau_{1}\tau_{2}:1\to 2,2\to 3,3\to 1$ .
•

$D_{4}=\left\{1,\sigma,\sigma^{2},\sigma^{3},\tau_{1},\tau_{2},\tau_{3},\tau_{4% }\right\}$

Remark 5.69.

Otra forma de escribir $D_{n}=\langle\sigma,\tau\mid o(\sigma)=n,o(\tau)=2,\tau\sigma\tau=\sigma^{-1}\rangle$ (grupo dado por generadores y relaciones).

Remark 5.70.

$D_{n}$ puede verse como un subgrupo de $S_{n}$ , numerando los vertices del poligono regular del $1$ al $n$ e identificando cada movimiento con la permutacion que induce en el conjunto de los vertices.

Example 5.71.

•

$D_{3}\leq S_{3}:$

$D_{3}=\left\{1,\underbrace{(123)}_{\sigma},\underbrace{(132)}_{\sigma^{2}},% \underbrace{(12)}_{\tau_{1}},\underbrace{(23)}_{\tau_{2}},\underbrace{(13)}_{% \tau_{3}}\right\}$
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$D_{4}\leq S_{4}:$

$D_{4}=\left\{1,\underbrace{(1234)}_{\sigma},\underbrace{(13)(24)}_{\sigma^{2}}% ,\underbrace{(1432)}_{\sigma^{3}},\underbrace{(24)}_{\tau_{1}},\underbrace{(12% )(34)}_{\tau_{2}},\underbrace{(13)}_{\tau_{3}},\underbrace{(14)(23)}_{\tau_{4}% }\right\}$