Error cuadrático medio: Estimadores insesgados (cont.)

Ejemplo V.11.

Dada una distribución de Poisson con λ\lambda desconocido:

  1. 1.
    ​

    ¿X¯\overline{X} es un estimador sesgado o insesgado de λ\lambda?

    • ​

      E(X¯)=E(1n∑i=1nXi)=1n∑i=1nE(Xi)=1n⋅nλ=λ⟹InsesgadoE(\overline{X})=E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\right)=\frac{1}{n}\sum_{% i=1}^{n}E(X_{i})=\frac{1}{n}\cdot n\lambda=\lambda\implies\textbf{Insesgado}

  2. 2.
    ​

    ¿2X¯2\overline{X} es un estimador sesgado o insesgado de 2λ2\lambda?

    • ​

      E(2X¯)=2E(X¯)=2λ⟹InsesgadoE(2\overline{X})=2E(\overline{X})=2\lambda\implies\textbf{Insesgado}

  3. 3.
    ​

    ¿X¯2\overline{X}^{2} es un estimador sesgado o insesgado de λ2\lambda^{2}?

    • ​

      Usamos E(X¯2)=Var(X¯)+[E(X¯)]2E(\overline{X}^{2})=\text{Var}(\overline{X})+[E(\overline{X})]^{2}. Dado que Var(X¯)=λn\text{Var}(\overline{X})=\frac{\lambda}{n}

    • ​

      E(X¯2)=λn+λ2≠λ2⟹SesgadoE(\overline{X}^{2})=\frac{\lambda}{n}+\lambda^{2}\neq\lambda^{2}\implies% \textbf{Sesgado}

    • ​

      Con sesgo Sesgo(X¯2)=λn\text{Sesgo}(\overline{X}^{2})=\frac{\lambda}{n}

Si dos estimadores son insesgados, ambos tienen

ECM(T)=Var(T)ECM(T)=Var(T)

Por tanto, podemos compararlos mediante su varianza.

Definición V.7.

Decimos que T2T_{2} es mas eficiente que T1T_{1} si

Var(T2)≤Var(T1)Var(T_{2})\leq Var(T_{1})

para todos los valores de θ\theta considerados.

Si los estimadores no son insesgados, debemos comparar sus errores cuadraticos medios

ECM(T2)≤ECM(T1)ECM(T_{2})\leq ECM(T_{1})
Definición V.8.

Un estimador W∗W^{\ast} de τ(θ)\tau(\theta) es un mejor estimador insesgado si:

E(W∗)=τ(θ)E(W^{\ast})=\tau(\theta)

y, para cualquier otro estimador insesgado WW de τ(θ)\tau(\theta),

Var(W∗)≤Var(W)Var(W^{\ast})\leq Var(W)

para todo θ\theta.