6 EDOs exactas de orden 11

Consideramos una EDO de primer orden que se expresa en forma diferencial

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

donde MM y NN son funciones diferenciables.

Decimos que es una EDO exacta si existe F(x,y)F(x,y) diferenciable (funcion potencial) tal que

βˆ‚F(x,y)βˆ‚x=M(x,y)Β yΒ βˆ‚F(x,y)βˆ‚y=N(x,y)\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}=M(x,y)\text{ y }\frac{\partial F(x,y)}{% \partial y}=N(x,y)
Ejemplo II.5.

Sea la EDO y2dx+2xydy=0y^{2}dx+2xydy=0. Se trata de una EDO no lineal de orden 1. Ademas, es exacta ya que existe

F(x,y)=xy2F(x,y)=xy^{2}

que verifica

βˆ‚F(x,y)βˆ‚x=y2=M(x,y)\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}=y^{2}=M(x,y)
βˆ‚F(x,y)βˆ‚y=2xy=N(x,y)\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}=2xy=N(x,y)
ProposiciΓ³n II.4.

La EDO

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

es exacta si y solo si

βˆ‚M(x,y)βˆ‚y=βˆ‚N(x,y)βˆ‚x\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}
DemostraciΓ³n.

Por definicion, dado que βˆƒF(x,y)\exists F(x,y) tal que βˆ‚F(x,y)βˆ‚x=M(x,y)\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}=M(x,y) y βˆ‚F(x,y)βˆ‚y=N(x,y)\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}=N(x,y), la EDO exacta se escribe

βˆ‚F(x,y)βˆ‚xdx+βˆ‚F(x,y)βˆ‚ydy=0\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}dx+\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}dy=0

Al ser F(x,y)F(x,y) diferenciable,

dF(x,y)=βˆ‚F(x,y)βˆ‚xdx+βˆ‚F(x,y)βˆ‚ydydF(x,y)=\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}dx+\frac{\partial F(x,y)}{\partial y% }dy

Por lo que la EDO expresa la anulacion de la aplicacion diferencial de F(x,y)F(x,y):

dF(x,y)=0dF(x,y)=0

Por tanto, es una funcion potencial constante (curva equipotencial). Luego podemos escribir

F(x,y)=KF(x,y)=K

(diferencial nula implica funcion constante). A partir de este resultado, podemos determinar la solucion general de la EDO.

Por otra parte, por ser diferenciable, sabemos que por el teorema de Schwarz las derivadas cruzadas de FF son iguales:

βˆ‚2F(x,y)βˆ‚xβˆ‚y=βˆ‚2F(x,y)βˆ‚yβˆ‚x\frac{\partial^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}F(x,y)}{% \partial y\partial x}

Por lo que:

βˆ‚M(x,y)βˆ‚y=βˆ‚N(x,y)βˆ‚x\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}

∎

Ejemplo II.6.

En el ejemplo anterior,

M(x,y)=y2N(x,y)=2xyM(x,y)=y^{2}\qquad N(x,y)=2xy

y se tiene

βˆ‚M(x,y)βˆ‚y=2y=βˆ‚N(x,y)βˆ‚x\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}=2y=\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}

Asi, la obtencion de la solucion general se realiza de la siguiente forma:

  1. 1.
    ​

    Comprobar βˆ‚Mβˆ‚y=βˆ‚Nβˆ‚x\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.

  2. 2.
    ​

    Integrar con respecto a xx la funcion MM para obtener F(x,y)F(x,y) (hacer con respecto a y con NN ).

    Dado que por definicion

    βˆ‚F(x,y)βˆ‚x=M(x,y)\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}=M(x,y)

    obtenemos

    F(x,y)=∫M(x,y)dx+Kx(y)F(x,y)=\int M(x,y)dx+K_{x}(y)

    con KxK_{x} constante de integracion con respecto a xx (es una funcion de yy).

    Para ello, derivamos con respecto a yy

    βˆ‚F(x,y)βˆ‚y=βˆ‚βˆ‚y∫M(x,y)dx+dKx(y)dy\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\int M(x,y)dx+% \frac{\mathrm{d}K_{x}(y)}{\mathrm{d}y}

    y como por definicion

    βˆ‚F(x,y)βˆ‚y=N(x,y)\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}=N(x,y)

    entonces

    βˆ‚βˆ‚y∫M(x,y)dx+βˆ‚Kx(y)βˆ‚y=N(x,y)\frac{\partial}{\partial y}\int M(x,y)dx+\frac{\partial K_{x}(y)}{\partial y}=% N(x,y)

    Entonces:

    βˆ‚βˆ‚y∫M(x,y)dx+dKx(y)dy\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\int M(x,y)\,dx+\frac{dK_{x}(y)}{dy}
    =N(x,y)\displaystyle{}=N(x,y)
    dKx(y)dy\displaystyle\frac{dK_{x}(y)}{dy}
    =N(x,y)βˆ’βˆ‚βˆ‚y∫M(x,y)dx\displaystyle{}=N(x,y)-\frac{\partial}{\partial y}\int M(x,y)\,dx
    Kx(y)\displaystyle K_{x}(y)
    =∫(N(x,y)βˆ’βˆ‚βˆ‚y∫M(x,y)dx)dy+Kxy\displaystyle{}=\int\left(N(x,y)-\frac{\partial}{\partial y}\int M(x,y)\,dx% \right)dy+K_{xy}

    (KxyK_{xy} constante de integraciΓ³n con respecto a yy y de algo que no depende de xx)

    Por lo que, absorbiendo KxyK_{xy} en la constante arbitraria CC:

    F(x,y)=∫M(x,y)dx+∫(N(x,y)βˆ’βˆ‚βˆ‚y∫M(x,y)dx)dy=CF(x,y)=\int M(x,y)\,dx+\int\left(N(x,y)-\frac{\partial}{\partial y}\int M(x,y)% \,dx\right)dy=C

    solucion general (1 parametro CC, para una EDO de orden 11, coherente).

Ejemplo II.7.

Consideremos la EDO

(5x+4y)dx+(4xβˆ’8y3)dy=0(5x+4y)dx+(4x-8y^{3})dy=0

Tenemos que M(x,y)=5x+4yM(x,y)=5x+4y, N(x,y)=4xβˆ’8y3N(x,y)=4x-8y^{3}. Veamos si es exacta:

βˆ‚M(x,y)βˆ‚y=4\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}=4
βˆ‚N(x,y)βˆ‚x=4\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}=4

Como coinciden, efectivamente es una EDO exacta de orden 11 en forma diferencial.

Integramos con respecto a xx la funcion M(x,y)M(x,y):

∫M(x,y)dx=∫(5x+4y)dx=52x2+4xy\int M(x,y)\,dx=\int(5x+4y)\,dx=\frac{5}{2}x^{2}+4xy

Derivando respecto a yy:

βˆ‚βˆ‚y∫M(x,y)dx=4x\frac{\partial}{\partial y}\int M(x,y)\,dx=4x

Calculamos el segundo termino de la formula:

∫(N(x,y)βˆ’βˆ‚βˆ‚y∫M(x,y)dx)dy=∫(4xβˆ’8y3βˆ’4x)dy=∫(βˆ’8y3)dy=βˆ’2y4\int\left(N(x,y)-\frac{\partial}{\partial y}\int M(x,y)\,dx\right)dy=\int(4x-8% y^{3}-4x)\,dy=\int(-8y^{3})\,dy=-2y^{4}

Por tanto, la solucion general en forma implicita es

F(x,y)=52x2+4xyβˆ’2y4=CF(x,y)=\frac{5}{2}x^{2}+4xy-2y^{4}=C
Ejemplo II.8.

Comprobar si la siguiente EDO es exacta y resolver.

(3x2+4xy)dx+(2x2+2y)dy=0(3x^{2}+4xy)dx+(2x^{2}+2y)dy=0

Tomamos M(x,y)=3x2+4xyM(x,y)=3x^{2}+4xy y N(x,y)=2x2+2yN(x,y)=2x^{2}+2y.

Se tiene

βˆ‚M(x,y)βˆ‚y=4x,βˆ‚N(x,y)βˆ‚x=4x\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}=4x,\quad\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}=4x

Como son iguales, se trata de una EDO exacta de orden 11. Usamos la formula deducida anteriormente para resolverla:

F(x,y)=∫(3x2+4xy)dx+∫(2x2+2yβˆ’βˆ‚βˆ‚y∫M(x,y)dx)dy=CF(x,y)=\int(3x^{2}+4xy)dx+\int\left(2x^{2}+2y-\frac{\partial}{\partial y}\int M% (x,y)dx\right)dy=C
F(x,y)=x3+2x2y+∫(2x2+2yβˆ’2x2)dy=CF(x,y)=x^{3}+2x^{2}y+\int(2x^{2}+2y-2x^{2})dy=C
F(x,y)=x3+2x2y+y2=CF(x,y)=x^{3}+2x^{2}y+y^{2}=C
Ejemplo II.9.

Sea el problema de Cauchy

{y(1+xcos(x)+sin(x)+cos(x))dx+((x+1)(1+sinx))dy=0y(0)=1\begin{cases}y(1+x\cos(x)+\sin(x)+\cos(x))dx+((x+1)(1+\sin x))dy=0\\ y(0)=1\end{cases}

Tenemos que M(x,y)=y(1+xcos(x)+sin(x)+cos(x))M(x,y)=y(1+x\cos(x)+\sin(x)+\cos(x)), N(x,y)=(x+1)(1+sinx)N(x,y)=(x+1)(1+\sin x).

βˆ‚M(x,y)βˆ‚y=1+xcos(x)+sin(x)+cos(x)\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}=1+x\cos(x)+\sin(x)+\cos(x)
βˆ‚N(x,y)βˆ‚x=1+sin(x)+xcos(x)+cos(x)\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}=1+\sin(x)+x\cos(x)+\cos(x)

Luego es una EDO exacta no lineal de orden 11. Vamos a resolverla aplicando integracion por partes.

F(x,y)=∫y(1+xcos(x)+sin(x)+cos(x))dx+∫((x+1)(1+sin(x))βˆ’βˆ‚βˆ‚y∫y(1+xcos(x)+sin(x)+cos(x))dx)dy=C{}F(x,y)=\int y(1+x\cos(x)+\sin(x)+\cos(x))dx\\ {}+\int\left((x+1)(1+\sin(x))-\frac{\partial}{\partial y}\int y(1+x\cos(x)+% \sin(x)+\cos(x))dx\right)dy=C

Como

∫y(1+xcosx+sin(x)+cos(x))dx=y(x+xsin(x)+cos(x)βˆ’cos(x)+sin(x))==y(x+xsin(x)+sin(x)){}\int y(1+x\cos x+\sin(x)+\cos(x))dx=y\left(x+x\sin(x)+\cos(x)-\cos(x)+\sin(x% )\right)=\\ {}=y(x+x\sin(x)+\sin(x))

se tiene

F(x,y)=y(x+xsin(x)+sin(x))+∫((x+1)(1+sinx)βˆ’(x+xsin(x)+sin(x)))dy==y(x+xsin(x)+sin(x))+y((x+1)(1+sinx)βˆ’(x+xsin(x)+sin(x)))==y(x+1)(1+sin(x))=C{}F(x,y)=y(x+x\sin(x)+\sin(x))+\int((x+1)(1+\sin x)-(x+x\sin(x)+\sin(x)))dy=\\ {}=y(x+x\sin(x)+\sin(x))+y((x+1)(1+\sin x)-(x+x\sin(x)+\sin(x)))=\\ {}=y(x+1)(1+\sin(x))=C

Despejando y(x)y(x), obtenemos la solucion en forma explicita:

y(x)=C(x+1)(1+sin(x))y(x)=\frac{C}{(x+1)(1+\sin(x))}

Debemos aplicar ahora la condicion del problema de Cauchy.

y(0)=C1=1β‡’C=1y(0)=\frac{C}{1}=1\Rightarrow C=1

6.1 EDOs de primer orden reducibles a EDOs exactas (factor integrante)

Consideramos la EDO de primer orden en forma diferencial (puede ser no lineal)

equation (8) (8)
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

donde MM y NN son funciones diferenciables.

Suponemos que esta EDO no es exacta:

βˆ‚M(x,y)βˆ‚yβ‰ βˆ‚N(x,y)βˆ‚x\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}\neq\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}

Vamos a buscar la forma de convertir (reducir) esta EDO a una EDO exacta. Nos hacemos la pregunta: existe una funcion no nula ΞΌ(x,y)\mu(x,y) tal que ΞΌβ‹…\mu\cdot EDO sea exacta?

equation (9) (9)
ΞΌMdx+ΞΌNdy=0\mu Mdx+\mu Ndy=0

Tenemos que es exacta si y solo si

equation (10) (10)
βˆ‚ΞΌMβˆ‚y=βˆ‚ΞΌNβˆ‚x\frac{\partial\mu M}{\partial y}=\frac{\partial\mu N}{\partial x}

y si es asi, se puede resolver como tal. Llamaremos a ΞΌ\mu factor integrante para la ecuacion 8.

No suele ser facil encontrar ΞΌ\mu ni resolver la EDO resultante (problemas de integracion).

Podemos escribir la condicion 10 como

βˆ‚ΞΌβˆ‚yM+ΞΌβˆ‚Mβˆ‚y=βˆ‚ΞΌβˆ‚xN+ΞΌβˆ‚Nβˆ‚x\frac{\partial\mu}{\partial y}M+\mu\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{% \partial\mu}{\partial x}N+\mu\frac{\partial N}{\partial x}
ΞΌ(βˆ‚Mβˆ‚yβˆ’βˆ‚Nβˆ‚x)+Mβˆ‚uβˆ‚yβˆ’Nβˆ‚ΞΌβˆ‚x=0\mu(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x})+M\frac{% \partial u}{\partial y}-N\frac{\partial\mu}{\partial x}=0

que es una ecuacion diferencial en derivadas parciales de orden 11, la cual no sabemos resolver.

Vamos a imponerle condiciones aΓ±adidas a ΞΌ\mu (restricciones) que permitan simplificar la EDP.

  • ​

    Caso ΞΌ(x)\mu(x): En este caso, consderamos que ΞΌ\mu no depende de yy, por lo que

    βˆ‚uβˆ‚y=0,βˆ‚ΞΌβˆ‚x=ΞΌβ€²\frac{\partial u}{\partial y}=0,\frac{\partial\mu}{\partial x}=\mu^{\prime}

    y obtenemos de la expresion anterior:

    ΞΌ(βˆ‚Mβˆ‚yβˆ’βˆ‚Nβˆ‚x)βˆ’NΞΌβ€²=0\mu(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x})-N\mu^{\prime}=0

    que es una EDO de orden 11 lineal homogenea en ΞΌ\mu. Se resuelve para encontrar ΞΌ\mu. Dividiendo entre N(x,y)N(x,y),

    ΞΌβ€²βˆ’ΞΌβˆ‚Mβˆ‚yβˆ’βˆ‚Nβˆ‚xN=0\mu^{\prime}-\mu\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x% }}{N}=0

    Aplicando la formula para EDOs lineales homogeneas de orden 11,

    ΞΌ(x)=Keβˆ«βˆ‚Mβˆ‚yβˆ’βˆ‚Nβˆ‚xNdx\mu(x)=Ke^{\int\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x% }}{N}dx}

    (analizar casos en los que N=0N=0).

    Ahora, conociendo ΞΌ\mu, multiplicamos la EDO 8 para obtener la EDO exacta 9, que se resuelve como EDO exacta para obtener la expresion de la solucion general y(x)y(x) de la EDO 8.

    Las EDOs 9 y 8 tienen las mismas soluciones.

    Si y0y_{0} es soluciΓ³n de la EDO (Ec.Β 1),

    M+Ny0β€²=0M+Ny_{0}^{\prime}=0

    la EDO 9 es

    ΞΌM+ΞΌNyβ€²=0\mu M+\mu Ny^{\prime}=0
    ΞΌ(M+Nyβ€²)=0\mu(M+Ny^{\prime})=0
    M+Nyβ€²0=0β’ΆM+Ny^{\prime}_{0}=0\qquad\text{β’Ά}

    La EDO 9 es

    ΞΌM+ΞΌNyβ€²\displaystyle\mu M+\mu Ny^{\prime}
    =0\displaystyle{}=0
    ΞΌ(M+Nyβ€²)\displaystyle\mu(M+Ny^{\prime})
    =0\displaystyle{}=0

    Escrita en y0y_{0}, nos da

    ΞΌ(M+Nyβ€²0⏟=0Β β’Ά)=0\mu(\underbrace{M+Ny^{\prime}_{0}}_{=0\text{ β’Ά}})=0
    0=0OK.↑0=0\qquad\text{OK.}\uparrow
  • ​

    Caso ΞΌ(y)\mu(y): En este caso, consideramos que ΞΌ\mu no depende de xx, por lo que

    βˆ‚uβˆ‚x=0,βˆ‚ΞΌβˆ‚y=ΞΌβ€²\frac{\partial u}{\partial x}=0,\frac{\partial\mu}{\partial y}=\mu^{\prime}

    y obtenemos de la expresion anterior

    ΞΌ(βˆ‚Mβˆ‚yβˆ’βˆ‚Nβˆ‚x)+MΞΌβ€²=0\mu(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x})+M\mu^{\prime}=0

    que es una EDO de orden 11 lineal homogenea en ΞΌ\mu. Se resuelve para encontrar ΞΌ\mu. Dividiendo entre M(x,y)M(x,y),

    ΞΌβ€²+ΞΌβˆ‚Mβˆ‚yβˆ’βˆ‚Nβˆ‚xM=0\mu^{\prime}+\mu\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x% }}{M}=0

    y por tanto

    ΞΌ(y)=Keβˆ’βˆ«βˆ‚Mβˆ‚yβˆ’βˆ‚Nβˆ‚xMdy\mu(y)=Ke^{-\int\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x% }}{M}dy}
Ejemplo II.10.

Vamos a reducir la EDO siguiente a EDO exacta encontrando el factor integrante ΞΌ(x)\mu(x), y obtener la expresion de su solucion general

(x+y)dx+xln(x)dy=0(x+y)dx+x\ln(x)dy=0

Se tiene M(x,y)=x+yM(x,y)=x+y, N(x,y)=xln(x)N(x,y)=x\ln(x), por lo que

βˆ‚Mβˆ‚y=1,βˆ‚Nβˆ‚x=ln(x)+1\frac{\partial M}{\partial y}=1,\qquad\frac{\partial N}{\partial x}=\ln(x)+1

Buscaremos un factor integrante ΞΌ(x)\mu(x) dependiente solo de xx. Aplicando la formula anterior,

ΞΌ(x)=Keβˆ’βˆ«1βˆ’ln(x)βˆ’1xlnx=Keβˆ’βˆ«ln(x)xln(x)=Keβˆ’βˆ«1xdx=Keβˆ’ln(x)=Kx\mu(x)=Ke^{-\int\frac{1-\ln(x)-1}{x\ln x}}=Ke^{-\int\frac{\ln(x)}{x\ln(x)}}=Ke% ^{-\int\frac{1}{x}dx}=Ke^{-\ln(x)}=\frac{K}{x}

Entonces, multiplicando la EDO inicial,

Kx(x+y)dx+Kxxln(x)dy=0β‡’1x(x+y)dx+ln(x)dy=0\frac{K}{x}(x+y)dx+\frac{K}{x}x\ln(x)dy=0\Rightarrow\frac{1}{x}(x+y)dx+\ln(x)% dy=0

y tenemos ahora

βˆ‚Mβˆ‚y=1x,βˆ‚Nβˆ‚x=1x\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{1}{x},\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{% 1}{x}

por lo que es una EDO exacta y la podemos resolver como tal:

F(x,y)\displaystyle F(x,y)
=∫M(x,y)dxβˆ’βˆ«(N(x,y)βˆ’βˆ‚βˆ‚y∫M(x,y)dx)dy=C\displaystyle{}=\int M(x,y)dx-\int(N(x,y)-\frac{\partial}{\partial y}\int M(x,% y)dx)dy=C
F(x,y)\displaystyle F(x,y)
=∫x+yxdxβˆ’βˆ«(lnxβˆ’βˆ‚βˆ‚y∫x+yxdx)dy=C\displaystyle{}=\int\frac{x+y}{x}dx-\int(\ln x-\frac{\partial}{\partial y}\int% \frac{x+y}{x}dx)dy=C
F(x,y)\displaystyle F(x,y)
=x+yln(x)βˆ’βˆ«(ln(x)βˆ’ln(x))dy=C\displaystyle{}=x+y\ln(x)-\int(\ln(x)-\ln(x))dy=C
F(x,y)\displaystyle F(x,y)
=x+yln(x)=C\displaystyle{}=x+y\ln(x)=C

Por tanto, la solucion general de la EDO es

y(x)=Cβˆ’xln(x)y(x)=\frac{C-x}{\ln(x)}

(orden 11, 11 parametro: coherente).