5 EDOs de orden $n$ lineales homogéneas

Las EDOs de orden $n$ lineales homogeneas son de la forma

a_{n}(x)y^{(n)}(x)+a_{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots+a_{1}(x)y^{\prime}(x)+a_{0}(x)y(% x)=0

Proposición II.1.

El conjunto de funciones formado por todas las soluciones de la EDO 5 lineal homogenea de orden $n$ tiene estructura de espacio vectorial de dimension $n$ (cualquier combinacion lineal de soluciones de la EDO es otra solucin LABEL: de la EDO 5).

Definición II.1.

Se denomina sistema fundamental de soluciones de la EDO a toda base (conjunto generador linealmente independiente) del espacio vectorial de soluciones de la EDO 5.

Proposición II.2.

Si tenemos $n$ funciones $\left\{y_{1}(x),y_{2}(x),\ldots,y_{n}(x)\right\}$ , para comprobar que constituyen un sistema fundamental de soluciones de la EDO 5:

1.

Comprobar que son soluciones particulares de la EDO 5.
2.

Comprobar que son $n$ funciones linealmente independientes: si la unica solucion de

$\sum_{i=1}^{n}c_{i}y_{i}(x)=0\text{ es }c_{i}=0,$

derivando, i.e., el Wronskiano (funcion de $x$ ) no se anula (las columnas son linealmente independientes) en algun $x\rightarrow$

$W(y_{1},\ldots,y_{n})=\begin{vmatrix}y_{1}(x)&y_{2}(x)&\cdots&y_{n}(x)\\ y_{1}^{\prime}(x)&y_{2}^{\prime}(x)&\cdots&y_{n}^{\prime}(x)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ y_{1}^{(n-1)}(x)&y_{2}^{(n-1)}(x)&\cdots&y_{n}^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}\neq 0$

Definición II.2 (Solucion general).

Si $\left\{y_{1}(x),\ldots,y_{n}(x)\right\}$ es un sistema fundamental de soluciones de la EDO 5, la solucion general de la EDO 5 se construye asi:

y(x)=\sum_{i=1}^{n}K_{i}y_{i}(x)

donde $K_{i}$ son las $n$ constantes arbitrarias ( $n$ parametros, para una EDO de orden $n\Rightarrow$ coherencia).

Reduccion de orden

Siendo $y_{1}(x)$ una solucion particular no trivial de la EDO 5 de orden $n$ , el cambio de variable $y(x)=y_{1}(x)v(x)$ transforma la EDO en otra EDO lineal homogenea de orden $n-1$ en la variable $u(x)=v^{\prime}(x)$ .

Posteriormente, se resuelve la EDO de orden $n-1$ en $u(x)$ .

Por ultimo, se deshacen los cambios de variables realizados: $v^{\prime}(x)\to v(x)\to y(x)$ .

5.1 EDOs lineales de orden 2 homogeneas

Ejemplo II.1.

Veamos un ejemplo de reduccion de orden. Consideramos la EDO

a_{2}(x)y^{\prime\prime}(x)+a_{1}(x)y^{\prime}(x)+a_{0}(x)y(x)=0

y la solucion no trivial $y_{1}(x)$ .

Hagamos el cambio de variable $y(x)=y_{1}(x)v(x)$ , de forma que

a_{2}(x)(y_{1}(x)v(x))^{\prime\prime}+a_{1}(x)(y_{1}(x)v(x))^{\prime}+a_{0}(x)% y_{1}(x)v(x)=0

Entonces

a_{2}(x)(y_{1}^{\prime}(x)v(x)+y_{1}(x)v^{\prime}(x))^{\prime}+a_{1}(x)y_{1}^{% \prime}(x)v(x)+a_{1}(x)y_{1}(x)v^{\prime}(x)+a_{0}(x)y_{1}(x)v(x)=0

{}a_{2}(x)(y_{1}^{\prime\prime}(x)v(x)+y_{1}^{\prime}(x)v^{\prime}(x)+y_{1}^{% \prime}(x)v^{\prime}(x)+y_{1}(x)v^{\prime\prime}(x))+\\ {}+a_{1}(x)(y_{1}^{\prime}(x)v(x)+y_{1}(x)v^{\prime}(x))+a_{0}(x)y_{1}(x)v(x)=0

Realicemos ahora el cambio $u(x)=v^{\prime}(x)$ . Asi,

{}a_{2}(x)(y^{\prime\prime}_{1}(x)v(x)+y_{1}^{\prime}(x)u(x)+y^{\prime}_{1}(x)% u(x)+y_{1}(x)u^{\prime}(x))+\\ {}+a_{1}(x)(y_{1}^{\prime}(x)v(x)+y_{1}(x)u(x))+a_{0}(x)y_{1}(x)v(x)=0

simplificando,

{}v(x)\underbrace{\left(a_{2}(x)y_{1}^{\prime\prime}(x)+a_{1}(x)y^{\prime}_{1}% (x)+a_{0}(x)y_{1}(x)\right)}_{=0(\text{sol particular})}+u(x)\left(2a_{2}(x)y_{1}^{\prime}(x)+a_{1}(x)y_{1}(x)\right)+\\ {}+u^{\prime}(x)(a_{2}(x)y_{1}(x))=0

Por lo que nos queda

u(x)(2a_{2}(x)y^{\prime}_{1}(x)+a_{1}(x)y_{1}(x))+u^{\prime}(x)a_{2}(x)y_{1}(x% )=0

que se reescribe

u^{\prime}+\left(\frac{2y_{1}^{\prime}}{y_{1}}+\frac{a_{1}}{a_{2}}\right)u=0

Esto es una EDO de orden 1 que podemos resolver. Por la formula de EDOs lineales homogeneas de orden 1,

u(x)=Ke^{-\int pdx}=Ke^{-\int\frac{2y_{1}^{\prime}(x)}{y_{1}(x)}+\frac{a_{1}(x% )}{a_{2}(x)}dx}=Ke^{-2\ln(y_{1}(x))-\int\frac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)}dx}

Deshaciendo el cambio, como $u(x)=v^{\prime}(x)$ ,

v(x)=\int Ke^{-2\ln(y_{1}(x))-\int\frac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)}dx}dx+C

y por tanto

y(x)=y_{1}(x)v(x)=y_{1}(x)\left(\int Ke^{-2\ln(y_{1}(x))-\int\frac{a_{1}(x)}{a% _{2}(x)}dx}dx+C\right)

que depende de 2 parametros y por tanto es coherente.

Ejemplo II.2.

Consideramos la EDO lineal homogenea de segundo orden:

y^{\prime\prime}-\frac{3}{x}y^{\prime}+\frac{4}{x^{2}}y=0

y una solucion particular

y_{1}(x)=x^{2}\quad\text{ (no trivial)}

Hagamos el cambio de variable $y(x)=y_{1}(x)v(x)=x^{2}v(x)$ . Asi,

{x^{2}v(x)}^{\prime\prime}-\frac{3}{x}{x^{2}v(x)}^{\prime}+\frac{4}{x^{2}}x^{2% }v(x)=0

2v(x)+4xv^{\prime}(x)+x^{2}v^{\prime\prime}(x)-\frac{3}{x}\cdot(2xv(x)+x^{2}v^% {\prime}(x))+4v(x)=0

Ademas, tomando $u(x)=v^{\prime}(x)$ ,

2v(x)+4xu(x)+x^{2}u^{\prime}(x)-6v(x)-3xu(x)+4v(x)=0

y simplificando

u^{\prime}(x)x^{2}+xu(x)=0\Rightarrow u^{\prime}(x)+\frac{u(x)}{x}=0

Por la formula de EDOs lineales homogeneas de orden 1,

u(x)=Ke^{-\int\frac{1}{x}dx}=Ke^{-\ln(x)}

Deshaciendo el cambio de variable $u(x)=v^{\prime}(x)$ ,

v(x)=\int Ke^{-\ln(x)}+C=K\int\frac{1}{e^{\ln(x)}}dx+C=K\int\frac{1}{x}dx+C=K% \ln(x)+C

Por lo que ya podemos obtener la solucion general $y(x)$ :

y(x)=y_{1}(x)v(x)=x^{2}(K\ln(x)+C)

es coherente al ser de orden 2 y depender de 2 parametros.

5 EDOs de orden nn lineales homogéneas

Reduccion de orden

5.1 EDOs lineales de orden 2 homogeneas

5 EDOs de orden $n$ lineales homogéneas