5 Principio de inducción. Conjuntos finitos y numerables.

El principio de induccion matematica suele exponerse en el contexto de propiedades relativas a numeros naturales.

En este contexto, el principio de induccion matematica puede formularse de la manera siguiente.

Para cada $n\in\mathbb{N}$, sea $P(n)$ una proposicion acerca de $n$. Suponer que:

1. 1.
   ​

   $P(1)$ es verdadera

2. 2.
   ​

   Para cualquier $k\in\mathbb{N}$, si $P(k)$ es verdadera, entonces $P(k+1)$ es verdadera.

Entonces $P(n)$ es verdadera para toda $n\in\mathbb{N}$.

Se dice que dos conjuntos $A$ y $B$ son equipotentes o coordinables si es posible definir una funcion biyectiva $f\colon A\to B$ entre dichos conjuntos. Si un conjunto $A$ es equipotente con el subconjunto de los numeros naturales $\left\{1,2,3,\ldots,n\right\}$ se dice que el cardinal de $A$ es $n$ y se escribe $|A|=n$. Si $A$ es equipotente con $\left\{1,2,3,\ldots,n\right\}$ se dice que $A$ es finito. Por otra parte, si $A$ es coordinable con el conjunto $\mathbb{N}$, se dice que $A$ es numerable.

Tambien se podra demostrar que el conjunto $\mathbb{Q}$ de los numeros racionales es numerable.