22 Teoremas sobre Funciones Derivables

Teorema V.4 (de Rolle).

Supongamos $f$ continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$ . Si $f(a)=f(b)$ , entonces existe $c\in(a,b)$ tal que

f^{\prime}(c)=0

Demostración.

Sea $f$ una funcion continua en $[a,b]$ , derivable en $(a,b)$ y $f(a)=f(b)$ .

Definimos otra funcion $g(x)=f(x)-f(a)$ . Entonces $g(a)=f(a)-f(a)=0$ y $g(b)=f(b)-f(a)=0$ . Es obvio que $g$ es continua en $[a,b]$ , derivable en $(a,b)$ y $g(a)=g(b)=0$ .

1 Caso: $g(x_{0})>0$ $x_{0}\in(a,b)$ . Como $g$ es continua en $[a,b]\Rightarrow\exists x_{M}\mid g(x)\leq g(x_{M})\;\forall x\in[a,b]$ . Ademas, como $g(x_{0})>0\Rightarrow g(x_{M})>0$ . Aplicando el teorema del extremo interior, V.3, se tiene que $g^{\prime}(x_{M})=0$ , luego $c=x_{M}$ .
2 Caso: $g(x_{0})<0\;\forall x_{0}\in(a,b)$ . Definimos $G=-g\Rightarrow g(x_{0})>0$ y $G(a)=-g(a)=g(a)=G(b)$ . Aplicamos el primer caso y obtenemos el resultado.

∎

Teorema V.5 (del valor medio).

Supongamos $f$ continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$ . Entonces existe $c\in(a,b)$ tal que

f^{\prime}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

Demostración.

Definimos la función $\varphi(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$ .

$\varphi$ es una funcion continua en $[a,b]$ por ser suma de funciones continuas.
$\varphi$ es derivable en $(a,b)$
$\varphi(a)=f(a)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a-a)=0$
$\varphi(b)=f(b)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)=f(b)-f(a)-f(b)+f(a)=0$

Por el teorema de Rolle, sabemos que $\exists c\in(a,b)\mid\varphi^{\prime}(c)=0$ . Derivamos $\varphi$ y nos queda

\varphi^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot 1

Evaluando en $c,$ $0=\varphi^{\prime}(c)=f^{\prime}(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\Rightarrow f^{\prime% }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . ∎

Observación V.1.

Consecuencias del teorema del valor medio:

Si $f^{\prime}(x)=0\;\forall x\in(a,b)\Rightarrow f(x)$ es una constante.
Sea $f$ una funcion definida entre $[a,b]$ tal que $f^{\prime}(x)=0\forall x\in(a,b)$ . Como es derivable, tambien es continua. Definimos un punto $x\in(a,b)$ Comprobamos las hipotesis del valor medio por $f$ en el intervalo $[a,x]$ .
- •
  
  $f$ es continua en $[a,x]$ porque lo es en $[a,b]\supset[a,x]$ .
- •
  
  $f$ es derivable en $(a,x)$ porque es derivable en $(a,b)\supset(a,x)$ .
Por el teorema del valor medio, $\exists c\in(a,x)\mid f(x)-f(a)=f^{\prime}(c)(x-a)=0(x-a)=0$ . Luego $f(x)=f(a)$ . Por tanto, $f(x)=f(a)\;\forall x\in(a,b)$ y es constante.
Si $f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)\;\forall x\in(a,b)\Rightarrow f(x)=g(x)+C\;\forall x% \in(a,b)$ .
Sean $f,g$ funciones definidas en $[a,b]$ tal que $f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)\;\forall x\in(a,b)$ . Dado un punto $x\in(a,b)$ , se tiene que:
- •
  
  $f,g$ son continuas en $[a,x]$ porque lo son en $[a,b]$ .
- •
  
  $f,g$ son derivables en $(a,x)$ porque lo son en $(a,b)$ .
Por el teorema del valor medio, $\exists c\in(a,x)$ tal que

$\begin{dcases}f(x)-f(a)=f^{\prime}(c)(x-a)\Rightarrow f(x)=f^{\prime}(c)\cdot(% x-a)+f(a)\\ g(x)-g(a)=g^{\prime}(c)(x-a)\Rightarrow g(x)=g^{\prime}(c)\cdot(x-a)+g(a)\end{dcases}$

Si restamos las funciones, y teniendo en cuenta que $f^{\prime}(c)=g^{\prime}(c)$ , nos queda

$\displaystyle f(x)-g(x)$

$\displaystyle{}=\cancel{f^{\prime}(c)\cdot(x-a)}+f(a)-(\cancel{g^{\prime}(c)% \cdot(x-a)}+g(a))=f(a)-g(a)$

$\displaystyle{}\Rightarrow f(x)=g(x)+\underbrace{(f-g)(a)}_{\text{constante}}$

Por tanto, $f(x)=g(x)+C$ .

Teorema V.6 (de L’Hopital).

Si se verica que $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\alpha}f(x)=\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\alpha}g(x)=0$ o $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\alpha}f(x)=\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\alpha}=\infty$ , entonces

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\alpha}\frac{f(x)}{g(x)% }=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\alpha}\frac{f^{% \prime}(x)}{g^{\prime}(x)}

si el segundo límite tiene sentido.

Demostración.

No visto en clase. ∎

Ejemplo V.2.

Calcular $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0^{+}}x^{\sin x}$ .

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0^{+}}x^{\sin x}=% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0^{+}}e^{\ln(x\sin x)}% =\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0^{+}}e^{\sin x\ln x}% =\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0^{+}}e^{\frac{\ln x}% {1/\sin x}}=(y=\frac{\ln x}{1/x})=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}% \limits_{y\to??}e^{y}\mathchar 46\relax

Por otro lado,

\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0^{+}}% \frac{\ln x}{1/\sin x}\overset{(\frac{\infty}{\infty})L^{\prime}H}{=}

\displaystyle{}\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0^{+}}% \frac{1/x}{(-1)(\sin x)^{-2}\cos x}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}% \limits_{x\to 0^{+}}\frac{-(\sin x)^{2}}{x\cos x}

\displaystyle{}=-\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0^{+}% }\frac{\sin x\cdot\sin x}{x\cdot\cos x}=-\mathop{\operator@font l\acute{{% \imath}}m}\limits_{x\to 0^{+}}\sin x\ \cdot\mathop{\operator@font l\acute{{% \imath}}m}\limits_{x\to 0^{+}}\frac{\sin x}{\cos x}\overset{L^{\prime}H}{=}1% \cdot 0=0

Luego $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{y\to 0}e^{y}=e^{0}=1$ .