19 ¿Qué es la derivada?

Definition 19.1 (Derivada).

Se define la derivada de ff en el punto x0∈I⊂D⁢o⁢m⁢fx_{0}\in I\subset Domf como:

f′⁢(x0)=limh→0f⁢(x0+h)−f⁢(x0)h=limx→x0f⁢(x)−f⁢(x0)x−x0f^{\prime}(x_{0})=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\lim% \limits_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}

Decimos que ff es derivable en x0x_{0} si su derivada existe y es finita.

Notacion: f′⁢(x0)=d⁢fd⁢x⁢(x0)=d⁢f⁢(x)d⁢x|x=x0=d⁢fd⁢x|x=x0f^{\prime}(x_{0})=\frac{df}{dx}(x_{0})=\frac{df(x)}{dx}|_{x=x_{0}}=\frac{df}{% dx}|_{x=x_{0}}.

Definition 19.2.

Decimos que ff es derivable en un intervalo (a,b)(a,b) si es derivable en cada punto del intervalo.

Supongamos que ff es derivable en x0x_{0} y construyamos la recta tangente de ff en x0x_{0}.

Sabemos que cualquier recta es de la forma: y=m⁢(x−x0)+by=m(x-x_{0})+b donde m,b∈ℝm,b\in\mathbb{R} estan sin determinar. Además, cualquier recta que pase por (x0,f⁢(x0))(x_{0},f(x_{0})) cumple f⁢(x0)=m⁢(x0−x0)+b→b=f⁢(x0)f(x_{0})=m(x_{0}-x_{0})+b\rightarrow b=f(x_{0}).

Ahora, la recta que pasa también por (x0+h,f⁢(x0+h))(x_{0}+h,f(x_{0}+h)) tiene pendiente: y=mh⁢(x−x0)+f⁢(x0)⇒f⁢(x0+h)=mh⁢(x0+h−x0)+f⁢(x0)⇒mh=f⁢(x0+h)−f⁢(x0)hy=m_{h}(x-x_{0})+f(x_{0})\Rightarrow f(x_{0}+h)=m_{h}(x_{0}+h-x_{0})+f(x_{0})% \Rightarrow m_{h}=\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}. Por tanto, cuando h→0h\to 0,

y=f⁢(x0+h)−f⁢(x0)h⁢(x−x0)+f⁢(x0)⇒y=f′⁢(x0)⁢(x−x0)+f⁢(x0)y=\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}(x-x_{0})+f(x_{0})\Rightarrow\boxed{y=f^{\prime% }(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})}
Definition 19.3 (Derivadas laterales).

Podemos hablar de derivadas laterales de ff en x0x_{0} calculando los límites laterales:

f+′⁢(x0)=limh→0+f⁢(x0+h)−f⁢(x0)h⁢ y ⁢f−′⁢(x0)=limh→0−f⁢(x0+h)−f⁢(x0)hf^{\prime}_{+}(x_{0})=\lim\limits_{h\to 0^{+}}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}% \text{ y }f^{\prime}_{-}(x_{0})=\lim\limits_{h\to 0^{-}}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{% 0})}{h}

E igualmente, decimos que es derivable por la derecha o por la izquierda si el límite correspondiente es finito y existe. Ademas, ff es derivable en un intervalo [a,b][a,b] si es derivable en (a,b)(a,b), derivable por la derecha de aa y derivable por la izquierda de bb, del mismo modo para el resto de intervalos.