13 Criterios de la raíz y del cociente

1. 1.
   ​

   Si $r<1$, sea $y\in R^{+}$ tal que $r<y<1$. Como $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_{n}}=r$ existe $n_{0}\in\mathbb{N}$ tal que $\forall n\geq n_{0}$ se verifica que $\sqrt[n]{x_{n}}<y$, es decir, $\forall n\geq n_{0},x_{n}<y^{n}$ y puesto que la serie geométrica $\sum y^{n}$ es convergente por ser de razón $0<y<1$, la serie $\sum x_{n}$ es convergente por el primer criterio de comparación (III.1).

2. 2.
   ​

   Si $r>1$, existe $n_{0}\in\mathbb{N}$ tal que $\forall n\geq n_{0}$ $x_{n}>1$, con lo que $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}x_{n}\neq 0$ y, por consiguiente, la serie $\sum x_{n}$ no es convergente.

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1. 1.
   ​

   Si $r<1$, sea $y\in\mathbb{R}^{+}$ tal que $r<y<1$. Como $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=r$ existe $n_{0}\in\mathbb{N}$ tal que $\forall n\geq n_{0}$ se verifica que $\frac{x_{n+1}}{x_{n}}<y$, es decir, $\forall n\geq n_{0}x_{n+1}<x_{n}y$ por lo que, obviamente, $x_{n+2}<x_{n+1}y<x_{n}y^{2}$ y $\forall k\in\mathbb{N}\;x_{n+k}<x_{n}y^{k}$. Así pues, escribiendo $\forall n\geq n_{0}$, $n=n_{0}+k$, resultará que $x_{n}\leq x_{n_{0}}y^{n-n_{0}}$ y, siendo $M=x_{n_{0}}y^{-n_{0}}$, resulta que $\forall n\geq n_{0}\;x_{n}<My^{n}$. La convergencia de la serie $\sum x_{n}$ se sigue del primer criterio de comparación (III.1), puesto que $\sum y^{n}$ es convergente por ser una serie geométrica de razón $\left|y\right|<1$.

2. 2.
   ​

   Si $r>1$, consideramos $y\in\mathbb{R}^{+}$ tal que $1<y<r$. Entonces existe $n_{0}\in\mathbb{N}$ tal que $\forall n\geq n_{0}$ se verifica que $\frac{x_{n+1}}{x_{n}}\geq y\geq 1$, con lo que $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}x_{n}\neq 0$ y, por tanto, la serie $\sum x_{n}$ no converge.

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