11 Series de números reales

Definición III.1 (Serie).

Sea (xn)∞n=1⊂ℝ(x_{n})^{\infty}_{n=1}\subset\mathbb{R}.

Sea Xn=x1+x2+⋯+xn=∑k=1nxkX_{n}=x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=\sum_{k=1}^{n}x_{k}, la suma parcial nn-ésima con n∈ℕn\in\mathbb{N}.

La sucesión (Xn)∞n=1(X_{n})^{\infty}_{n=1} de sumas parciales recibe el nombre de serie asociada a la sucesion (xn)∞n=1(x_{n})^{\infty}_{n=1}, y si (Xn)∞n=1(X_{n})^{\infty}_{n=1} converge, a dicho límite se le denota por ∑n=1∞xn\sum_{n=1}^{\infty}x_{n} y se dice que (xn)∞n=1(x_{n})^{\infty}_{n=1} es sumable.

Si lı´mn→∞Xn=±∞\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}X_{n}=\pm\infty, se dice que la serie diverge a ±∞\pm\infty. También se denota ∑n=1∞xn=±∞\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}=\pm\infty.

En otro caso, se dice que la serie ni converge ni diverge.

Observación III.1.
∑n=1∞xn=x1+x2+⋯+xn+⋯=lı´mn→∞∑k=1nxn\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}=x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}+\cdots=\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}x_{n}
Ejemplo III.1.
  1. 1.
    ​

    Si xn=(−1)n,n∈ℕx_{n}=(-1)^{n},n\in\mathbb{N}.

    X1=x1=−1X_{1}=x_{1}=-1

    X2=x1+x2=(−1)+1=0X_{2}=x_{1}+x_{2}=(-1)+1=0

    X3=x1+x2+x3=−1X_{3}=x_{1}+x_{2}+x_{3}=-1

    …

    La serie ∑n=1∞(−1)n\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} no converge ni diverge.

  2. 2.
    ​

    ∑n=1∞1n(n−1)\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n-1)}

    1n(n−1)=1n−1n−1\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1}

    11⋅2+12⋅3+13⋅4+⋯+1n(n−1)=(11−12)+(12−13)+⋯=1−1n+1⟶n→+∞1\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac{1}{n(n-1% )}=(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots=1-\frac{1}{n+1}% \overset{n\to+\infty}{\longrightarrow}1.

  3. 3.
    ​

    Series telescopicas: ∑n=1∞(yn−yn+1)\sum_{n=1}^{\infty}(y_{n}-y_{n+1})

    Yn=(y1−y2)+(y2−y3)+(y3−y4)+⋯+(yn+1−yn)+(yn+yn+1)=y1−yn+1Y_{n}=(y_{1}-y_{2})+(y_{2}-y_{3})+(y_{3}-y_{4})+\cdots+(y_{n+1}-y_{n})+(y_{n}+% y_{n+1})=y_{1}-y_{n+1}.

    ∑n=1∞(yn−yn+1)\sum_{n=1}^{\infty}(y_{n}-y_{n+1}) converge ⇔(yn)∞n=1\iff(y_{n})^{\infty}_{n=1} converge.

    Además, en este caso, ∑n=1∞(yn−yn+1)=1−lı´mn→∞yn\sum_{n=1}^{\infty}(y_{n}-y_{n+1})=1-\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m% }\limits_{n\to\infty}y_{n}.

Observación III.2.
∑n=1∞(xn+yn)=∑n=1∞xn+∑n=1∞yn si ∑n=1∞xn,∑n=1∞yn convergen o ∑n=1∞xn=∑n=1∞yn=±∞\sum_{n=1}^{\infty}(x_{n}+y_{n})=\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}+\sum_{n=1}^{\infty}y% _{n}\text{ si }\sum_{n=1}^{\infty}x_{n},\sum_{n=1}^{\infty}y_{n}\text{ % convergen o }\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}y_{n}=\pm\infty
∑n=1∞(a⋅xn)=a⋅∑n=1∞xn si ∑n=1∞xn converge ∀a∈ℝ o ∑n=1∞xn=±∞ con a≠0\sum_{n=1}^{\infty}(a\cdot x_{n})=a\cdot\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}\text{ si }% \sum_{n=1}^{\infty}x_{n}\text{ converge }\;\forall a\in\mathbb{R}\text{ o }% \sum_{n=1}^{\infty}x_{n}=\pm\infty\text{ con }a\neq 0
Proposición III.1.

Sea (xn)∞n=1⊂ℝ(x_{n})^{\infty}_{n=1}\subset\mathbb{R}.

∑n=1∞xn converge ⇔ Dado ε>0,∃n0∈ℕ∣|xm+1+xm+2+⋯+xn|<ε∀n≥m≥n0\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}\text{ converge }\iff\text{ Dado }\varepsilon>0,% \exists n_{0}\in\mathbb{N}\mid\left|x_{m+1}+x_{m+2}+\cdots+x_{n}\right|<% \varepsilon\;\forall n\geq m\geq n_{0}
Demostración.

∑n=1∞xn\sum_{n=1}^{\infty}x_{n} converge ⇔\iff existe lı´mn→∞∑k=1nxk⇔(Xn)∞n=1\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}x_% {k}\iff(X_{n})^{\infty}_{n=1} converge ⇔(Xn)∞n=1\iff(X_{n})^{\infty}_{n=1} es una sucesión de Cauchy ⇔\iff ∀ε>0 existe n0∈ℕ con |Xn−Xm|<ε∀n,m≥n0\forall\varepsilon>0\text{ existe }n_{0}\in\mathbb{N}\text{ con }\left|X_{n}-X% _{m}\right|<\varepsilon\;\forall n,m\geq n_{0}. Pero tenemos que

|Xn−Xm|\displaystyle\left|X_{n}-X_{m}\right|
=|(x1+x2+⋯+xm+xm+1+⋯+xn)−(x1+x2+⋯+xm)|\displaystyle{}=\left|(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{m}+x_{m+1}+\cdots+x_{n})-(x_{1}+x% _{2}+\cdots+x_{m})\right|
=|xm+1+xm+2+⋯+xn|.\displaystyle{}=\left|x_{m+1}+x_{m+2}+\cdots+x_{n}\right|\mathchar 46\relax

Luego |∑i=mnxi|=|xm+1+xm+2+⋯+xn|<ε∀n≥m≥n0\left|\sum_{i=m}^{n}x_{i}\right|=\left|x_{m+1}+x_{m+2}+\cdots+x_{n}\right|<% \varepsilon\;\forall n\geq m\geq n_{0}. ∎

Ejemplo III.2.

Serie geometrica de primer termino aa y razón rr.

x1=ax_{1}=a, x2=r⋅ax_{2}=r\cdot a, x3=r⋅x2=r⋅r⋅ax_{3}=r\cdot x_{2}=r\cdot r\cdot a, …\ldots. Se tiene xn=a⋅rn−1x_{n}=a\cdot r^{n-1}.

∑n=1∞xn=∑n=1∞a⋅rn−1\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}a\cdot r^{n-1} converge si |r|<1|r|<1 y ademas ∑n=1∞a⋅rn−1=a⋅11−r=a1−r\sum_{n=1}^{\infty}a\cdot r^{n-1}=a\cdot\frac{1}{1-r}=\frac{a}{1-r}.

Proposición III.2.

Sea (xn)∞n=1⊂ℝ(x_{n})^{\infty}_{n=1}\subset\mathbb{R}.

∑n=1∞xn converge ⇒⇐lı´mn→∞xn=0.\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}\text{ converge }\begin{subarray}{c}\Rightarrow\\ \cancel{\Leftarrow}\end{subarray}\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}% \limits_{n\to\infty}x_{n}=0\mathchar 46\relax
Demostración.

Basta considerar n=mn=m en el criterio de Cauchy: si ε>0\varepsilon>0 podemos encontrar n0∈ℕn_{0}\in\mathbb{N} de manera que si n≥n0n\geq n_{0}, entonces |xn|<ε\left|x_{n}\right|<\varepsilon, y esto es lo mismo que decir que xn=0x_{n}=0. ∎

Proposición III.3.

Sea (xn)∞n=1⊂ℝ(x_{n})^{\infty}_{n=1}\subset\mathbb{R} con xn≥0,∀n∈ℕx_{n}\geq 0,\;\forall n\in\mathbb{N}. Entonces:

∑n=1∞xn converge⇔(∑k=1nxk)∞n=1 esta acotada.\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}\text{ converge}\iff(\sum_{k=1}^{n}x_{k})^{\infty}_{n=% 1}\text{ esta acotada}\mathchar 46\relax
Demostración.

Como xn≥0∀n∈ℕx_{n}\geq 0\;\forall n\in\mathbb{N}, se tiene que la serie es una sucesión monótona creciente ya que X1≤X2≤X3≤⋯X_{1}\leq X_{2}\leq X_{3}\leq\cdots.

Sabemos por el tema anterior que toda sucesión monótona es convergente si y sólo si está acotada. Luego es suficiente con aplicar este teorema para llegar al resultado. ∎

Proposición III.4.

Las series del tipo ∑n=1∞1nα\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha}} divergen cuando α∈(−∞,1]\alpha\in(-\infty,1] y convergen si α>1\alpha>1.