13 Criterios de la raíz y del cociente

Theorem 13.1 (Criterio de la raíz).

Sea (xn)n=1∞⊂[0,∞)(x_{n})^{\infty}_{n=1}\subset[0,\infty) tal que limn→∞xnn=r∈[0,∞)\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_{n}}=r\in[0,\infty). Entonces:

  • •
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    Si r<1⇒∑n=1∞xn<∞r<1\Rightarrow\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}<\infty

  • •
    ​

    Si r>1⇒∑n=1∞xn=+∞r>1\Rightarrow\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}=+\infty

Proof 13.2.
  1. 1.
    ​

    Si r<1r<1, sea y∈R+y\in R^{+} tal que r<y<1r<y<1. Como limn→∞xnn=r\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_{n}}=r existe n0∈ℕn_{0}\in\mathbb{N} tal que ∀n≥n0\forall n\geq n_{0} se verifica que xnn<y\sqrt[n]{x_{n}}<y, es decir, ∀n≥n0,xn<yn\forall n\geq n_{0},x_{n}<y^{n} y puesto que la serie geométrica ∑yn\sum y^{n} es convergente por ser de razón 0<y<10<y<1, la serie ∑xn\sum x_{n} es convergente por el primer criterio de comparación (12.1).

  2. 2.
    ​

    Si r>1r>1, existe n0∈ℕn_{0}\in\mathbb{N} tal que ∀n≥n0\forall n\geq n_{0} xn>1x_{n}>1, con lo que limn→∞xn≠0\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}\neq 0 y, por consiguiente, la serie ∑xn\sum x_{n} no es convergente.

Theorem 13.3 (Criterio del cociente).

Sea (xn)n=1∞⊂(0,∞)(x_{n})^{\infty}_{n=1}\subset(0,\infty) con limn→∞xn+1xn=r∈[0,∞)\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=r\in[0,\infty). Entonces:

  • •
    ​

    Si r>1r>1, ∑n=1∞xn<∞\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}<\infty

  • •
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    Si r>1⇒∑n=1∞xn=∞r>1\Rightarrow\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}=\infty

Proof 13.4.
  1. 1.
    ​

    Si r<1r<1, sea y∈ℝ+y\in\mathbb{R}^{+} tal que r<y<1r<y<1. Como limn→∞xn+1xn=r\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=r existe n0∈ℕn_{0}\in\mathbb{N} tal que ∀n≥n0\forall n\geq n_{0} se verifica que xn+1xn<y\frac{x_{n+1}}{x_{n}}<y, es decir, ∀n≥n0⁢xn+1<xn⁢y\forall n\geq n_{0}x_{n+1}<x_{n}y por lo que, obviamente, xn+2<xn+1⁢y<xn⁢y2x_{n+2}<x_{n+1}y<x_{n}y^{2} y ∀k∈ℕ⁢xn+k<xn⁢yk\forall k\in\mathbb{N}\;x_{n+k}<x_{n}y^{k}. Así pues, escribiendo ∀n≥n0\forall n\geq n_{0}, n=n0+kn=n_{0}+k, resultará que xn≤xn0⁢yn−n0x_{n}\leq x_{n_{0}}y^{n-n_{0}} y, siendo M=xn0⁢y−n0M=x_{n_{0}}y^{-n_{0}}, resulta que ∀n≥n0⁢xn<M⁢yn\forall n\geq n_{0}\;x_{n}<My^{n}. La convergencia de la serie ∑xn\sum x_{n} se sigue del primer criterio de comparación (12.1), puesto que ∑yn\sum y^{n} es convergente por ser una serie geométrica de razón |y|<1\left|y\right|<1.

  2. 2.
    ​

    Si r>1r>1, consideramos y∈ℝ+y\in\mathbb{R}^{+} tal que 1<y<r1<y<r. Entonces existe n0∈ℕn_{0}\in\mathbb{N} tal que ∀n≥n0\forall n\geq n_{0} se verifica que xn+1xn≥y≥1\frac{x_{n+1}}{x_{n}}\geq y\geq 1, con lo que limn→∞xn≠0\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}\neq 0 y, por tanto, la serie ∑xn\sum x_{n} no converge.