1 Numeros reales

En el conjunto $\mathbb{R}$ de los numeros reales hay dos operaciones binarias, denotadas por $+$ y $\cdot$, a las que se llama adicion y multiplicacion, respectivamente. Estas operaciones satisfacen las siguientes propiedades:

1. 1.
   ​

   $(a+b)+c=a+(b+c)$ para toda $a,b,c\in\mathbb{R}$ (propiedad asociativa de la suma)

2. 2.
   ​

   $a+b=b+a$ para toda $a,b\in\mathbb{R}$ (propiedad conmutativa de la suma)

3. 3.
   ​

   existe un elemento $0$ en $\mathbb{R}$ tal que $0+a=a$ y $a+0=a$ para toda $a$ en $\mathbb{R}$ (existencia del elemento neutro)

4. 4.
   ​

   para cada $a$ a en $\mathbb{R}$ existe un elemento $-a$ en $\mathbb{R}$ tal que $a+(-a)=0$ y $(-a)+a=0$ (elementos opuestos)

5. 5.
   ​

   $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$ para toda $a,b,c$ en $\mathbb{R}$ (propiedad asociativa de la multiplicacion)

6. 6.
   ​

   $a\cdot b=b\cdot a$ para toda $a,b\in\mathbb{R}$ (propiedad conmutativa de la multiplicacion)

7. 7.
   ​

   existe un elemento $1$ en $\mathbb{R}$ diferente de $0$ tal que $1\cdot a=a$ y $a\cdot 1=a$ para toda $a$ en $\mathbb{R}$ (existencia del elemento neutro)

8. 8.
   ​

   para cada $a\neq 0$ en $\mathbb{R}$ existe un elemento $a^{-1}$ en $\mathbb{R}$ tal que $a\cdot a^{-1}=1$ y $a^{-1}\cdot a=1$ (elemento inverso)

9. 9.
   ​

   $a\cdot(b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ y $(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$ para toda $a,b,c\in\mathbb{R}$ (propiedad distributiva de la multiplicacion sobre la adicion).

Por satisfacer estas propiedades (axiomas) se dice que el conjunto $\mathbb{R}$ tiene estructura de cuerpo respecto de la suma y producto habituales, o tambien que la terna $(R,+,\cdot)$ es un cuerpo. Las propiedades anteriores, que constituyen los primeros 9 axiomas de la definicion axiomatica $\mathbb{R}$, permiten obtener otras propiedades. Algunas de estas son las siguientes:

• •
  ​

  $\forall x\in\mathbb{R}$ si $x+x=x$ necesariamente $x=0$. En efecto, si $x+x=x$ entonces $(-x)+(x+x)=(-x)+x\overset{A1}{\Rightarrow}(-x+x)+x=0\Rightarrow 0+x=0\Rightarrow x=0$.

• •
  ​

  $\forall a\in\mathbb{R}$ se verifica que $0a=0$. En efecto, $0a=(0+0)a=0a+0a$ y, haciendo uso de la propiedad anterior, $0a=0$.

• •
  ​

  El elemento opuesto de un numero es unico. Supongamos que existen dos elementos $b,c\in\mathbb{R}$ tal que $b+a=0$ y $c+a=0$. En ese caso, $a+b=0=a+c$ y, por tanto, $b=b+0=b+(a+c)\overset{A2}{=}(b+a)+c=0+c=c$.

• •
  ​

  $(-1)a=-a$. En efecto, $a+(-1)a=1a+(-1)a=(1+(-1))a=0a=0$ por lo que teniendo en cuenta la unicidad del elemento opuesto tenemos que $(-1)a=-a$.

• •
  ​

  Si $ab=0$ y $a\neq 0$, entonces $b=0$. Si $a\neq 0$ entonces podemos multiplicar ambos lados de la igualdad por $a^{-1}$, obteniendo $a^{-1}ab=a^{-1}0\Rightarrow 1b=0\Rightarrow b=0$.

• •
  ​

  La ecuacion $ax+b=0$ tiene una unica solucion, siempre que $a\neq 0$.

En el conjunto de los numeros reales se considera una relacion de orden $\leq$ que tiene las siguientes propiedades:

1. 10.
   ​

   $\forall a\in\mathbb{R}$, $a\leq a$ (reflexiva)

2. 11.
   ​

   $\forall a,b\in\mathbb{R}$, si $a\leq b$ y $b\leq a$, entonces $b=a$

3. 12.
   ​

   $\forall a,b,c\in\mathbb{R}$, si $a\leq b$ y $b\leq c$, entonces $a\leq c$.

4. 13.
   ​

   $\forall a,b\in\mathbb{R}$ si $a,b\in\mathbb{R}$, entonces o $a\leq b$ o $b\leq a$ (relación de orden total).

5. 14.
   ​

   $\forall a,b,c\in\mathbb{R}$, si $a\leq b$ y $c\in\mathbb{R}$, entonces $a+c\leq b+c$ (compatibilidad con las operaciones algebraicas).

6. 15.
   ​

   $\forall a,b,c\in\mathbb{R}$, si $a\leq b$ y $0\leq c$, entonces $ac\leq bc$.

A partir de estas propiedades podemos definir los siguientes conjuntos:

Si $a,b\in\mathbb{R}$ y $a\leq b$, entonces se definen:

• •
  ​

  el intervalo abierto de extremos $a$ y $b$ como el conjunto $(a,b)=\left\{x\in\mathbb{R}\mid a<x<b\right\}$.

• •
  ​

  el intervalo cerrado de extremos $a$ y $b$ como el conjunto $[a,b]=\left\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x\leq b\right\}$

• •
  ​

  $[a,b)=\left\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x<b\right\}$

• •
  ​

  $(a,b]=\left\{x\in\mathbb{R}\mid a<x\leq b\right\}$ (en algunos textos llaman a estos intervalos semiabiertos o semicerrados)

• •
  ​

  $(-\infty,b)=\left\{x\in\mathbb{R}\mid x<b\right\}$

• •
  ​

  $(-\infty,b]=\left\{x\in\mathbb{R},x\leq b\right\}$

• •
  ​

  $(a,+\infty)=\left\{x\in\mathbb{R}\mid a<x\right\}$

• •
  ​

  $[a,+\infty)=\left\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x\right\}$

• •
  ​

  $(-\infty,+\infty)=\mathbb{R}$

Si $\sup S\in S$, diremos que es el máximo de $S$. Por otro lado, si $\inf S\in S$, recibe el nombre de mínimo de $S$.

Un conjunto $S$ que no esté acotado superiormente no tendrá supremo (ni cotas superiores). En este caso a veces se escribe que $\sup A=+\infty$.

Para terminar la axiomática de los numeros reales, se añade la siguiente propiedad:

1. 16.
   ​

   Todo subconjunto de los numeros reales no vacio y acotado superiormente tiene supremo.

La propiedad análoga para los infimos se puede deducir a partir del axioma del supremo. Supongamos que $S$ esta acotado inferiormente. Entonces existe el infimo de $A$ y se tiene que

siendo $-A=\left\{-a\mid a\in A\right\}$.