9 Teoremas de la función inversa e implícita

No demostrado.

Veamos primero que $g$ es inyectiva y $g^{-1}$ es $\frac{1}{1-K}-$Lipschitz. En efecto, para todos $x,x^{\prime}\in U$ se tiene

lo que muestra que $g$ es inyectiva (si $g(x)=g(x^{\prime})$, $0\geq(1-K)\left\lVert x-x^{\prime}\right\rVert$, luego $x=x^{\prime}$) y $g^{-1}\colon g(U)\to U$ es $\frac{1}{1-K}$-Lipschitz ($\left\lVert g^{-1}(y)-g^{-1}(y)\right\rVert=\left\lVert g^{-1}\right\rVert=\left\lVert g^{-1}(g(x))-g^{-1}(g(x))\right\rVert=\left\lVert x-x^{\prime}\right\rVert\leq\frac{1}{1-K}\left\lVert g(x)-g(x^{\prime})\right\rVert=\frac{1}{\frac{1}{K}}\left\lVert y-y^{\prime}\right\rVert$).

Veamos ahora que $V=g(U)$ es abierto. Sea $b=g(a)\in V=g(U)$. Como $U$ es abierto existe $r>0$ tal que $\overline{B}(a,r)\subset U$. Pongamos $s\coloneqq(1-K)r$, y veamos que $B(b,s)\subset V$, lo que permitira concluir que $V$ es abierto. Si $y\in B(b,(1-K)r)$ entonces, para todo $x\in\overline{B}(a,r)$ tenemos que

es decir, $y-f(x)\in\overline{B}(a,r)$. Por tanto la aplicacion $\varphi\colon x\mapsto y-f(x)$ lleva la bola cerrada $\overline{B}(a,r)$ dentro de si misma, y puesto que

resulta que $\varphi\colon\overline{B}(a,r)\to\overline{B}(a,r)$ es una aplicacion contractiva del espacio metrico completo $\overline{B}(a,r)$ en si mismo (teorema 4.16). Entonces, por el teorema del punto fijo $\varphi$ tiene un unico punto fijo $x_{y}$, que satisface por tanto $x_{y}=y-f(x_{y})$, es decir, $y=g(x_{y})$, lo que muestra que $y\in g(\overline{B}(a,r))\subset g(U)=V$.

Notese que este argumento tambien prueba que $g^{-1}(y)=x_{y}$, donde $x_{y}$ es el unico punto fijo de la aplicacion contractiva $\varphi=\varphi_{y}\colon x\mapsto y-f(x)$.

Veamos que por ultimo que $h$ es $K/(1-K)$-Lipschitz. Sea $y=g(x)$. Entonces $x=y-f(x)$, luego $h(y)=y-g^{-1}(y)=y-x=f(x)$. Es decir, $h(y)=f(g^{-1}(y))$. Como $f$ es $K$-Lipschitz y $g^{-1}$ es $1/(1-K)$-Lipschitz se deduce inmediatamente que la composicion $h=f\circ g^{-1}$ es $K/(1-K)$-Lipschitz, pues

Sea $L$ la inversa de $Df(a)$. La aplicacion $g\colon U\to\mathbb{R}^{n}$ definida por

es de clase $C^{1}$ (composicion de funciones diferenciables e identidad) y su derivada es, aplicando la regla de la cadena,

en particular se tiene $Dg(a)=0$ (porque $L$ se define como la inversa de $Df(x)$ en $a$, luego $Dg(a)=I-I=0$), y como $Dg$ es continua (son continuas cada una de las derivadas parciales) existe $r>0$ tal que $B(a,r)\subset U$ y $\left\lVert Dg(x)\right\rVert\leq\frac{1}{2}$ para todo $x\in B(a,r)$, luego, por la desigualdad del valor medio (Corolario 10.3.),

para todos $x,x^{\prime}\in B(a,r)$. Entonces, en la bola $B(a,r)$, la aplicacion $L\circ f$ es la suma de la identidad y la aplicacion $\frac{1}{2}$-Lipschitz $g$. Por el teorema anterior resulta que $L\circ f$ es un homeomorfismo de $B(a,r)$ sobre el abierto $W=L^{-1}(A)=Df(a)(A)$ de $\mathbb{R}^{n}$.

Veamos ahora que $f^{-1}$ es diferenciable en $b=f(a)$, con $Df^{-1}(b)=Df(a)^{-1}$. Sea $1>\epsilon>0$. Como $Dg$ es continua, existe $\rho\in(0,r)$ tal que $\left\lVert Dg(x)\right\rVert\leq\epsilon$ para todo $x\in B(a,\rho)$. En particular $g$ es $\epsilon$-Lipschitz en $B(a,\rho)$, y otra vez por el teorema anterior, sabemos que $(L\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ L^{-1}$ es, sobre el abierto $W_{p}=L\circ f(B(a,\rho))$ (que es entorno de $L(b)$), la suma de la identidad y de una funcion $\frac{\epsilon}{1-\epsilon}$-Lipschitz. Asi, para todo $y\in W_{p}$ tendremos que

es decir

para todo $y$ en el entorno $W_{p}$ de $L(b)$. Como $\lim\limits_{\epsilon\to 0}\frac{\epsilon}{1-\epsilon}=0$, esto implica que $(L\circ f)^{-1}$ es diferenciable en $L(b)$, y su diferencial en este punto es la identidad. Entonces, por la regla de la cadena, $f^{-1}=(L\circ f)^{-1}\circ L$ es diferenciable en $b$, con diferencial $Df^{-1}(b)=I\circ L=L=Df(a)^{-1}$.

La demostracion de que si $f\in C^{p}(V)$ entonces $f^{-1}\in C^{p}(W)$ no la vemos.

Vamos a aplicar el teorema de la funcion inversa a la funcion $f\colon A\subseteq\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{m}\to\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{m}$ definida por

La ecuacion $F(x,y)=0$ equivale pues a la ecuacion $f(x,y)=(x,0)$. Se tiene que $f(a,b)=(a,0)$ y la diferencial de $f$ en $(a,b)$ viene dada por

donde $I$ es la matriz identidad. Es decir,

para todo $(h,k)\in\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{m}$. Si $Df(a,b)(h,k)=0$ entonces $h=0$ y $\frac{\partial F}{\partial y}(a,b)(k)=0$, luego (al ser $\frac{\partial F}{\partial y}(a,b)$ invertible) tambien $k=0$. Esto muestra que $Df(a,b)$ es invertible. Podemos aplicar entonces el teorema de la funcion inversa a $f$: existe $\Omega$ entorno abierto de $(a,b)$ en $A$ tal que $f\colon\Omega\to f(\Omega)$ es un difeomorfismo de clase $C^{p}$. Sean $U_{0}$ entorno abierto de $a$ y $V_{0}$ entorno abierto de $b$ tales que $U_{0}\times V_{0}\subset\Omega$. Entonces $f(U_{0}\times V_{0})$ es abierto en $\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{m}$ y para todo $(x,y)\in U_{0}\times V_{0}$ se tiene que

Notese que, como $f$ es de la forma $f(x,y)=(x,F(x,y))$ (es decir, su primera funcion coordenada es la proyeccion $(x,y)\to x$), entonces $f^{-1}$ es tambien de la forma $f^{-1}(u,v)=(u,\psi(u,v))$, para alguna funcion $\psi\colon f(U_{0}\times V_{0})\to\mathbb{R}^{m}$ de clase $C^{p}$.

Definamos $U=\left\{x\in\mathbb{R}^{n}\colon(x,0)\in f(U_{0}\times V_{0})\right\}$. Es inmediato que $U$ es abierto (se tiene que $U=f^{-1}(f(U_{0}\times V_{0}))$, donde la inyeccion $j\colon x\to(x,0)$ es continua) y es no vacio puesto que $(a,0)\in f(U_{0}\times V_{0})$, es decir $a\in U$. Sea $\varphi\colon U\to\mathbb{R}^{m}$ la aplicacion definida por

que es claramente de clase $C^{p}$ sobre el abierto $U$. Para cada $x\in U$ se tiene $(x,\varphi(x))=f^{-1}(x,0)\in U_{0}\times V_{0}$, y en particular $x\in U_{0}$, $\varphi\in V_{0}$. Luego $\varphi$ lleva $U$ en $V\coloneqq V_{0}$. En conclusion, para todo $(x,y)\in U\times V$ se tiene que

Finalmente, diferenciando la aplicacion $x\mapsto F(x,\varphi(x))$, que es constante en $U$, obtenemos que

lo que determina la demostracion del teorema.