8 Teorema de Taylor

El polinomio de Taylor es una aproximacion polinomica de una funcion cerca de un punto. La forma general es $f(x)=P_{n}(x)+R_{n}(x)$, donde $P_{n}(x)=f(x_{0})+f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})+\frac{f^{\prime\prime}x_{0}}{2!}(x-x_{0})^{2}+\cdots+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}$.

Decimos que $f(x)=o(g(x))$ si $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=0$.

El resto $R_{n}$ (error cometido) se puede expresar de las formas

donde $c\in(x,x_{0})$.

Veamos algunos desarrollos del polinomio de Taylor importantes en $x_{0}=0$:

Vamos a demostrar la expresion de Taylor de orden 1:

El teorema del valor medio de la integral nos dice que, dada una funcion $f(x)$ y el intervalo $(a,b)$, existe un $c\in(a,b)$ de forma que el area del rectangulo dado por la base $b-a$ y altura $f(c)$ es igual a la integral de $f(x)$ de $b$ a $a$ (el area bajo la curva). Es decir, $\exists c\in(a,b)$ tal que $f(c)\cdot(b-a)=\int^{b}_{a}f(x)dx$. De forma general, $\exists c\in(a,b)$ tal que $\int^{b}_{a}g(x)f(x)dx=f(c)\int^{b}_{a}g(x)dx$.

Sabemos que $R_{n}(x)=\int^{x}_{x_{0}}\frac{(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)}{n!}dt$. Por el teorema del valor medio, existe $c$ entre $x$ y $x_{0}$ tal que $\int^{x}_{x_{0}}\frac{(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)}{n!}dt=\frac{f^{(n+1)(c)}}{n!}\int^{x}_{x_{0}}(x-t)^{n}dt=\frac{f^{(n+1)(c)}}{n!}\frac{(x-x_{0})^{n+1}}{n+1}$ que es igual a $\frac{f^{n+1}(c)(x-x_{0})^{n+1}}{(n+1)!}$, por lo que las dos expresiones que hemos visto del resto son equivalentes.

Si $f\colon\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ es diferenciable, $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})-\nabla f(x_{0})(x-x_{0})}{\left\lVert x-x_{0}\right\rVert}=0$, por lo que $R_{1}=f(x)-f(x_{0})-\nabla f(x_{0})(x-x_{0})$. Entonces el polinomio de Taylor de orden $1$ centrado en $x_{0}$ es $f(x)=f(x_{0})+\nabla f(x_{1})(x-x_{0})+R_{1}$.

En funciones $f\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$, se tiene que