7 Derivadas de orden superior. Teorema de Schwartz. ‣ Part II Diferenciación ‣ Análisis Vectorial I

Definition 7.1.

Sea $f\colon U\subset\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ . Supongamos que la derivada parcial $\partial f/\partial x_{i}$ existe en $U$ . Si la funcion

\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\colon U\to\mathbb{R}^{m}

admite derivada parcial $j$ -esima en $x\in U$ , se dice que $f$ tiene derivada parcial segunda en $x$ y se denota

\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}(x)\coloneqq\frac{\partial}{% \partial x_{j}}(\frac{\partial f}{\partial x_{i}})(x).

Remark 7.2.

Aplicando las propiedades que ya conocemos de las funciones diferenciables, es inmediato ver que la derivada parcial de $f=(f_{1},\ldots,f_{m})$

\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}

existe si y solo si existen las derivadas parciales

\frac{\partial^{2}f_{k}}{\partial x_{j}\partial x_{i}}

para todo $k=1,\ldots,m$ y en este caso se tiene la igualdad

\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}=(\frac{\partial^{2}f_{1}}{% \partial x_{j}\partial x_{i}},\ldots,\frac{\partial^{2}f_{m}}{\partial x_{j}% \partial x_{i}})

Theorem 7.3 (de Schwartz).

Sea $f\colon U\subseteq\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ tal que las derivadas parciales $\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}$ y $\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}$ existen y son continuas en $U$ . Entonces

\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}=\frac{\partial^{2}f}{% \partial x_{j}\partial x_{i}}

Definition 7.4.

Sean $f\colon U\subset\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ , $p\in\mathbb{N}$ . Diremos que $f$ es de clase $\mathcal{{C}}^{p}$ en $U$ , y se denota $f\in C^{p}(U,\mathbb{R}^{m})$ , si las derivadas parciales de orden p existen y son continuas en $U$ .

Proposition 7.5.

Para todo $p\in\mathbb{N}$ , se tiene que

C^{p}(U,\mathbb{R}^{m})\subset C^{p-1}(U,\mathbb{R}^{m})

Proposition 7.6.

Una funcion $f\colon U\subseteq\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ esta en $C^{p}(U,\mathbb{R}^{m})$ si y solo si $D_{i}f=\partial f/\partial x_{i}$ esta en $C^{p-1}(U,\mathbb{R}^{m})$ para todo $i=1,2,\ldots,n$ .

Theorem 7.7.

Sea $f\colon U\subset\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ de clase $C^{p}$ con $p\geq 2$ . Sean $i_{1},\ldots,i_{q}\in\left\{1,\ldots,n\right\}$ , con $q\leq p$ . Entonces, para toda permutacion $\left\{i^{\prime}_{1},\ldots,i^{\prime}_{q}\right\}$ de $\left\{i_{1},\ldots,i_{q}\right\}$ , se tiene que

\frac{\partial^{q}f}{\partial x_{i^{\prime}_{1}}\ldots\partial x_{i^{\prime}_{% q}}}(x)=\frac{\partial^{q}f}{\partial x_{i_{1}}\ldots\partial x_{i_{q}}}(x)

Theorem 7.8.

Sea $p\in\mathbb{N}\cup\left\{\infty\right\}$ . Entonces

1.

La composicion de funciones de clase $C^{p}$ es de clase $C^{p}$ . Es decir, si $f\in C^{p}(U,\mathbb{R}^{m})$ , $g\in C^{p}(V,\mathbb{R}^{k})$ y $f(U)\subseteq V$ . Entonces $g\circ f\in C^{p}(U,\mathbb{R}^{k})$ .
2.

La suma de funciones de clase $C^{p}$ es de clase $C^{p}$ .
3.

El producto de funciones de clase $C^{p}$ es de clase $C^{p}$ . Es decir, si $f\in C^{p}(U,\mathbb{R}^{k})$ , $\lambda\in C^{p}(U,\mathbb{R})$ entonces $\lambda f\in C^{p}(U,\mathbb{R}^{k})$ .