6 Teorema del valor medio ‣ Part II Diferenciación ‣ Análisis Vectorial I

Theorem 6.1.

del valor medio Sea $f\colon U\subseteq\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ una funcion diferenciable en un segmento $[a,b]\subset U$ . Entonces existe $c\in[a,b]$ tal que

f(b)-f(a)=Df(c)(b-a)=\langle\nabla f(c),b-a\rangle.

Proof 6.2.

Definamos la funcion $\varphi\colon[0,1]\to U$ por

\varphi(t)=(1-t)a+tb.

Notese que $\varphi$ es continua, y diferenciable en $[0,1]$ , con $\varphi^{\prime}(t)=b-a$ . Consideremos ahora la composicion $g\coloneqq f\circ\varphi\colon[0,1]\to\mathbb{R}$ . Es claro que $g$ es continua en $[0,1]$ y, por la regla de la cadena, diferenciable en $(0,1)$ , con

g^{\prime}(t)=Df(\varphi(t))(\varphi^{\prime}(t))=Df(\varphi(t))(b-a)=\langle% \nabla f(\varphi(t)),b-a\rangle

Podemos aplicar entonces el teorema del valor medio, ya conocidos para funciones de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ , para encontrar $\theta\in(0,1)$ tal que

f(b)-f(a)=g(1)-g(0)=g^{\prime}(\theta)=\langle\nabla f(\varphi(\theta)),b-a\rangle

de donde, poniendo $c\coloneqq\varphi(\theta)\in[a,b]$ , se obtiene el resultado.

Theorem 6.3 (desigualdad del valor medio).

Sea $U$ un conjunto abierto y convexo de $\mathbb{R}^{n}$ . Sea $f\colon U\to\mathbb{R}^{m}$ diferenciable en $U$ . Entonces, para cada $x,y\in U$ , existe $c\in[x,y]$ tal que

\left\lVert f(x)-f(y)\right\rVert\leq\left\lVert Df(c)(y,x)\right\rVert,

donde la norma considerada es la euclidea.

Remark 6.4.

Un subconjunto de $\mathbb{R}^{n}$ es convexo si, tomando dos puntos, el segmento que los une esta dentro del conjunto.

Corollary 6.5.

Sea $f\colon U\subseteq\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ una funcion diferenciable sobre un abierto convexo, y supongamos que

\left|\frac{\partial f_{j}}{\partial x_{i}}(x)\right|\leq M

para todo $x\in U$ . Entonces

\left\lVert f(x)-f(y)\right\rVert\leq\sqrt{nm}M\left\lVert x-y\right\rVert

para todos $x,y\in U$ .

Corollary 6.6.

Sean $U\subseteq\mathbb{R}^{n}$ un abierto conexo, y $f\colon U\to\mathbb{R}^{m}$ una funcion difererenciable tal que $Df(x)=0$ para todo $x\in U$ . Entonces $f$ es constante en $U$ .