9 Aplicaciones lineales ‣ Part III Aplicaciones lineales ‣ Álgebra lineal

Definition 9.1.

Sean $(E,+,\cdot)$ y $(E^{\prime},+,\cdot)$ dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo $\mathbb{K}$ . Diremos que la funcion $f:E\to E^{\prime}$ es lineal (homomorfismo) si $f$ satisface las siguientes propiedades:

1.

$\forall u,v\in E$ , $f(u+v)=f(u)+f(v)$
2.

$\forall u\in E$ , $\forall\alpha\in\mathbb{K}$ , $f(\alpha u)=\alpha\cdot f(u)$

Proposition 9.2.

Una aplicacion $f:E\to E^{\prime}$ es lineal si y solo si $\forall u,v\in E$ , $\forall\alpha,\beta\in\mathbb{K}\quad f(\alpha u+\beta v)=\alpha f(u)+\beta f(v)$

Proof 9.3.

$\Rightarrow$: ] Supongamos que $f\colon E\to E^{\prime}$ es lineal, o lo que es lo mismo, que $f$ satisface las condiciones $1$ y $2$ de la definicion. Dados $u,v\in E$ y $\alpha,\beta\in\mathbb{K}$ , por la condicion 1 resulta que

$f(\alpha u+\beta v)=f(\alpha u)+f(\beta v)=\text{ (por la condicion 2) }=% \alpha f(u)+\beta f(v)$
$\Leftarrow$: ] Reciprocamente, supongamos que $\forall u,v\in E,\forall\alpha,\beta\in\mathbb{K}$ se verifica que

$f(\alpha u+\beta v)=\alpha f(u)+\beta f(v).$

Hay que demostrar que $f$ satisface las condiciones 1 y 2.

Dados $u,v\in E$ , tomando $\alpha=\beta=1$ , tenemos

$f(u+v)=f(1\cdot u+1\cdot v)=1\cdot f(u)+1\cdot f(v)=f(u)+f(v).$

Por otro lado, si tomamos $\beta=0$ , resulta que

$f(\alpha u)=f(\alpha u+0v)=\alpha f(u)+0\cdot f(v)=\alpha f(u).$

Example 9.4.

1.

La función identidad $I_{d_{E}}\colon E\to E$
2.

La función proyección i-ésima

$\displaystyle p_{i}\colon E_{1}\times\cdots\times E_{n}$

$\displaystyle{}\longrightarrow E_{i}$

$\displaystyle(u_{1},\ldots,u_{n})$

$\displaystyle{}\longmapsto u_{i}$
3.

La integracion definida:

$\displaystyle I\colon C([a,b],\mathbb{R})$

$\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{R}$

$\displaystyle f$

$\displaystyle{}\longmapsto\int^{b}_{a}f$
4.

La función $\det\colon\mathfrak{{M}}_{n}(\mathbb{K})\to\mathbb{K}$ no es lineal.