12 Espacios vectoriales isomorfos

Definition 12.1.

Siendo EE y E′E^{\prime} dos 𝕂\mathbb{K}-e.v., se dice que EE y E′E^{\prime} son isomorfos si existe una funcion f:E→E′f\colon E\to E^{\prime} tal que ff es lineal y biyectiva. En ese caso, se dice que ff es un isomorfismo.

Proposition 12.2.

Si f:E→E′f\colon E\to E^{\prime} es un isomorfismo, f−1:E′→Ef^{-1}\colon E^{\prime}\to E es tambien un isomorfismo.

Proof 12.3.

Si f:E→E′f\colon E\to E^{\prime} es biyectiva entonces f−1:E′→Ef^{-1}\colon E^{\prime}\to E es tambien biyectiva. Veamos que es lineal.

  1. 1.
    ​

    Sean u′,v′∈E′u^{\prime},v^{\prime}\in E^{\prime}. Por ser f:E→E′f\colon E\to E^{\prime} biyectiva, ∃!⁡u,v∈E\exists!u,v\in E tales que f⁢(u)=u′f(u)=u^{\prime} y f⁢(v)=v′f(v)=v^{\prime}.

    Luego f−1⁢(u′+v′)=f−1⁢(f⁢(u)+f⁢(v))=f−1⁢(f⁢(u+v))=u+v=f−1⁢(u)+f−1⁢(v)f^{-1}(u^{\prime}+v^{\prime})=f^{-1}(f(u)+f(v))=f^{-1}(f(u+v))=u+v=f^{-1}(u)+f% ^{-1}(v).

  2. 2.
    ​

    Sean u′∈E′u^{\prime}\in E^{\prime} y α∈𝕂\alpha\in\mathbb{K}. Entonces ∃!⁡u∈E∣f⁢(u)=u′\exists!u\in E\mid f(u)=u^{\prime}.

    Tenemos que

    f−1⁢(α⁢u′)=f−1⁢(α⁢f⁢(u))=f−1⁢(f⁢(α⁢u))=α⁢u=α⁢f−1⁢(u′).f^{-1}(\alpha u^{\prime})=f^{-1}(\alpha f(u))=f^{-1}(f(\alpha u))=\alpha u=% \alpha f^{-1}(u^{\prime}).