8 Espacio cociente

Definition 8.1.

Sea SS un subespacio vectorial de VV. En VV definimos la siguiente relación

v∼w⁢ si ⁢v−w∈S.v\sim w\text{ si }v-w\in S.
Proposition 8.2.

La relación ∼\sim es una relación de equivalencia.

Proof 8.3.
  • •
    ​

    Reflexiva: para cada v,v∼vv,v\sim v porque v−v=0V∈Sv-v=0_{V}\in S

  • •
    ​

    Simétrica: v∼w⇒v−w∈S⇒w−v∈S⇒w∼vv\sim w\Rightarrow v-w\in S\Rightarrow w-v\in S\Rightarrow w\sim v

  • •
    ​

    Transitiva:

    v∼w⇒v−w∈Sw∼u⇒w−u∈S}⇒(v−w)+(w−u)=v−u∈S⇒v∼u\begin{rcases}v\sim w\Rightarrow v-w\in S\\ w\sim u\Rightarrow w-u\in S\end{rcases}\Rightarrow(v-w)+(w-u)=v-u\in S% \Rightarrow v\sim u
Proposition 8.4.

Las clases de equivalencia respecto de la relación ∼\sim son

[v]∼={v+s∣s∈S}=v+S[v]_{\sim}=\left\{v+s\mid s\in S\right\}=v+S
Proof 8.5.

Por doble contenido:

⊆\boxed{\subseteq}

Si w∈[v]w\in[v], w∼vw\sim v así que w−v=s∈Sw-v=s\in S, y w=v+s∈v+Sw=v+s\in v+S.

⊇\boxed{\supseteq}

Si tomamos w=v+sw=v+s para algún s∈Ss\in S entonces w−v=s∈Sw-v=s\in S, luego w∼v⇒w∈[v]w\sim v\Rightarrow w\in[v].

El conjunto cociente V/∼V/\sim lo vamos a denotar como V/SV/S y va a estar formado por las clases de equivalencia:

V/S={v+S∣v∈S}V/S=\left\{v+S\mid v\in S\right\}
Proposition 8.6.

En el conjunto cociente V/SV/S podemos definir las operaciones

+:V/S×V/S\displaystyle+\colon V/S\times V/S
⟶V/S\displaystyle{}\longrightarrow V/S
(v+S,w+S)\displaystyle(v+S,w+S)
⟼(v+w)+S\displaystyle{}\longmapsto(v+w)+S

y

⋅K:𝕂×V/S\displaystyle\cdot_{K}\colon\mathbb{K}\times V/S
⟶V/S\displaystyle{}\longrightarrow V/S
(λ,v+S)\displaystyle(\lambda,v+S)
⟼(λ⁢v)+S\displaystyle{}\longmapsto(\lambda v)+S

Estas operaciones están bien definidas y dan a V/SV/S una estructura de espacio vectorial. Este espacio vectorial se llama espacio cociente.

Proof 8.7.

Veamos que ++ está bien definida, es decir, si v+S=v^+Sv+S=\hat{v}+S y w+S=w^+Sw+S=\hat{w}+S entonces (v+w)+S=(v^+w^)+S(v+w)+S=(\hat{v}+\hat{w})+S:

v+S=v^+S⇒v−v^∈S\displaystyle v+S=\hat{v}+S\Rightarrow v-\hat{v}\in S
w+S=w^+S⇒w−w^∈S\displaystyle w+S=\hat{w}+S\Rightarrow w-\hat{w}\in S

así que

v+w−(v^+w^)=v−v^⏟∈S+w−w^⏟∈S∈S.v+w-(\hat{v}+\hat{w})=\underbrace{v-\hat{v}}_{\in S}+\underbrace{w-\hat{w}}_{% \in S}\in S.

Veamos que ⋅K\cdot_{K} está bien definida, es decir, si v+S=v^+Sv+S=\hat{v}+S y λ∈𝕂\lambda\in\mathbb{K} entonces (λ⁢v)+S=(λ⁢v^)+S(\lambda v)+S=(\lambda\hat{v})+S:

v+S=v^+S⇒v−v^∈Sv+S=\hat{v}+S\Rightarrow v-\hat{v}\in S

así que

(λ⁢v)−(λ⁢v^)=λ⁢v−v^⏟∈S∈S(\lambda v)-(\lambda\hat{v})=\lambda\underbrace{v-\hat{v}}_{\in S}\in S

Se puede comprobar que (V/S,+)(V/S,+) es un grupo abeliano. El elemento neutro de la ++ es la clase de equivalencia 0V+S=S0_{V}+S=S y el opuesto de cada clase de equivalencia v+Sv+S es (−v)+S(-v)+S. El resto de las propiedades se sigue de forma inmediata.