7 Combinaciones lineales, vectores linealmente independientes y bases

Definition 7.1 (Combinación lineal).

Sean $v_{1},\ldots,v_{k}$ vectores de $V$ . Decimos que el vector $v\in V$ es combinación lineal de $v_{1},\ldots,v_{k}$ si existen escalares $\alpha_{1},\ldots,\alpha_{k}\in\mathbb{K}$ tales que

v=\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{k}v_{k}

Example 7.2.

El vector $(1,2,3)$ es combinación lineal de los vectores $(1,1,1)$ , $(1,0,1)$ y $(0,1,1)$ :

(1,2,3)=x(1,1,1)+y(1,0,1)+z(0,1,1),

\begin{dcases}x+y=1\\ x+z=2\\ x+y+z=3\end{dcases}\Rightarrow\text{S.C.D}

Luego $\exists x,y,z\in\mathbb{K}$ tales que $v=xv_{1}+yv_{2}+zv_{3}$ .

Lemma 7.3.

Dados los vectores $v_{1},\ldots,v_{k}\in V$ , el conjunto de todas las combinaciones lineales de $v_{1},\ldots,v_{k}$ es un subespacio vectorial y lo denotamos por $\langle v_{1},\ldots,v_{k}\rangle$ :

\langle v_{1},\ldots,v_{k}\rangle=\left\{\alpha_{1}v_{1}+\cdots\alpha_{k}v_{k}% \mid\alpha_{1},\ldots,\alpha_{k}\in\mathbb{K}\right\}

Proof 7.4.

Por la caracterización de subespacios vectoriales.

Definition 7.5.

El subespacio $S=\langle v_{1},\ldots,v_{k}\rangle$ se llama subespacio generado por los vectores $v_{1},\ldots,v_{k}$ y a los vectores $v_{1},\ldots,v_{k}$ se les llama sistema generador del subespacio $S$ .

Dos familias de vectores son equivalentes si generan el mismo subespacio vectorial.

Definition 7.6 (Linealmente independientes).

Decimos que los vectores $v_{1},\ldots,v_{k}$ son linealmente independientes cuando

\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{k}v_{k}=0_{V}\Rightarrow\alpha_{1}=0,\ldots,% \alpha_{k}=0.

Equivalentemente, son linealmente independientes cuando ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

Cuando los vectores no son linealmente independientes decimos que son linealmente dependientes.

Remark 7.7.

1.

Si $0_{V}$ es uno de los vectores $v_{1},\ldots,v_{k}$ , entonces siempre son linealmente dependientes.
2.

Si $v_{1},\ldots,v_{k}$ son linealmente dependientes, entonces cualquier subconjunto de vectores escogidos entre $v_{1},\ldots,v_{k}$ sigue siendo linealmente independiente.
3.

Si $v_{1},\ldots,v_{k}$ son vectores linealmente dependientes, entonces si añadimos más vectores a $v_{1},\ldots,v_{k}$ , éstos seguirán siendo linealmente dependientes.
4.

Si $v_{1},\ldots,v_{k}$ son linealmente dependientes, entonces alguno de ellos se puede despejar como combinación lineal de los demás.
5.

Dos vectores $v_{1},v_{2}$ son linealmente independientes si uno no es múltiplo por un escalar del otro.

Definition 7.8 (Base).

Decimos que una familia de vectores $v_{1},\ldots,v_{n}$ es una base de $V$ , y la denotamos por $\mathcal{{B}}=\left\{v_{1},\ldots,v_{n}\right\}$ si son linealmente independientes y son sistema generador (de $V$ ).

En ese caso, todo vector $v$ de $V$ se expresa de forma única como combinación lineal de los vectores de $\mathcal{{B}}$ : por ser sistema generador, existen $x_{1},\ldots,x_{n}\in\mathbb{K}$ tales que $v=x_{1}v_{1}+\cdots+x_{n}v_{n}$ . Además, estos escalares son únicos, puesto que si

x_{1}v_{1}+\cdots x_{n}v_{n}=y_{1}v_{1}+\cdots+x_{n}v_{n}

entonces, restando,

(x_{1}-y_{1})v_{1}+\cdots+(x_{n}-y_{n})v_{n}=0_{V}

y, como son linealmente independientes, $x_{1}=y$ , $\ldots$ , $x_{n}=y_{n}$ . A los únicos $(x_{1},\ldots,x_{n})\in\mathbb{K}^{n}$ que permiten expresar $v$ como combinación lineal de los vectores de $\mathcal{{B}}$ se les llaman coordenadas de $v$ respecto de la base $\mathcal{{B}}$ .

(v)_{\mathcal{{B}}}=(x_{1},\ldots,x_{n}).

Example 7.9.

1.

$\mathbb{K}$ como espacio vectorial sobre $\mathbb{K}$ tiene de base a $\mathcal{{B}}=\left\{1\right\}$ . Por ejemplo, $\mathbb{C}$ como espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$ tiene de base a $\mathcal{{B}}=\left\{1\right\}$ . Sin embargo, si consideramos $\mathbb{C}$ como espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ una base sería $\mathcal{{B}}=\left\{1,i\right\}$ (necesitamos como mínimo dos vectores para tener un sistema generador).
2.

El espacio vectorial $V=\left\{0_{V}\right\}$ no tiene base porque no tiene ninguna familia de vectores linealmente independientes. Por convenio decimos que $\mathcal{{B}}=\varnothing$ es la base de este espacio vectorial.
3.
$\left\{1+x,1-x\right\}$ es una base del espacio vectorial $\mathbb{K}_{1}[x]$ :
- •
  
  Son sistema generador ya que cualquier polinomio de grado menor o igual que $1$ , $a+bx$ , se puede escribir como
  
  $a+bx=\lambda(1+x)+\mu(1-x)$
  
  ya que el sistema (con incógnitas $\lambda$ y $\mu$ )
  
  $\begin{dcases}\lambda+\mu=a\\ \lambda-\mu-b\end{dcases}$
  
  es sistema compatible (de hecho, $\lambda=\frac{a+b}{2},\mu=\frac{a-b}{2}$ es solución del sistema).
- •
  
  Son linealmente independientes ya que si $\lambda(1+x)+\mu(1-x)=0$ entonces
  
  $\begin{dcases}\lambda+\mu=0\\ \lambda-\mu=0\end{dcases}$
  
  y la única solución del sistema es $\lambda=0,\mu=0$ .

Example 7.10.

Se llaman bases canónicas a las bases más utilizadas de los espacios vectoriales $\mathbb{K}^{n},\mathbb{K}[x],\mathbb{K}_{n}[x]$ y $\mathcal{{M}}_{m\times n}(\mathbb{K})$ :

•

Base canónica de $\mathbb{K}^{n}:\mathcal{{BC}}=\left\{(1,0,\ldots,0),(0,1,\ldots,0),\ldots,(0,% \ldots,0,1)\right\}$ .
•

Base canónica de $\mathbb{K}[x]:\mathcal{{BC}}=\left\{1,x,x^{2},\ldots,x^{k},\ldots\right\}$ .
•

Base canónica de $\mathbb{K}_{n}[x]:\mathcal{{BC}}=\left\{1,x,x^{2},\ldots,x^{n}\right\}$ .
•

Base canónica de $\mathcal{{M}}_{m\times n}(\mathbb{K}):\mathcal{{BC}}=\left\{E_{ij}\mid i=1,% \ldots,m,\;j=1,\ldots,n\right\}$ .

Definition 7.11.

Decimos que $V$ es finitamente generado si posee algún sistema generador finito.

Lemma 7.12 (Existencia de bases en espacios vectoriales finitamente generados).

Toda familia de vectores $v_{1},\ldots,v_{m}$ posee una subfamilia formada por vectores linealmente independientes que es equivalente a la original. En particular, todo espacio vectorial finitamente generado posee una base.

Proof 7.13.

Si los vectores $v_{1},\ldots,v_{m}$ son linealmente independientes, ya está el resultado. Si no, existe al menos una combinación lineal de esos vectores, con escalares no todos nulos, que hace que

\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\underbrace{\alpha_{i}v_{i}}_{\neq 0}+\cdots+\alpha_{m}% v_{m}=0_{V}.

Supongamos que $\alpha_{i}\neq 0$ , así que podemos despejar y obtener

v_{i}=-\frac{1}{\alpha_{i}}(\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\cancel{\alpha_{i}v_{i}}+% \cdots+\alpha_{m}v_{m}).

Como el vector $v_{i}$ es combinación lineal de los demás,

\langle v_{1},\ldots,v_{i},\ldots,v_{m}\rangle=\langle v_{1},\ldots,\cancel{v_% {i}},\ldots,v_{m}\rangle,

con lo que obtenemos una familia que genera el mismo subespacio pero con un elemento menos. Repetimos el proceso hasta obtener una subfamilia equivalente cuyos vectores son linealmente independientes.

Lemma 7.14.

Si los vectores $v_{1},\ldots,v_{m}$ son linealmente dependientes y $v_{1}\neq 0_{V}$ entonces existe algún $v_{i}$ que se puede poner como combinación lineal de $v_{1},\ldots,v_{i-1}$ , es decir, uno de los vectores se puede expresar como combinación lineal de los anteriores.

Proof 7.15.

Sabemos que existen escalares no todos nulos tal que $\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{m}v_{m}=0_{V}$ . Como $v_{1}\neq 0_{V}$ , existe $i>1$ tal que

\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\underbrace{\alpha_{i}}_{\neq 0}v_{i}=0_{V}

Despejamos $v_{i}$ como

v_{i}=-\frac{1}{\alpha_{i}}(\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{i-1}v_{i-1})

Proposition 7.16.

Sea $v_{1},\ldots,v_{n}$ una familia de vectores linealmente independientes y $w_{1},\ldots w_{m}$ una familia de vectores que son sistema generador de $V$ . Entonces $n\leq m$ .

Proof 7.17.

Tomamos el primer vector de la familia de vectores linealmente independientes, $v_{1}$ . Como

v_{1}\in V=\langle w_{1},\ldots,w_{m}\rangle

se tiene que los vectores $v_{1},w_{1},\ldots,w_{m}$ son necesariamente linealmente independientes (uno de ellos, el primero, es combinación lineal de los demás). Por el lema anterior, como $v_{1}\neq 0_{V}$ existe un $w_{i}$ que se escribe como combinación lineal de los anteriores. Lo eliminamos y repetimos el proceso, tomando ahora el segundo vector de la familia de vectores linealmente independientes, $v_{2}$ , y el sistema generador de $V$ formado por:

v_{1},w_{1},\ldots,\cancel{w_{i}},\ldots,w_{m}.

De esta forma, vamos insertando “por delante” vectores del tipo $v_{i}$ en el sistema generador y eliminando vectores de tipo $w_{j}$ . Si hubiera más $v$ ’s que $w$ ’s (si $n:m$ ) llegaríamos a un sistema generador de la forma

v_{1},\ldots,v_{m}

de forma que $v_{m+1}\in\langle v_{1},\ldots,v_{m}\rangle$ , lo cual no es posible porque los vectores $v_{1},\ldots,v_{n}$ son linealmente independientes por hipótesis. Llegamos, por tanto, a que $n\leq m$ .

Theorem 7.18.

Todas las bases de un mismo espacio vectorial $V$ finitamente generado tienen el mismo número de elementos. A este número se le llama dimensión de $V$ y se denota $\dim_{K}V$ .

Proof 7.19.

Sean $\mathcal{{B}}=\left\{v_{1},\ldots,v_{n}\right\}$ y $\mathcal{{C}}=\left\{w_{1},\ldots,w_{n}\right\}$ dos bases de $V$ . Veamos que $n=m$ .

•

Como $v_{1},\ldots,v_{n}$ son linealmente independientes y $w_{1},\ldots,w_{m}$ son un sistema generador, $n\leq m$ .
•

Como $w_{1},\ldots,w_{m}$ son linealmente independientes y $v_{1},\ldots,v_{n}$ son un sistema generador, $m\leq n$ .

Por tanto, $n=m$ .

Como conocemos bases canónicas para los espacios vectoriales de tipo $\mathbb{K}^{n},\mathbb{K}_{n}[x]$ y $\mathcal{{M}}_{m\times n}(\mathbb{K})$ , conocemos sus dimensiones:

•

$\dim\mathbb{K}^{n}=n$ ,
•

$\dim\mathbb{K}_{n}[x]=n+1$ ,
•

$\dim\mathcal{{M}}_{m\times n}(\mathbb{K})=mn$

Proposition 7.20.

Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión $n$ . Son equivalentes:

1.

$v_{1},\ldots,v_{n}$ es una base de $V$
2.

$v_{1},\ldots,v_{n}$ es un sistema generador de $V$
3.

$v_{1},\ldots,v_{n}$ son linealmente independientes

Proof 7.21.

$1)\Rightarrow 2)$ y $1)\Rightarrow 3)$: Obvio.
$2)\Rightarrow 1)$: Por reducción al absurdo, si $v_{1},\ldots,v_{n}$ no fueran linealmente independientes, por el Lema 7.12 se puede extraer una subfamilia con vectores linealmente independientes y que genere el mismo espacio que $v_{1},\ldots,v_{n}$ , con lo que obtendríamos una base de $V$ con un número de vectores más pequeño que $n$ . Esto es una contradicción.
$3)\Rightarrow 1)$: Por reducción al absurdo, si $v_{1},\ldots,v_{n}$ no fueran sistema generador, habría algún vector $v\in V$ que no se pueda poner como combinación lineal de $v_{1},\ldots,v_{n}$ , así que los vectores $v_{1},\ldots,v_{n},v$ seguirían siendo linealmente independientes y obtendríamos $n+1$ vectores linealmente independientes. Por otra parte, como $\dim V=n$ , tiene una base $\mathcal{{V}}=\left\{w_{1},\ldots,w_{n}\right\}$ . Los vectores de $\mathcal{{B}}$ son un sistema generador y estamos obteniendo $n+1$ vectores linealmente independientes y un sistema generador con $n$ vectores. Esto es una contradicción con la Proposición 7.16.

Lemma 7.22.

Sea $V$ un espacio vectorial finitamente generado. Toda familia de vectores linealmente independientes se puede completar hasta una base de $V$ .

Proof 7.23.

Sean $w_{1},\ldots,w_{k}$ vectores linealmente independientes. Se toma una base $\left\{v_{1},\ldots,v_{n}\right\}$ de $V$ como base de referencia y van añadiendo a $w_{1},\ldots,w_{k}$ vectores de esta base de referencia, de uno en uno, comprobando en cada paso que seguimos teniendo vectores linealmente independientes. El proceso termina cuando tengamos $n$ vectores linealmente independientes, que son necesariamente una base por la Proposición 7.20.

Corollary 7.24.

Sea $S$ un subespacio vectorial de $V$ . Entonces $\dim S\leq\dim V$ . Además,

\dim S=\dim V\Leftrightarrow S=V

Proof 7.25.

Sea $\mathcal{{B}}_{s}$ una base de $S$ . Como estos vectores son linealmente independientes, se pueden completar a una base de $V$ por el Lema 7.22, así que $s\leq\dim V$ .

Además, si $\dim S=\dim V$ , cualquier base de $S$ tiene $n=\dim V$ vectores linealmente independientes, y por la Proposición 7.20 estos vectores son una base de $V$ . El subespacio generado por ellos da, por una parte $S$ , por ser base de $S$ , y por otra parte $V$ , por ser base de $V$ , con lo que $S=V$ . La otra implicación es obvia.

Theorem 7.26.

Sean $S$ y $T$ dos subespacios de $V$ . Entonces

\dim(S+T)=\dim S+\dim T-\dim(S\cap T)

Proof 7.27.

Si $\dim S=0$ entonces $S=\left\{0_{V}\right\}$ , en cuyo caso $S+T=T,S\cap T=\left\{0_{V}\right\}$ y la fórmula se cumple porque

\dim(S+T)=\dim T=\underbrace{\dim S}_{0}+\dim T-\underbrace{\dim(S\cap T)}_{0}

Lo mismo ocurriría si $\dim T=0$ .

Supongamos que $\dim S=s>0$ y $\dim T=t>0$ . Empezamos con una base $\mathcal{{B}}_{S\cap T}=\left\{v_{1},\ldots,v_{r}\right\}$ de $S\cap T$ .

•

Por un lado, completamos la base $\mathcal{{B}}_{S\cap T}$ a una base de $S$ : $\left\{v_{1},\ldots,v_{r},v_{r+1},\ldots v_{s}\right\}$ .
•

Por otro lado, completamos la base $\mathcal{{B}}_{S\cap T}$ a una base de $T$ : $\left\{v_{1},\ldots,v_{r},w_{r+1},\ldots,w_{t}\right\}$ .

Veamos que

\left\{v_{1},\ldots,v_{r},v_{r+1},\ldots,v_{s},w_{r+1},\ldots,w_{t}\right\}

es una base de $S+T$ (si probamos esto, estaremos viendo que $S+T$ tiene una base con $s+t-r$ vectores, que es la fórmula que queremos demostrar):

•

Son linealmente independientes: escribimos

$\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{s}v_{s}+\beta_{r+1}w_{r+1}+\cdots+\beta_{t}w_{t% }=0_{V}.$

Despejando, tenemos

$\underbrace{\alpha_{i}v_{i}+\cdots+\alpha_{s}v_{s}}_{\in S}=-\underbrace{(% \beta_{r+1}w_{r+1}+\cdots+\beta_{t}w_{t})}_{\in T}\in S\cap T,$

y como $\mathcal{{B}}_{S\cap T}=\left\{v_{1},\ldots,v_{r}\right\}$ es una base de $S\cap T$ , existen escalares $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{r}$ tales que $-(\beta_{r+1}w_{r+1}+\cdots+\beta_{t}w_{t})=\lambda_{1}v_{1}+\cdots+\lambda_{r% }v_{r}$ . Luego

$\lambda_{1}v_{1}+\cdots+\lambda_{r}v_{r}+\beta_{r+1}w_{r+1}+\cdots+\beta_{t}w_% {t}=0_{V}$

y usando que los vectores $v_{1},\ldots,v_{r},w_{r+1},w_{t}$ son linealmente independientes (base de $T$ ) llegamos a

$\lambda_{1}=0,\ldots,\lambda_{r}=0,\boxed{\beta_{r+1}=0},\ldots,\boxed{\beta_{% t}=0}.$

Sustituimos en la ecuación inicial y llegamos a

$\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{s}v_{s}=0_{V}.$

y como $v_{1},\ldots,v_{s}$ son linealmente independientes (base de $S$ ), resulta que

$\boxed{\alpha_{1}=0},\ldots,\boxed{\alpha_{s}=0}.$
•

Son sistema generador:

$\displaystyle S$

$\displaystyle{}=\langle v_{1},\ldots,v_{r},v_{r+1},\ldots,v_{s}\rangle$

$\displaystyle T$

$\displaystyle{}=\langle v_{1},\ldots,v_{r},\ldots,w_{r+1},\ldots,w_{t}\rangle$

con lo que

$S+T=\langle v_{1},\ldots,v_{r},v_{r+1},\ldots,v_{s},w_{r+1},\ldots,w_{r}\rangle$