6 Subespacios vectoriales

Definición II.2 (Subespacio vectorial).

Sea $V$ un espacio vectorial sobre un cuerpo $\mathbb{K}$ . Decimos que un subconjunto no vacío $S$ de $V$ es un subespacio vectorial de $V$ si $S$ con la suma y el producto de $V$ tiene de nuevo estructura de espacio vectorial.

Notacion: $S\leq V$ .

En particular, la suma de vectores de $S$ da vectores de $S$ y el producto por escalares de vectores de $S$ da vectores de $S$ :

$v,w\in S\Rightarrow v+w\in S$ ,
$v\in S,\alpha\in\mathbb{K}\Rightarrow\alpha v\in S$ .

Proposición II.1.

Sea $V$ un espacio vectorial sobre un cuerpo $\mathbb{K}$ . Las siguientes condiciones son equivalentes:

1.

$\varnothing\neq S\subset V$ es un subespacio vectorial de $V$ .
2.

$S\neq\varnothing$ y $\alpha v+\beta w\in S$ para todo $\alpha,\beta\in\mathbb{K},v,w\in S$
3.
Se cumplen las tres condiciones:
1. a)
  
  $0_{V}\in S$
2. b)
  
  $v,w\in S\Rightarrow v+w\in S$
3. c)
  
  $v\in S,\alpha\in S\Rightarrow\alpha v\in S$

Demostración.

$1)\Rightarrow 2)$: Directo por la definicion.
$2)\Rightarrow 3)$: Como $S\neq\varnothing$ existe al menos un vector $v\in S$ . Tomando $\alpha=1,\beta=-1\in\mathbb{K}$ tenemos que

$0_{V}=1v+(-1)v\in S$

Ademas, para todo $v,w\in S$ , tomando $\alpha=\beta=1\in\mathbb{K}$ , tenemos $v+w\in S$ , y tomando $\alpha\in\mathbb{K}$ y $\beta=0$ tenemos $\alpha v\in S$ .
$3)\Rightarrow 1)$: La condicion 1 asegura que $S\neq\varnothing$ . Ademas, las condiciones 2 y 3 aseguran que se pueden definir la suma de vectores y el producto por escalares en $S$ :

$\begin{aligned} +\colon S\times S&{}\longrightarrow S\\ (v,w)&{}\longmapsto v+w\end{aligned}\qquad\begin{aligned} \cdot_{K}\colon K% \times S&{}\longrightarrow S\\ (\alpha,v)&{}\longmapsto\alpha v\end{aligned}$

Ademas los axiomas 1-5 se cumplen para vectores de $S$ porque se cumplen para vectores de $V$ y $S\subset V$ .

∎

Cuando queramos comprobar si un subconjunto es o no subespacio vectorial de $V$ , usaremos normalmente la caracterizacion 3) de la proposicion anterior.

Ejemplo II.2.

Veamos varios ejemplos de subconjuntos que son o no subespacios de los espacios vectoriales dados:

1.

$W=\mathbb{C}$ e.v. sobre $\mathbb{R}$ .

$S=\mathbb{R}\leq W$ ya que $0\in\mathbb{R}$ , $v+w\in\mathbb{R}\;\forall v,w\in\mathbb{R}$ y $\alpha\cdot v\in\mathbb{R}\;\forall v\in\mathbb{R},\forall a\in\mathbb{R}$ .

$V=\mathbb{C}$ e.v. sobre $\mathbb{C}$ .

$S=\mathbb{R}$ no es un subespacio vectorial de V. Contraejemplo:

$v=1\in S,\alpha=i\in\mathbb{C}\Rightarrow\alpha\cdot v=i\notin S$
2.

$V=K^{3}$ e.v. sobre $\mathbb{K}$ .
- $S_{1}=\left\{(x,x,x)\mid x\in\mathbb{K}\right\}$ es un subespacio de V, demostrandolo con el mismo procedimiento.
- $S_{2}=\left\{(x,0,0)\mid x\in\mathbb{K}\right\}$ es un subespacio vectorial de $V$ .
- $S_{3}=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{K}^{3}\mid x+3y-2z=0\right\}$ es subespacio vectorial de $V$ .
  - •
    
    $(0,0,0)\in S^{3}$ porque $0+3\cdot 0-2\cdot 0=0$ .
  - •
    
    Sean $(x_{1},y_{1},z_{1})\in S_{3}$ y $(x_{2},y_{2},z_{2})\in S_{3}$ . Sabemos que
    
    $\begin{rcases}x_{1}+3y_{1}-2z_{1}=0\\ x_{2}+3y_{2}-2z_{2}=0\end{rcases}\Rightarrow(x_{1}+x_{2})+3(y_{1}+y_{2})-2(z_{% 1}+z_{2})=0$
    
    Si $(x,y,z)\in S_{3}$ y $\alpha\in\mathbb{K}$ , $x+3y-2z=0\Rightarrow(\alpha x)+3(\alpha y)-2(\alpha z)=0$ . Es decir, $(\alpha x,\alpha y,\alpha z)\in S_{3}$ .
3.
Consideremos $V=\mathfrak{M}_{2}(\mathbb{K})$ como espacio vectorial sobre $\mathbb{K}$ . Entonces
- $S_{1}=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\ c&0\\ \end{pmatrix}\mid a=b+c\right\}=\left\{\begin{pmatrix}b+c&b\\ c&0\\ \end{pmatrix}\mid b,c\in\mathbb{K}\right\}$ es un subespacio vectorial de $V$ .
- $S_{3}=\left\{A\in V\mid A^{t}=A\right\}$ es un subespacio vectorial de $V$ .
  
  Si $A=A^{t}yB=B^{t}$ , $(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}=A+B$ . Por otro lado, si $A=A^{t}$ y $\alpha\in\mathbb{K}$ , entonces $(\alpha A)^{t}=\alpha A^{t}=\alpha A$ .
  
  Esto tambien se cumple con el conjunto de matrices antisimétricas.
- $S_{5}=\left\{A\in V\mid A^{t}=A\text{ o }A^{t}=-A\right\}$ no es subespacio vectorial de $V$ .
  
  Contraejemplo: $A=\begin{pmatrix}1&2\\ 2&1\\ \end{pmatrix}\in S_{6}$ , $B=\begin{pmatrix}0&1\\ -1&0\\ \end{pmatrix}\in S_{6}$ , pero $A+B=\begin{pmatrix}1&3\\ 1&1\\ \end{pmatrix}$

Proposición II.2 (Interseccion y union de subespacios).

Dada una colección de subespacios $S_{i}$ , $i\in I$ , de un espacio vectorial $V$ , se puede comprobar que la intersección

\bigcap_{i\in I}S_{i}\text{ siempre es un subespacio vectorial. }

Sin embargo, la unión de subespacios vectoriales, en general, no es subespacio.

Demostración.

Ejercicio. ∎

Por ejemplo, si consideramos $V=\mathbb{R}^{2}$ y los subespacios $S_{1}=\left\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\right\}$ y $S_{2}=\left\{(0,y)\mid y\in\mathbb{R}\right\}$ , la union

S_{1}\cup S_{2}=\left\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\right\}\cup\left\{(0,y)\mid y% \in\mathbb{R}\right\}

no es subespacio vectorial:

\begin{rcases}(1,0)\in S_{1}\cup S_{2}\\ (0,1)\in S_{1}\cup S_{2}\end{rcases}\text{ pero }(1,0)+(0,1)=(1,1)\not\in S_{1% }\cup S_{2}

El menor subespacio que contiene a dos subespacios dados es la suma de subespacios.

Definición II.3.

Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{K}$ y sean $S_{1},S_{2}$ dos subespacios de $V$ . Definimos la suma de los subespacios $S_{1}$ y $S_{2}$ y lo denotamos como $S_{1}+S_{2}$ del siguiente modo:

S_{1}+S_{2}=\left\{v_{1}+v_{2}\mid v_{1}\in S_{1},v_{2}\in S_{2}\right\}

Proposición II.3.

$S_{1}+S_{2}$ es subespacio vectorial de $V$ .

Demostración.

1.

Como $0_{V}\in S_{1}$ y $0_{V}\in S_{2}$ , entonces $0_{V}=0_{V}+0_{V}\in S_{1}+S_{2}$
2.

Si $v_{1}+v_{2}\in S_{1}+S_{2}$ y $w_{1}+w_{2}\in S_{1}+S_{2}$ , donde $v_{1},w_{1}\in S_{1}$ y $v_{2},w_{2}\in S_{2}$ , entonces

$v_{1}+v_{2}+w_{1}+w_{2}=\underbrace{(v_{1}+w_{1})}_{\in S_{1}}+\underbrace{(v_% {2}+w_{2})}_{\in S_{2}}\in S_{1}+S_{2}$
3.

Si $v_{1}+v_{2}\in S_{1}+S_{2}$ , donde $v_{1}\in S_{1}$ y $v_{2}\in S_{2}$ , y $\alpha\in\mathbb{K}$ entonces

$\alpha(v_{1}+v_{2})=\underbrace{\alpha v_{1}}_{\in S_{1}}+\underbrace{\alpha v% _{2}}_{\in S_{2}}\in S_{1}+S_{2}$

∎

Más en general, se puede considerar la suma de $n$ subespacios vectoriales, con $n\in\mathbb{N}$ .

Definición II.4 (Suma directa).

Decimos que dos subespacios $S$ y $T$ suman de forma directa o que la suma de $S$ y $T$ es suma directa si $S\cap T=\left\{0\right\}$ y se escribe $S\oplus T$ .

Si ademas $S\oplus T=V$ decimos que $S$ y $T$ son suplementarios.