5 Definición de espacio vectorial

Veamos varios ejemplos de espacios vectoriales:

1. 1.
   ​

   Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo. $\mathbb{K}$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{K}$ con la suma y el producto por escalares de $\mathbb{K}$.

2. 2.
   ​

   Si $V$ es un espacio vectorial sobre un cuerpo $\mathbb{K}$ y $\hat{K}$ es subcuerpo de $\mathbb{K}$ entonces $V$ también es un espacio vectorial sobre $\hat{K}$. Por ejemplo, como $\mathbb{Q}$ es subcuerpo de $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}$ es subcuerpo de $\mathbb{C}$, $\mathbb{C}$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$ $\mathbb{C}$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$. Además, estos tres espacios vectoriales son diferentes entre sí.

3. 3.
   ​

   Si $V$ y $W$ son dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo $\mathbb{K}$, entonces el producto cartesiano

   $$V\times W=\left\{(v,w)\mid v\in V,w\in W\right\}$$

   es un espacio vectorial sobre $K$ con las operaciones $(v_{1},w_{1})+(v_{2},w_{2})=(v_{1}+v_{2},w_{1}+w_{2})$ y $\alpha(v,w)=(\alpha v,\alpha w)$ para todo $v,v_{1},v_{2}\in V$, $w,w_{1},w_{2}\in W$, $\alpha\in\mathbb{K}$. En particular, para $n\in\mathbb{N}$

   $$\mathbb{K}^{n}=\left\{(x_{1},\ldots,x_{n})\mid x_{1},\ldots,x_{n}\in\mathbb{K}\right\}$$

   es un espacio vectorial sobre $\mathbb{K}$. Por ejemplo, tenemos los siguientes espacios vectoriales: $\mathbb{R}^{2},\mathbb{Q}^{2},\mathbb{R}^{7},\mathbb{C}^{3},$ etc.

4. 4.
   ​

   El conjunto de las matrices $\mathfrak{{M}}_{m\times n}(\mathbb{K})$ con la suma de matrices y el producto por escalares tiene estructura de espacio vectorial sobre $\mathbb{K}$.

5. 5.
   ​

   Si denotamos por $\mathbb{K}[x]$ al conjunto de todos los polinomios en la variable $x$ con coeficientes en $\mathbb{K}$, $\mathbb{K}[x]$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{K}$ con la suma y el producto por escalares habituales.

6. 6.
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   Si denotamos por $\mathbb{K}_{n}[x]$ al conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual que $n$ en la variable $x$ y con coeficientes en $\mathbb{K}$, $\mathbb{K}_{n}[x]$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{K}$.

7. 7.
   ​

   Si $\mathbb{K}$ es un cuerpo, las sucesiones de números de $\mathbb{K}$ con la suma por componentes y el producto por escalares componente a componente forman un espacio vectorial sobre $\mathbb{K}$.