13 Funciones lineales en espacios vectoriales de dimensión finita

1. i)
   ​

   Existencia. Sea $u\in E$, como $B=\left\{u_{1},\ldots,u_{n}\right\}$ $\exists!(\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n})\in\mathbb{K}^{n}$ tal que $u=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}u_{i}$.

   Entonces definimos $f(u)=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}v_{i}$. Veamos que la funcion $f$ asi definida para cada $u\in E$ satisface las dos condiciones requeridas.

   1. (a)
      ​

      $f$ es lineal: dados $u,v\in E$ y $\lambda,\mu\in\mathbb{K}$, si $u=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}u_{i}$ y $v=\sum_{i=1}^{n}\beta_{i}u_{i}$, resulta que $f(\lambda u+\mu v)=f(\lambda\cdot(\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}u_{i})+\mu\cdot(\sum_{i=1}^{n}\beta_{i}u_{i}))=f((\sum_{i=1}^{n}(\lambda\alpha_{i}+\mu\beta_{i})u_{i}))=\sum_{i=1}^{n}(\lambda\alpha_{i}+\mu\beta_{i})v_{i}=\lambda(\sum_{i=1}^{n}\alpha v_{i})+\mu(\sum_{i=1}^{n}\beta_{i}u_{i})=\lambda f(u)+\mu f(v)$.

   2. (b)
      ​

      $\forall i\in\left\{1,\ldots,n\right\}$, $f(u_{i})=v_{i}$. Dado $i\in\left\{1,\ldots,n\right\}$, se tiene

      $$u_{i}=0\cdot u_{1}+\cdots+1\cdot u_{i}+\cdots 0\cdot u_{n}$$

      y por tanto

      $$f(u_{i})=0\cdot v_{1}+\cdots+1\cdot v_{i}+\cdots+0\cdot v_{n}$$
2. ii)
   ​

   Unicidad. Si $g\colon E\to E^{\prime}$ es una funcion lineal tal que $\forall i\in\left\{1,\ldots,n\right\}\;g(u_{i})=v_{i}$, siendo $w$ un vector cualquiera de $E$, $\exists(\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n})\in\mathbb{K}^{n}$ tal que

   $$w=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}u_{i}.$$

   Entonces $g(w)=g(\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}u_{i})=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}g(u_{i})=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}v_{i}=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}f(u_{i})=f(\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}u_{i})=f(w)$. Luego $f=g$.

Por ultimo, comprobamos que se verifican a), b) y c).

1. a)
   ​

   “$\Rightarrow$” Sea $\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}v_{i}=0$. Entonces

   $$0=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}v_{i}=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}f(u_{i})=f(\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}u_{i}).$$

   Ya que $f$ es inyectiva, $\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}u_{i}=0$ y, como $\left\{u_{1},\ldots,u_{n}\right\}$ es libre, $\alpha_{1}=\cdots=\alpha_{n}=0$.

   “$\Leftarrow$” Si $w\in Ker(f)$, siendo $w=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}u_{i}$, tenemos que

   $$f(w)=0=f(\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}u_{i})=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}f(u_{i})=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}v_{i}$$

   y como $\left\{v_{1},\ldots,v_{n}\right\}$ es libre, $\alpha_{1}=\cdots=\alpha_{n}=0$. Por tanto, $w=0$ y $f$ es inyectiva.

2. b)
   ​

   Tenemos que probar que $Im(f)=\langle v_{1},\ldots,v_{n}\rangle$. En ese caso, $f$ es sobreyectiva si y solo si $\langle v_{1},\ldots,v_{n}\rangle=E^{\prime}$.

   Como $\langle v_{1},\ldots,v_{n}\rangle\leq Im(f)$, solo hace falta comprobar que $Im(f)\subseteq\langle v_{1},\ldots,v_{n}\rangle$. Si $v\in Im(f)$, existe $u=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}u_{i}\in E$ tal que

   $$v=f(u)=f(\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}u_{i})=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}f(u_{i})=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}v_{i}\in\langle v_{1},\ldots,v_{n}\rangle.$$

   Asi que $Im(f)=\langle v_{1},\ldots,v_{n}\rangle=E^{\prime}$.

3. c)
   ​

   Es consecuencia de los dos apartados anteriores.