10 Propiedades

Proposition 10.1.

Si EE y E′E^{\prime} son 𝕂\mathbb{K}-e.v. y f:E→E′f:E\to E^{\prime} es una aplicacion lineal, entonces:

  1. 1.
    ​

    f⁢(0)=0f(0)=0

  2. 2.
    ​

    ∀u∈E,f⁢(−u)=−f⁢(u)\forall u\in E,f(-u)=-f(u)

Proof 10.2.
  1. 1.
    ​

    ∀u∈E\forall u\in E, f⁢(0⋅u)=0⋅f⁢(u)=0f(0\cdot u)=0\cdot f(u)=0.

  2. 2.
    ​

    Dado u∈Eu\in E, se tiene

    f⁢(u)+f⁢(−u)=f⁢(u+(−u))=f⁢(0)=0f(u)+f(-u)=f(u+(-u))=f(0)=0

    por lo que f⁢(−u)f(-u) es el opuesto de f⁢(u)f(u), es decir, f⁢(−u)=−f⁢(u)f(-u)=-f(u), puesto que (E′,+)(E^{\prime},+) es un grupo.

Proposition 10.3.

Siendo EE y E′E^{\prime} 𝕂\mathbb{K}-e.v. si denotamos por ℱ︀⁢(E,E′)\mathcal{{F}}(E,E^{\prime}) al espacio de todas las funciones definidas entre EE y E′E^{\prime}, y por ℒ︀⁢(E,E′)\mathcal{{L}}(E,E^{\prime}) al conjunto de las funciones lineales definidas entre EE y E′E^{\prime}, es decir,

ℒ︀⁢(E,E′)={f∈ℱ︀⁢(E,E′)∣f⁢ es lineal}\mathcal{{L}}(E,E^{\prime})=\left\{f\in\mathcal{{F}}(E,E^{\prime})\mid f\text{% es lineal}\right\}

se verifica que ℒ︀⁢(E,E′)≤ℱ︀⁢(E,E′)\mathcal{{L}}(E,E^{\prime})\leq\mathcal{{F}}(E,E^{\prime}), o lo que es lo mismo, que ℒ︀⁢(E,E′)\mathcal{{L}}(E,E^{\prime}) tiene estructura de espacio vectorial respecto de la suma de funciones y producto de una funcion por un escalar definidos en ℱ︀⁢(E,E′)\mathcal{{F}}(E,E^{\prime}).

Proof 10.4.
  1. 1.
    ​

    Evidentemente ℒ︀⁢(E,E′)≠∅\mathcal{{L}}(E,E^{\prime})\neq\varnothing, puesto que 0∈ℒ︀⁢(E,E′)0\in\mathcal{{L}}(E,E^{\prime}), ya que ∀u,v∈E,∀α,β∈𝕂\forall u,v\in E,\forall\alpha,\beta\in\mathbb{K} se tiene

    0⁢(α⁢u+β⁢v)=0=0+0=α⁢0⁢(u)+β⁢0⁢(v)0(\alpha u+\beta v)=0=0+0=\alpha 0(u)+\beta 0(v)
  2. 2.
    ​

    Veamos que ∀f,g∈ℒ︀⁢(E,E′)\forall f,g\in\mathcal{{L}}(E,E^{\prime}) se verifica que f+g∈ℒ︀⁢(E,E′)f+g\in\mathcal{{L}}(E,E^{\prime}). Si u,v∈Eu,v\in E y α,β∈𝕂\alpha,\beta\in\mathbb{K}, se verifica que

    (f+g)⁢(α⁢u+β⁢v)=f⁢(α⁢u+β⁢v)+g⁢(α⁢u+β⁢v)==(α⁢f⁢(u)+β⁢f⁢(v))+(α⁢g⁢(u)+β⁢g⁢(v))==(α⁢f⁢(u)+α⁢g⁢(u))+(β⁢f⁢(v)+β⁢g⁢(v))=α⁢(f+g)⁢(u)+β⁢(f+g)⁢(v){}(f+g)(\alpha u+\beta v)=f(\alpha u+\beta v)+g(\alpha u+\beta v)=\\ {}=(\alpha f(u)+\beta f(v))+(\alpha g(u)+\beta g(v))=\\ {}=(\alpha f(u)+\alpha g(u))+(\beta f(v)+\beta g(v))=\alpha(f+g)(u)+\beta(f+g)% (v)
  3. 3.
    ​

    Veamos que ∀f∈ℒ︀⁢(E,E′),∀λ∈𝕂\forall f\in\mathcal{{L}}(E,E^{\prime}),\forall\lambda\in\mathbb{K} se verifica que λ⁢f∈ℒ︀⁢(E,E′)\lambda f\in\mathcal{{L}}(E,E^{\prime}). Si u,v∈Eu,v\in E y α,β∈𝕂\alpha,\beta\in\mathbb{K}, se verifica que

    (λ⁢f)⁢(α⁢u+β⁢v)=λ⋅f⁢(α⁢u+β⁢v)=λ⁢(α⁢f⁢(u)+β⁢f⁢(v))==α⁢λ⁢f⁢(u)+β⁢λ⁢f⁢(v)=α⁢(λ⁢f)⁢(u)+β⁢(λ⁢f)⁢(v).{}(\lambda f)(\alpha u+\beta v)=\lambda\cdot f(\alpha u+\beta v)=\lambda(% \alpha f(u)+\beta f(v))=\\ {}=\alpha\lambda f(u)+\beta\lambda f(v)=\alpha(\lambda f)(u)+\beta(\lambda f)(% v).
Proposition 10.5.

Si E,E′,E′′E,E^{\prime},E^{\prime\prime} son 𝕂\mathbb{K}-e.v. y f:E→E′f\colon E\to E^{\prime}, g:E′→E′′g\colon E^{\prime}\to E^{\prime\prime} son funciones lineales, entonces la funcion composicion de gg con ff, g∘f:E→E′′g\circ f\colon E\to E^{\prime\prime} tambien es lineal.

Proof 10.6.

Sean u,v∈Eu,v\in E y α,β∈𝕂\alpha,\beta\in\mathbb{K}. En ese caso

(g∘f)⁢(α⁢u+β⁢v)=g⁢(f⁢(α⁢u+β⁢v))=g⁢(α⁢f⁢(u)+β⁢f⁢(v))==α⁢g⁢(f⁢(u))+β⁢g⁢(f⁢(v))=α⁢(g∘f)⁢(u)+β⁢(g∘f)⁢(v).{}(g\circ f)(\alpha u+\beta v)=g(f(\alpha u+\beta v))=g(\alpha f(u)+\beta f(v)% )=\\ {}=\alpha g(f(u))+\beta g(f(v))=\alpha(g\circ f)(u)+\beta(g\circ f)(v).