10 Propiedades

Proposición III.2.

Si EE y E′E^{\prime} son 𝕂\mathbb{K}-e.v. y f:E→E′f:E\to E^{\prime} es una aplicacion lineal, entonces:

  1. 1.
    ​

    f(0)=0f(0)=0

  2. 2.
    ​

    ∀u∈E,f(−u)=−f(u)\forall u\in E,f(-u)=-f(u)

Demostración.
  1. 1.
    ​

    ∀u∈E\forall u\in E, f(0⋅u)=0⋅f(u)=0f(0\cdot u)=0\cdot f(u)=0.

  2. 2.
    ​

    Dado u∈Eu\in E, se tiene

    f(u)+f(−u)=f(u+(−u))=f(0)=0f(u)+f(-u)=f(u+(-u))=f(0)=0

    por lo que f(−u)f(-u) es el opuesto de f(u)f(u), es decir, f(−u)=−f(u)f(-u)=-f(u), puesto que (E′,+)(E^{\prime},+) es un grupo.

∎

Proposición III.3.

Siendo EE y E′E^{\prime} 𝕂\mathbb{K}-e.v. si denotamos por ℱ︀(E,E′)\mathcal{{F}}(E,E^{\prime}) al espacio de todas las funciones definidas entre EE y E′E^{\prime}, y por ℒ︀(E,E′)\mathcal{{L}}(E,E^{\prime}) al conjunto de las funciones lineales definidas entre EE y E′E^{\prime}, es decir,

ℒ︀(E,E′)={f∈ℱ︀(E,E′)∣f es lineal}\mathcal{{L}}(E,E^{\prime})=\left\{f\in\mathcal{{F}}(E,E^{\prime})\mid f\text{% es lineal}\right\}

se verifica que ℒ︀(E,E′)≤ℱ︀(E,E′)\mathcal{{L}}(E,E^{\prime})\leq\mathcal{{F}}(E,E^{\prime}), o lo que es lo mismo, que ℒ︀(E,E′)\mathcal{{L}}(E,E^{\prime}) tiene estructura de espacio vectorial respecto de la suma de funciones y producto de una funcion por un escalar definidos en ℱ︀(E,E′)\mathcal{{F}}(E,E^{\prime}).

Demostración.
  1. 1.
    ​

    Evidentemente ℒ︀(E,E′)≠∅\mathcal{{L}}(E,E^{\prime})\neq\varnothing, puesto que 0∈ℒ︀(E,E′)0\in\mathcal{{L}}(E,E^{\prime}), ya que ∀u,v∈E,∀α,β∈𝕂\forall u,v\in E,\forall\alpha,\beta\in\mathbb{K} se tiene

    0(αu+βv)=0=0+0=α0(u)+β0(v)0(\alpha u+\beta v)=0=0+0=\alpha 0(u)+\beta 0(v)
  2. 2.
    ​

    Veamos que ∀f,g∈ℒ︀(E,E′)\forall f,g\in\mathcal{{L}}(E,E^{\prime}) se verifica que f+g∈ℒ︀(E,E′)f+g\in\mathcal{{L}}(E,E^{\prime}). Si u,v∈Eu,v\in E y α,β∈𝕂\alpha,\beta\in\mathbb{K}, se verifica que

    (f+g)(αu+βv)=f(αu+βv)+g(αu+βv)==(αf(u)+βf(v))+(αg(u)+βg(v))==(αf(u)+αg(u))+(βf(v)+βg(v))=α(f+g)(u)+β(f+g)(v){}(f+g)(\alpha u+\beta v)=f(\alpha u+\beta v)+g(\alpha u+\beta v)=\\ {}=(\alpha f(u)+\beta f(v))+(\alpha g(u)+\beta g(v))=\\ {}=(\alpha f(u)+\alpha g(u))+(\beta f(v)+\beta g(v))=\alpha(f+g)(u)+\beta(f+g)% (v)
  3. 3.
    ​

    Veamos que ∀f∈ℒ︀(E,E′),∀λ∈𝕂\forall f\in\mathcal{{L}}(E,E^{\prime}),\forall\lambda\in\mathbb{K} se verifica que λf∈ℒ︀(E,E′)\lambda f\in\mathcal{{L}}(E,E^{\prime}). Si u,v∈Eu,v\in E y α,β∈𝕂\alpha,\beta\in\mathbb{K}, se verifica que

    (λf)(αu+βv)=λ⋅f(αu+βv)=λ(αf(u)+βf(v))==αλf(u)+βλf(v)=α(λf)(u)+β(λf)(v).{}(\lambda f)(\alpha u+\beta v)=\lambda\cdot f(\alpha u+\beta v)=\lambda(% \alpha f(u)+\beta f(v))=\\ {}=\alpha\lambda f(u)+\beta\lambda f(v)=\alpha(\lambda f)(u)+\beta(\lambda f)(% v)\mathchar 46\relax

∎

Proposición III.4.

Si E,E′,E′′E,E^{\prime},E^{\prime\prime} son 𝕂\mathbb{K}-e.v. y f:E→E′f\colon E\to E^{\prime}, g:E′→E′′g\colon E^{\prime}\to E^{\prime\prime} son funciones lineales, entonces la funcion composicion de gg con ff, g∘f:E→E′′g\circ f\colon E\to E^{\prime\prime} tambien es lineal.

Demostración.

Sean u,v∈Eu,v\in E y α,β∈𝕂\alpha,\beta\in\mathbb{K}. En ese caso

(g∘f)(αu+βv)=g(f(αu+βv))=g(αf(u)+βf(v))==αg(f(u))+βg(f(v))=α(g∘f)(u)+β(g∘f)(v).{}(g\circ f)(\alpha u+\beta v)=g(f(\alpha u+\beta v))=g(\alpha f(u)+\beta f(v)% )=\\ {}=\alpha g(f(u))+\beta g(f(v))=\alpha(g\circ f)(u)+\beta(g\circ f)(v)% \mathchar 46\relax

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