9 Aplicaciones lineales

Definición III.1.

Sean (E,+,⋅)(E,+,\cdot) y (E′,+,⋅)(E^{\prime},+,\cdot) dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo 𝕂\mathbb{K} . Diremos que la funcion f:E→E′f:E\to E^{\prime} es lineal (homomorfismo) si ff satisface las siguientes propiedades:

  1. 1.
    ​

    ∀u,v∈E\forall u,v\in E, f(u+v)=f(u)+f(v)f(u+v)=f(u)+f(v)

  2. 2.
    ​

    ∀u∈E\forall u\in E, ∀α∈𝕂\forall\alpha\in\mathbb{K}, f(αu)=α⋅f(u)f(\alpha u)=\alpha\cdot f(u)

Proposición III.1.

Una aplicacion f:E→E′f:E\to E^{\prime} es lineal si y solo si ∀u,v∈E\forall u,v\in E, ∀α,β∈𝕂f(αu+βv)=αf(u)+βf(v)\forall\alpha,\beta\in\mathbb{K}\quad f(\alpha u+\beta v)=\alpha f(u)+\beta f(v)

Demostración.
⇒\Rightarrow

] Supongamos que f:E→E′f\colon E\to E^{\prime} es lineal, o lo que es lo mismo, que ff satisface las condiciones 11 y 22 de la definicion. Dados u,v∈Eu,v\in E y α,β∈𝕂\alpha,\beta\in\mathbb{K}, por la condicion 1 resulta que

f(αu+βv)=f(αu)+f(βv)= (por la condicion 2) =αf(u)+βf(v)f(\alpha u+\beta v)=f(\alpha u)+f(\beta v)=\text{ (por la condicion 2) }=% \alpha f(u)+\beta f(v)
⇐\Leftarrow

] Reciprocamente, supongamos que ∀u,v∈E,∀α,β∈𝕂\forall u,v\in E,\forall\alpha,\beta\in\mathbb{K} se verifica que

f(αu+βv)=αf(u)+βf(v).f(\alpha u+\beta v)=\alpha f(u)+\beta f(v)\mathchar 46\relax

Hay que demostrar que ff satisface las condiciones 1 y 2.

Dados u,v∈Eu,v\in E, tomando α=β=1\alpha=\beta=1, tenemos

f(u+v)=f(1⋅u+1⋅v)=1⋅f(u)+1⋅f(v)=f(u)+f(v).f(u+v)=f(1\cdot u+1\cdot v)=1\cdot f(u)+1\cdot f(v)=f(u)+f(v)\mathchar 46\relax

Por otro lado, si tomamos β=0\beta=0, resulta que

f(αu)=f(αu+0v)=αf(u)+0⋅f(v)=αf(u).f(\alpha u)=f(\alpha u+0v)=\alpha f(u)+0\cdot f(v)=\alpha f(u)\mathchar 46\relax

∎

Por induccion: f(∑i=1nαiui)=∑i=1nαif(ui)f(\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}u_{i})=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}f(u_{i}).

Ejemplo III.1.
  1. 1.
    ​

    La función identidad IdE:E→EI_{d_{E}}\colon E\to E

  2. 2.
    ​

    La función proyección i-ésima

    pi:E1×⋯×En\displaystyle p_{i}\colon E_{1}\times\cdots\times E_{n}
    ⟶Ei\displaystyle{}\longrightarrow E_{i}
    (u1,…,un)\displaystyle(u_{1},\ldots,u_{n})
    ⟼ui\displaystyle{}\longmapsto u_{i}
  3. 3.
    ​

    La integracion definida:

    I:C([a,b],ℝ)\displaystyle I\colon C([a,b],\mathbb{R})
    ⟶ℝ\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{R}
    f\displaystyle f
    ⟼∫baf\displaystyle{}\longmapsto\int^{b}_{a}f
  4. 4.
    ​

    La función det:𝔐n(𝕂)→𝕂\det\colon\mathfrak{{M}}_{n}(\mathbb{K})\to\mathbb{K} no es lineal.