5 EDOs de orden $n$ lineales homogéneas

Siendo $y_{1}(x)$ una solucion particular no trivial de la EDO 3 de orden $n$, el cambio de variable $y(x)=y_{1}(x)v(x)$ transforma la EDO en otra EDO lineal homogenea de orden $n-1$ en la variable $u(x)=v^{\prime}(x)$.

Posteriormente, se resuelve la EDO de orden $n-1$ en $u(x)$.

Por ultimo, se deshacen los cambios de variables realizados: $v^{\prime}(x)\to v(x)\to y(x)$.

Si consideramos la EDO lineal homogenea de orden $1$ con coeficiente constante

La solucion general es $y=Ke^{-a_{0}\int dx}=Ke^{-a_{0}x}$. Como vemos, es de tipo exponencial. Vamos a buscar soluciones de EDOs de orden $n$ lineales homogeneas con coeficientes constantes que sean de tipo exponencial tambien.

Lo hacemos para el orden $2$:

Probamos una solucion de tipo exponencial de la forma $y=e^{mx}$.

Puesto que $e^{mx}\neq 0\;\forall x\in\mathbb{R}$, esto implica

Por tanto, la funcion exponencial verifica la EDO si y solo si $m$ es raiz de la ecuacion cuadratica

A esta ecuacion la llamamos ecuacion caracteristica de la EDO

Distingamos los distintos casos:

• ​

  Si $b^{2}-4ac>0$, entonces la ecuacion caracteristica tiene 2 raices reales distintas:

  $$m_{1}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},\qquad m_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$

  La EDO tiene dos soluciones:

  $$y_{1}=e^{m_{1}x},\qquad y_{2}=e^{m_{2}x}$$

  Veamos ahora que no tienen dependencia lineal y, por tanto, forman una base. Para ello, calculemos el Wronskiano

  $$W(y_{1},y_{2})=\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}\\ y_{1}^{\prime}&y_{2}^{\prime}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}e^{m_{1}x}&e^{m_{2}x}\\ m_{1}e^{m_{1}x}&m_{2}e^{m_{2}x}\end{vmatrix}=m_{2}e^{m_{1}x}\cdot e^{m_{2}x}-m_{1}e^{m_{1}x}e^{m_{2}x}=\underbrace{(m_{2}-m_{1})}_{\text{por ser }m_{1}\neq m_{2}}\underbrace{e^{(m_{1}+m_{2})x}}_{\neq 0}\neq 0$$

  $y_{1}$ e $y_{2}$ son soluciones y linealmente independientes. Por tanto, forman un sistema fundamental (es una base del espacio vectorial de dimension $2$ de soluciones de la EDO homogenea).

  La solucion general de la EDO homogenea es una combinacion lineal de $y_{1}$ e $y_{2}$:

  $$y(x)=K_{1}y_{1}+K_{2}y_{2}$$

  Tiene dos parametros y es una EDO de orden $2$: es coherente.

• ​

  Si $b^{2}-4ac=0$, la ecuacion caracteristica tiene $1$ raiz real de multiplicidad $2$:

  $$m_{1}=m_{2}=-\frac{b}{2a}$$

  En ese caso, la EDO tiene una solucion:

  $$y_{1}=e^{m_{1}x}$$

  Podemos encontrar una segunda solucion aplicando la reduccion de orden, a partir de la solucion no trivial $e^{m_{1}x}=y_{1}$.

  Hagamos el cambio de variable $y(x)=y_{1}(x)v(x)=e^{m_{1}x}v(x)$, de forma que

  $$a(e^{m_{1}x}v(x))^{\prime\prime}+b(e^{m_{1}x}v(x))^{\prime}+ce^{m_{1}x}v(x)=0$$

  Asi,

  $$a(m_{1}e^{m_{1}x}v(x)+e^{m_{1}x}v^{\prime}(x))^{\prime}+b(m_{1}e^{m_{1}x}v(x)+e^{m_{1}x}v^{\prime}(x))+ce^{m_{1}x}v(x)=0$$

  $$a(m_{1}^{2}e^{m_{1}x}v(x)+2m_{1}e^{m_{1}x}v^{\prime}(x)+e^{m_{1}x}v^{\prime\prime}(x))+b(m_{1}e^{m_{1}x}v(x)+e^{m_{1}x}v^{\prime}(x))+ce^{m_{1}x}v(x)=0$$

  Realicemos otro cambio $u(x)=v^{\prime}(x)$. Asi,

  $$v(x)\underbrace{(am^{2}_{1}e^{m_{1}x}+bm_{1}e^{m_{1}x}+ce^{m_{1}x})}_{=0}+u(x)(2am_{1}e^{m_{1}x}+be^{m_{1}x})+u^{\prime}(x)(ae^{m_{1}x})=0$$

  y nos queda

  $$u(x)(2am_{1}e^{m_{1}x}+be^{m_{1}x})+u^{\prime}(x)ae^{m_{1}x}=0$$

  $$u^{\prime}+\left(2m_{1}+\frac{b}{a}\right)u=0$$

  Como $m_{1}=-\frac{b}{2a}$, el coeficiente de $u$ se anula:

  $$2m_{1}+\frac{b}{a}=2\left(-\frac{b}{2a}\right)+\frac{b}{a}=0$$

  Por tanto, la ecuacion se reduce directamente a:

  $$u^{\prime}(x)=0\Rightarrow u(x)=K_{1}\quad(\text{constante})$$

  Deshaciendo el cambio $u(x)=v^{\prime}(x)$,

  $$v(x)=\int K_{1}dx+K_{2}=K_{1}x+K_{2}$$

  y, por tanto,

  $$y(x)=y_{1}(x)v(x)=e^{m_{1}x}(K_{1}x+K_{2})=K_{1}xe^{m_{1}x}+K_{2}e^{m_{1}x}$$

  Asi, una segunda solucion linealmente independiente es $y_{2}(x)=xe^{m_{1}x}$, y la solucion general es

  $$y(x)=(K_{1}+K_{2}x)e^{m_{1}x}$$

  que depende de dos parametros y es coherente.

• ​

  Si $b^{2}-4ac<0$

  $$\sqrt{b^{2}-4ac}=\sqrt{-(4ac-b^{2})}=i\sqrt{4ac-b^{2}}$$

  La ecuacion caracteristica tiene 2 raices complejas conjugadas:

  $$m_{1}=\frac{-b+i\sqrt{4ac-b^{2}}}{2a}=\alpha+i\beta$$

  $$m_{2}=\frac{-b-i\sqrt{4ac-b^{2}}}{2a}=\alpha-i\beta$$

  La EDO tiene dos soluciones:

  $$y_{1}=e^{m_{1}x}=e^{(\alpha+i\beta)x},\quad y_{2}=e^{m_{2}x}=e^{(\alpha-i\beta)x}$$

  con $\alpha=-\frac{b}{2a}$, $\beta=\frac{\sqrt{4ac-b^{2}}}{2a}$.

  De la misma manera que en el caso de las 2 raices reales, la solucion general es combinacion lineal de $y_{1}$ e $y_{2}$, pues vamos a ver que el Wronskiano es no nulo:

  $$W(y_{1},y_{2})=\begin{vmatrix}e^{(\alpha+i\beta)x}&e^{(\alpha-i\beta)x}\\ (\alpha+i\beta)e^{(\alpha+i\beta)x}&(\alpha-i\beta)e^{(\alpha-i\beta)x}\end{vmatrix}=(\alpha-i\beta)e^{2\alpha x}-(\alpha+i\beta)e^{2\alpha x}=-2i\beta e^{2\alpha x}\neq 0$$

  Formamos la solucion general de la EDO lineal de orden $2$ homogenea:

  $$y(x)=K_{1}e^{m_{1}x}+K_{2}e^{m_{2}x}$$

  $$y(x)=K_{1}e^{(\alpha+i\beta)x}+K_{2}e^{(\alpha-i\beta)x}$$

  Para trabajar con reales: fijamos los parametros $K_{1}$ y $K_{2}$ para obtener 2 soluciones particulares de la EDO:

  1. 1.
     ​

     $K_{1}=K_{2}=1$:

     $$y_{1}=e^{(\alpha+i\beta)x}+e^{(\alpha-i\beta)x}=e^{\alpha x}(e^{i\beta x}+e^{-i\beta x})$$
  2. 2.
     ​

     $K_{1}=1,K_{2}=-1$:

     $$y_{2}=e^{(\alpha+i\beta)x}-e^{(\alpha-i\beta)x}=e^{\alpha x}(e^{i\beta x}-e^{-i\beta x})$$

  Aplicando la formula de Euler, $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$:

  $$y_{1}=e^{\alpha x}(\cos(\beta x)+i\sin(\beta x)+\cos(-\beta x)+i\sin(-\beta x))$$

  $$y_{2}=e^{\alpha x}(\cos(\beta x)+i\sin(\beta x)-\cos(-\beta x)-i\sin(-\beta x))$$

  Simplificando,

  $$\begin{cases}y_{1}=2e^{\alpha x}\cos\beta x\\ y_{2}=2ie^{\alpha x}\sin\beta x\end{cases}$$

  que son soluciones particulares de la EDO. Vemos que:

  $$\begin{cases}y_{1}\text{ es múltiplo constante de }e^{\alpha x}\cos\beta x&(\cdot 2)\\ y_{2}\text{ es múltiplo constante de }e^{\alpha x}\operatorname{sen}\beta x&(\cdot 2i)\end{cases}$$

  Se puede comprobar que forman un sistema fundamental. Por lo tanto, la solucion general de la EDO es combinacion lineal de ellas:

  $$y(x)=K_{1}e^{\alpha x}\cos\beta x+K_{2}e^{\alpha x}\sin\beta x$$

  es decir,

  $$y(x)=e^{\alpha x}(K_{1}\cos\beta x+K_{2}\sin\beta x)$$

  (2 parametros).

Las EDOs de orden $n$ lineales completas son de la forma

Consideramos

• ​

  La solucion general de la EDO homogenea asociada: $y_{0}(x)$.

• ​

  una solucion particular de la EDO completa 4: $y_{1}(x)$

• ​

  Por superposicion, $0+b(x)$, la funcion

  $$y(x)=y_{0}(x)+y_{1}(x)\text{ es solucion de la EDO completa \ref{ncompl}}$$

Ademas, como $y_{0}(x)$ depende de $n$ parametros e $y_{1}(x)$ no depende de ningun parametro, entonces $y(x)$ depende de $n$ parametros, por lo que $y(x)$ es solucion general de la EDO completa de orden $n$ 4.

Por lo tanto, el metodo de resolucion es el siguiente:

1. 1.
   ​

   Obtener la solucion general de la EDO homogenea asociada: $y_{0}(x)$

2. 2.
   ​

   Encontrar una solucion particular de la EDO 4: $y_{1}(x)$

3. 3.
   ​

   Construir la solucion general de la EDO 4: $y(x)=y_{0}(x)+y_{1}(x)$

Para hallar la solucion particular $y_{1}$ de la EDO completa, aplicamos el metodo de Lagrange (variacion de constantes).

En orden $n$, siendo la solucion general de la EDO homogenea $1$ expresada como combinacion lineal del sistema fundamental $\left\{y_{0i}(x)\right\}^{n}_{i=1}$ de soluciones de $1:$

Buscamos una solucion particular $y_{1}(x)$ de la EDO completa 4 de la forma

donde $C_{i}(x)$ son funciones dependientes de la variable independiente. Lo que nos queda por hacer ahora es determinar las funciones $C_{i}(x)$.

Lo vamos a ver en detalle para EDOs de orden $2$ completas lineales.

Consideramos la EDO lineal completa de orden $2$

La solucion general de la EDO homogenea asociada

se escribe como combinacion lineal del sistema fundamental

Buscamos una solucion particular $y_{1}(x)$ de la EDO completa de la forma

Derivamos $y_{1}(x)$, de forma que

y

Sustituyendo en la EDO,

Sin embargo,

por ser $y_{01}$ e $y_{02}$ soluciones de la EDO homogenea $1$, con lo cual

y finalmente

Pero necesitamos $2$ ecuaciones para determinar las $2$ incognitas $C_{1}(x)$ y $C_{2}(x)$.

El metodo de Lagrange considera la siguiente condicion añadida impuesta sobre la solucion particular:

Con lo que la igualdad anterior 5 se reduce a

Asi obtenemos el sistema formado por las $2$ ecuaciones 6 y 7

La resolucion del sistema proporciona $C_{1}^{\prime}(x)$ y $C_{2}^{\prime}(x)$. Integrando se obtiene $C_{1}(x)$ y $C_{2}(x)$, con lo que se construye la solucion particular de la EDO completa 4 sin olvidar anular las $2$ constantes de integracion por ser $y_{1}$ solucion particular,

Finalmente, la solucion general de la EDO completa 4 se obtiene sumando esta ultima con la solucion general de la EDO homogenea asociada

Si el orden es mas elevado, el metodo considera mas condiciones de Lagrange. Para EDOs de orden $n$ completas, el sistema se escribe