4 EDOs lineales de primer orden

Las EDOs de orden 1 lineales son de la forma

a_{1}(x)y^{\prime}(x)+a_{0}(x)y(x)=b(x)

y, en forma normalizada (dividiendo entre $a_{1}(x)$ ),

y^{\prime}(x)+p(x)y(x)=r(x)

con $a_{1}(x)\neq 0$ , pues, si fuera nula, la ecuacion no seria diferencial.

Definición I.11.

Decimos que la EDO es lineal de primer orden homogenea si es de la forma anterior y, ademas, $b(x)=0$ ( $r(x)=0$ ). Es decir, se escriben

equation (1) (1)

y^{\prime}(x)+p(x)y(x)=0

Observación I.1.

La funcion $y(x)=0$ es solucion trivial de la EDO.

Definición I.12.

Decimos que la EDO es lineal de primer orden completa si es de la forma anterior y $b(x)\neq 0$ ( $r(x)\neq 0$ ).

Ejemplo I.19.

La EDO $y^{\prime}+(\sin x+\cos x)y=0$ es una EDO lineal de primer orden homogenea.
La EDO $y^{\prime}+(\sin x+\cos x)y=x^{2}+1$ es una EDO lineal de primer orden completa.

Proposición I.1.

El conjunto de soluciones de una EDO homogenea tiene estructura de espacio vectorial de dimension 1 (linealidad), cuya base es una solucion no trivial de la EDO.

Asimismo, cualquier combinacion lineal de soluciones de la EDO es solucion de la EDO.

Demostración.

Consideramos dos soluciones de la EDO

y^{\prime}(x)+p(x)y(x)=0

a las que llamaremos $y_{1}(x),y_{2}(x)$ , y $\alpha,\beta$ dos numeros reales. Tenemos que comprobar que $\alpha y_{1}(x)+\beta y_{2}(x)$ tambien es solucion de la EDO. Consideremos

(\alpha y_{1}(x)+\beta y_{2}(x))^{\prime}+p(x)(\alpha y_{1}(x)+\beta y_{2}(x))

Simplificando, nos queda

\alpha y_{1}^{\prime}(x)+\beta y_{2}^{\prime}(x)+\alpha p(x)y_{1}(x)+\beta p(x% )y_{2}(x)

y, como $y_{1}$ e $y_{2}$ son soluciones de la EDO,

\alpha\underbrace{(y_{1}^{\prime}(x)+p(x)y_{1}(x))}_{=0}+\beta\underbrace{(y_{% 2}^{\prime}(x)+p(x)y_{2}(x))}_{=0}=0

por lo que, efectivamente, se da el resultado. ∎

Proposición I.2.

Es suficiente conocer una solucion no trivial de la EDO homogenea para generar cualquier solucion de ella.

Si $y_{1}(x)\neq 0$ es solucion de la EDO $y^{\prime}+p(x)y=0$ , entonces la solucion general de la EDO se escribe

y(x)=ky_{1}(x)

con $k$ un parametro.

Observación I.2.

Esto se reflejara en la solucion general de la EDO homogenea que vamos a obtener mas adelante.

En forma diferencial, la solucion general de la EDO homogenea es

p(x)ydx+dy=0

Separamos las variables dividiendo entre $y$ , de forma que

p(x)dx+\frac{dy}{y}=0

Aplicamos la integracion para variables separadas (cada miembro con respecto a su propia variable):

\frac{dy}{y}=-p(x)dx\Rightarrow\int\frac{1}{y}dy=-\int p(x)dx+C\Rightarrow\ln(% y)=-\int p(x)dx+C\Rightarrow y=e^{-\int p(x)dx+C}

Por lo que obtenemos la solucion general de la EDO lineal de primer orden homogenea:

\boxed{y=Ke^{-\int p(x)dx}}

con $k$ un parametro.

Notemos que, al separar las variables multiplicando por $\frac{1}{y}$ , las posibles soluciones de la EDO en $y=0$ no han sido tomadas en consideracion. Sin embargo, si $y=0\Rightarrow y^{\prime}=0\Rightarrow 0+p\cdot 0=0$ y es solucion de la EDO.

Consideremos ahora la ecuacion

equation (2) (2)

y^{\prime}(x)+p(x)y(x)=r(x)

es decir, una EDO lineal de primer orden completa.

Proposición I.3.

Consideremos

Una solucion particular de la EDO 2: $y_{1}(x)$
La solucion general de la EDO 1: $y_{0}(x)$

Entonces la solucion general de la EDO 2 es de la forma

y(x)=y_{0}(x)+y_{1}(x)

Demostración.

Consideramos la EDO 2 y una solucion particular $y_{1}(x)$ . La EDO homogenea asociada es la EDO 1 $y^{\prime}+p(x)y=0$ y su solucion general $y_{0}(x)$ .

Tomamos $y(x)=y_{0}(x)+y_{1}(x)$ . Derivando, obtenemos

y^{\prime}(x)=y^{\prime}_{0}(x)+y_{1}^{\prime}(x)

En la EDO 2: $y^{\prime}+p(x)y=y_{0}^{\prime}+y_{1}^{\prime}+p(x)(y_{0}+y_{1})=y_{1}^{\prime% }+p(x)y_{1}+y^{\prime}_{0}+p(x)y_{0}=r(x)+0=r(x)$ .

Por tanto, efectivamente es solucion de la EDO 2.

Sabemos que la solución general de la EDO 1 $y_{0}(x)$ depende de $1$ parámetro $k$ .

La solución particular $y_{1}(x)$ de la EDO 2 no depende de ningún parámetro.

La solución de la EDO 2 definida como $y(x)=y_{0}(x)+y_{1}(x)$ depende por tanto de $1$ parámetro y es solución de una EDO de orden 1. Es por tanto la solucion general de la EDO 2. ∎

Por tanto, el metodo de resolucion sera el siguiente:

Obtener la solucion general de la EDO 1: $y_{0}(x)$
Encontrar una solucion particular de la EDO 2: $y_{1}(x)$
Construir la solucion general de la EDO 2: $y(x)=y_{0}(x)+y_{1}(x)$

Tenemos que obtener la solucion general de esta manera porque el conjunto de soluciones de la EDO 2 no tiene estructura de espacio vectorial.

Demostración.

Consideramos dos soluciones $y_{1}(x)$ , $y_{2}(x)$ de la EDO 2 y dos numeros reales $\alpha,\beta$ . Vamos a ver que

\alpha y_{1}+\beta y_{2}

no es solucion de la EDO. En efecto,

{}(\alpha y_{1}+\beta y_{2})^{\prime}+p(x)(\alpha y_{1}+\beta y_{2})=\alpha(y^% {\prime}_{1}+p(x)y_{1})+\beta(y^{\prime}_{2}+p(x)y_{2})=\\ {}=\alpha r(x)+\beta r(x)\neq r(x)\text{ en general}

∎

El problema es que necesitamos $y_{1}$ , una solucion particular de la EDO lineal de primer orden completa 2. Para encontrarla, aplicaremos el metodo de Lagrange (variacion de constantes).

Siendo $y_{0}(x)=Ke^{-\int p(x)dx}$ la solucion general de la EDO lineal de primer orden homogenea asociada 1 (anulando $r(x)$ en el segundo miembro de la EDO completa), buscamos una solucion particular $y_{1}$ de la EDO completa 2 de la forma

y_{1}(x)=K(x)e^{-\int p(x)dx}\text{ variacion de la constante }

donde $K(x)$ es una funcion dependiente de la variable independiente $x$ . Sustituyamos en la ecuacion 2:

{}(K(x)e^{-\int p(x)dx})^{\prime}+p(x)K(x)e^{-\int p(x)dx}=r(x)\Rightarrow K^{% \prime}(x)e^{-\int p(x)dx}-K(x)p(x)e^{-\int p(x)dx}+\\ {}+p(x)K(x)e^{-\int p(x)dx}=r(x)\Rightarrow K^{\prime}(x)e^{-\int p(x)dx}=r(x)% \Rightarrow K^{\prime}(x)=\frac{r(x)}{e^{-\int p(x)dx}}\\ {}\Rightarrow K(x)=\int\frac{r(x)}{e^{-\int p(x)dx}}dx+C=\boxed{\int r(x)e^{% \int p(x)dx}dx+C}

Asi, hemos obtenido

y_{1}(x)=e^{-\int p(x)dx}\left(\int r(x)e^{\int p(x)dx}dx+C\right)

Sin embargo, $y_{1}$ es solucion particular y no deberia depender de la constante $C$ . Lagrange define la solucion particular anulando la constante $C$ para obtener la siguiente solucion particular de la EDO lineal de primer orden completa:

\boxed{y_{1}(x)=e^{-\int p(x)dx}\int r(x)e^{\int p(x)dx}dx}

Por tanto, obtenemos la solucion general de la EDO lineal de primer orden completa 2 de la siguiente forma:

\boxed{y(x)=y_{0}(x)+y_{1}(x)=Ke^{-\int p(x)dx}+e^{-\int p(x)dx}\int r(x)e^{% \int p(x)dx}dx}

Como es de orden $1$ y tiene un parametro, es coherente (de no haber impuesto $C=0$ , la solucion obtenida dependeria de dos parametros $K$ y $C$ , lo que seria incoherente con la EDO).

Ejemplo I.20.

Consideremos la EDO $y^{\prime}-3y=0$ . Se trata de una EDO lineal de orden 1 homogenea, por lo que podemos aplicar la formula de la solucion general:

$y=Ke^{-\int-3dx}\Rightarrow y=Ke^{3\int dx}\Rightarrow y=Ke^{3x}$

Como tiene solo 1 parametro, es coherente.
Consideremos la EDO $(x^{2}+9)y^{\prime}+xy=0$ . En primer lugar, dividimos entre $x^{2}+9$ :

$y^{\prime}+\frac{xy}{x^{2}+9}=0$

de forma que obtenemos una ecuacion de la forma 1.

Por tanto, aplicando la formula de la solucion general,

$y=Ke^{-\int\frac{x}{x^{2}+9}dx}\Rightarrow y=Ke^{-\frac{1}{2}\ln(x^{2}+9)}% \Rightarrow y=\frac{K}{(x^{2}+9)^{\frac{1}{2}}}$

Es coherente, pues depende de 1 parametro. Ademas, $\ln(x^{2}+9)=\ln\left|x^{2}+9\right|$ pues $x^{2}+9>0$ . (preferible hacerlo por fases).
Vamos a resolver la EDO $y^{\prime}+2xy=4x$ . Se trata de una EDO lineal de orden 1 completa. Podemos aplicar la formula de la solucion general:

${}y=Ke^{-\int 2xdx}+e^{-\int 2xdx}\int 4xe^{\int 2xdx}dx\Rightarrow\\ {}\Rightarrow y=Ke^{-x^{2}}+e^{-x^{2}}\int 4xe^{x^{2}}dx=Ke^{-x^{2}}+e^{-x^{2}% }\cdot 2\cdot e^{x^{2}}=Ke^{-x^{2}}+2$

(1 parametro, coherente).
Resolver el problema de Cauchy

$\begin{cases}(x^{2}+1)y^{\prime}+4xy=0\\ y(2)=1\end{cases}$

Dividimos ambos lados de la EDO entre $x^{2}+1$ , de forma que se obtiene la EDO lineal de orden 1 homogenea

$y^{\prime}+\frac{4xy}{x^{2}+1}=0$

Obtenemos la solucion general de la EDO aplicando la formula:

$y=Ke^{-\int\frac{4x}{x^{2}+1}dx}=Ke^{-2\int\frac{2x}{x^{2}+1}dx}=Ke^{-2\ln(x^{% 2}+1)}=Ke^{\ln(x^{2}+1)^{-2}}=K(x^{2}+1)^{-2}$

Como ademas se debe cumplir la condicion $y(2)=1$ del problema de Cauchy e $y(2)=K\cdot 5^{-2}$ ,

$1=\frac{K}{25}\Rightarrow K=25$

Por tanto, la solucion particular del problema de Cauchy es

$y(x)=\frac{25}{(x^{2}+1)^{2}}$
Resolver el problema de Cauchy

$\begin{cases}y^{\prime}+\frac{1}{x}y=2,\;\;x\in(1,+\infty)\\ y(1)=0\end{cases}$

La EDO es lineal de orden 1 completa. Aplicaremos el metodo de Lagrange para encontrar su solucion general. En primer lugar, encontremos la solucion general de la EDO homogenea $y^{\prime}+\frac{1}{x}y=0$ ; aplicando la formula,

$y_{0}(x)=Ke^{-\int\frac{1}{x}dx}=Ke^{-\ln x}=\frac{K}{x}$

Sustituyamos ahora $y$ por $y_{0}$ en la ecuacion de la EDO completa

$(\frac{K(x)}{x})^{\prime}+\frac{K(x)}{x^{2}}=2\Rightarrow\frac{K^{\prime}(x)x-% K(x)}{x^{2}}+\frac{K(x)}{x^{2}}=2\Rightarrow\frac{K^{\prime}(x)\cdot x}{x^{2}}% =2\Rightarrow K^{\prime}(x)=2x$

por lo que

$K(x)=\int 2xdx\Rightarrow K(x)=x^{2}+C$

Asi, obtenemos la solucion particular de la EDO completa sustituyendo este valor de $K(x)$ :

$y_{1}(x)=\frac{x^{2}+C}{x}\overset{\text{Lagrange}}{=}x$

Por tanto, obtenemos la solucion general de la EDO como

$y(x)=y_{0}(x)+y_{1}(x)=\frac{K}{x}+x=\frac{K+x^{2}}{x}$

Sustituyendo la condicion inicial del problema de Cauchy,

$\begin{cases}y(1)=K+1\\ y(1)=0\end{cases}\Rightarrow K+1=0\Rightarrow K=-1$

Luego la solucion particular es

$y(x)=-\frac{1}{x}+x$
Resolvamos el problema de Cauchy

$\begin{cases}y^{\prime}-\frac{1+x}{x}y=3x^{2}\quad x\in(1,+\infty)\\ y(1)=0\end{cases}$

La EDO es lineal de orden 1 completa. Aplicaremos el metodo de Lagrange para encontrar su solucion general. En primer lugar, encontraremos la solucion general de la EDO homogenea $y^{\prime}-\frac{1+x}{x}y=0$ . Por la formula general,

$y_{0}(x)=Ke^{-\int-\frac{1+x}{x}dx}=Ke^{\int\frac{1+x}{x}dx}=Ke^{\ln(x)+x}=K% \cdot x\cdot e^{x}$

Sustituyamos ahora $y$ por $y_{0}$ en la ecuacion de la EDO completa

${}(K(x)\cdot x\cdot e^{x})^{\prime}-\frac{1+x}{x}(K(x)\cdot x\cdot e^{x})=3x^{% 2}\Rightarrow\\ {}\Rightarrow K^{\prime}(x)\cdot x\cdot e^{x}+K(x)\cdot(e^{x}+x\cdot e^{x})-% \frac{1+x}{x}(K(x)xe^{x})=3x^{2}\Rightarrow\\ {}\Rightarrow K^{\prime}(x)xe^{x}+K(x)e^{x}+K(x)xe^{x}-K(x)e^{x}-K(x)xe^{x}=3x% ^{2}\Rightarrow K^{\prime}(x)xe^{x}=3x^{2}\Rightarrow\\ {}\Rightarrow K^{\prime}(x)=\frac{3x}{e^{x}}\Rightarrow K(x)=\int\frac{3x}{e^{% x}}dx+C=-3xe^{-x}-3e^{-x}+C$

Por tanto, $y_{1}(x)=(-3xe^{-x}-3e^{-x}+C)\cdot x\cdot e^{x}\overset{\text{Lagrange}}{=}-3% (x+1)e^{-x}\cdot x\cdot e^{x}=-3(x+1)\cdot x$ .

Asi, la solucion general de la EDO completa es

$y(x)=y_{0}(x)+y_{1}(x)=Kxe^{x}-3(x+1)x$

Como $y(1)=0$ e $y(1)=K\cdot e-6$ , $Ke-6=0\Rightarrow K=\frac{6}{e}$ . Sustituyendo,

$y(x)=6xe^{x-1}-3x(x+1)$