2 Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs)

Definición I.6.

Una EDO lineal de orden $n$ es una EDO de orden $n$ en la que la derivada de orden $n$ de la variable dependiente $y^{(n)}(x)$ depende linealmente de $y(x),y^{\prime}(x),\ldots,y^{(n-1)}(x)\Rightarrow a_{n}(x)y^{(n)}(x)+a_{n-1}(x% )y^{(n-1)}(x)+\cdots+a_{1}(x)y^{\prime}(x)+a_{0}(x)y(x)=b(x)$ con $a_{i}(x)$ , $b(x)$ funciones de la variable independiente $x$ .

Por tanto, en una EDO lineal de orden $n$ solo puede aparecer la primera potencia de $y$ y de sus derivadas, no pueden aparecer productos de $y$ con sus derivadas o de sus derivadas entre si, ni funciones trascendentes de $y$ o de sus derivadas (circulares, exponenciales, logaritmicas).

Definición I.7.

Se denomina solucion general de una EDO de orden $n$ a la familia de funciones dependientes de $n$ parametros que verifican la EDO.
Se denomina solucion singular de una EDO de orden $n$ a toda funcion $y(x)$ que verifica la EDO y no pertenece a la solucion general de la EDO.
Se denomina solucion particular de una EDO de orden $n$ a toda funcion $y(x)$ que verifica la EDO.

Puede obtenerse fijando el valor de los parametros de la solucion general de la EDO (condiciones auxiliares).

Definición I.8 (Problema de Cauchy (de los valores iniciales)).

El problema de Cauchy es un problema diferencial, que implica una EDO de orden $n$ , con condiciones iniciales: condiciones auxiliares que se imponen en el mismo punto.

Definición I.9 (Problema de contorno).

El problema de contorno es un problema que implica una EDO de orden $n$ y contiene condiciones de frontera: en varios puntos sobre $y$ y/o sus derivadas.

Las condiciones auxiliares permiten seleccionar la solucion particular del problema diferencial dentro de la familia de funciones que forman la solucion general de la EDO.

Definición I.10 (Curva integral).

Se denomina curva integral de una EDO a la grafica de cualquier solucion de la EDO.

Teorema I.1 (de existencia y unicidad para EDOs de primer orden).

Consideramos la EDO de primer orden

y^{\prime}=f(x,y)

Si $f(x,y)$ y $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$ son continuas en un rectangulo $D$ de $\mathbb{R}^{2}$ , entonces por cada punto $(x_{0},y_{0})$ de $D$ pasa una unica curva integral.

Podemos escribir una EDO de orden $n$ de las siguientes formas:

Forma explicita:

$y^{(n)}=f(x,y,\ldots,y^{(n-1)})$
Forma implicita:

$F(x,y,\ldots,y^{(n-1)},y^{(n)})=0$
Forma diferencial: aparecen las diferenciales de $y$ y de $x$ .

Ejemplo I.3.

Problema del objeto:

\begin{cases}\zeta^{\prime\prime}(t)=-10\\ \zeta(t=0)=0\\ \zeta^{\prime}(t=0)=40\end{cases}

Se trata de una ecuacion diferencial con variable independiente $t$ . Las dos condiciones son de tipo valor inicial, por lo que se trata de un problema de Cauchy. Ademas, es de orden $2$ , grado $1$ , lineal, y expresado en forma explicita.

Ejemplo I.4.

Determinar orden y grado de las siguientes EDOs:

$x^{2}y^{\prime\prime}+2xy^{\prime}+2x=0$
- •
  
  Orden: $2$
- •
  
  Grado: $1$
$y^{\prime\prime\prime}=3(y^{\prime\prime})^{2}-\sin(x-1)$
- •
  
  Orden: $3$
- •
  
  Grado: $1$
$(y^{\prime\prime})^{2}=4x(1-y^{\prime})^{6}$
- •
  
  Orden: $2$
- •
  
  Grado: $2$
$(\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}})^{2}\sin(x)+3xy\frac{dy}{dx}+ye^{x}=0$
- •
  
  Orden: $2$
- •
  
  Grado: $2$

Ejemplo I.5.

Determinar si son lineales o no lineales las siguientes EDOs:

$y^{\prime\prime}+5y^{\prime}+6y=x^{2}\cos x$ : lineal
$(y^{\prime\prime\prime})^{3}+5y^{\prime}y+6y^{2}=0$ : no lineal
$x\sin y+y^{\prime}=x+\cos x$ : no lineal (el seno rompe la linealidad de $y$ )
$ydx+(xy+x-3y)dy=0$ : no lineal

Ejemplo I.6.

Consideramos la EDO

y^{\prime}=xy+e^{-y}\mathchar 46\relax

La funcion $f(x,y)=xy+e^{-y}$ y $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x-e^{-y}$ son continuas en cualquier punto de $\mathbb{R}^{2}$ . Por tanto, aplicando el teorema, para cualquier condicion inicial dada existe una unica curva integral (la solucion existe y es unica localmente).

La solucion general de la EDO

y^{\prime}-y=0

es el conjunto de funciones $y=Ce^{x}$ (es una familia de funciones dependientes de un solo parametro).

Una solucion particular de la EDO es $y=e^{x}$ o $y=3e^{x}$ .

La familia de funciones

y=(\frac{2}{3}x+c)^{\frac{3}{2}}

es la solucion general de la EDO $y^{\prime}=y^{\frac{1}{3}}$ . Por otro lado, la funcion $y=(\frac{2}{3}x+1)^{\frac{3}{2}}$ es una solucion particular de la EDO.

La funcion $y(x)=0$ es tambien solucion de la EDO, pero no pertenece a la familia de funciones que constituyen la solucion general $\Rightarrow y=0$ es una solucion singular de la EDO.

Ejemplo I.7 (Problemas de Cauchy y de contorno).

Sea

\begin{cases}\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+y=0\\ y(x=1)=3\\ y^{\prime}(x=1)=-4\end{cases}

Se trata de una EDO con condiciones iniciales, por lo que es un problema de Cauchy.

Sea

\begin{cases}\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+y=0\\ y(x=0)=1\\ y(x=\frac{\pi}{2})=5\end{cases}

En este caso, estamos ante una EDO con condiciones de contorno. A pesar de contener la misma EDO, se trata de un problema de contorno.

Ejemplo I.8.

Si consideramos que la solucion general de la EDO

yy^{\prime}=-x

x^{2}+y^{2}=k

las curvas integrales son los circulos de radio $\sqrt{k}$ .

Ejemplo I.9.

Consideramos la familia de funciones con 3 parametros

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}\cos x+C_{3}\sin x

Derivando,

y^{\prime}=C_{1}e^{x}-C_{2}\sin x+C_{3}\cos x

y^{\prime\prime}=C_{1}e^{x}-C_{2}\cos x-C_{3}\sin x

y^{\prime\prime\prime}=C_{1}e^{x}+C_{2}\sin x-C_{3}\cos x

Ahora eliminamos los parametros

y^{\prime\prime\prime}+y^{\prime}=2C_{1}e^{x}

y+y^{\prime\prime}=2C_{1}e^{x}

de forma que obtenemos

y^{\prime\prime\prime}+y^{\prime}-y-y^{\prime\prime}=0

Ejemplo I.10.

Verificar si las familias de funciones siguientes son solucion general de las EDOs correspondientes:

$y(x)=C_{1}+C_{2}e^{-x}$ , $y^{\prime\prime}+y^{\prime}=0$ . Calculamos primera y segunda derivada de la solucion general para obtener la EDO y ver si coincide.

$y^{\prime}(x)=-C_{2}e^{-x}$

$y^{\prime\prime}(x)=C_{2}e^{-x}$

Se tiene $y^{\prime\prime}+y^{\prime}=C_{2}e^{-x}+(-C_{2}e^{-x})=0$ y, por lo tanto, si es solucion de la EDO.
$y(x)=C_{1}e^{-4x}+C_{2}e^{-2x}$ , $y^{\prime\prime}-2y^{\prime}-8y=0$ .

Como vemos, es una EDO de orden $2$ con dos parametros. Por tanto, es coherente y podemos continuar.

Derivamos $y(x)$ hasta el orden de la EDO:

$y^{\prime}(x)=-4C_{1}e^{-4x}-2C_{2}e^{-2x}$

y

$y^{\prime\prime}(x)=16C_{1}e^{-4x}+4C_{2}e^{-2x}$

Por tanto,

$y^{\prime\prime}-2y^{\prime}-8y=16C_{1}e^{-4x}+4C_{2}e^{-2x}+8C_{1}e^{-4x}+4C_% {2}e^{-2x}-8C_{1}e^{-4x}-8C_{2}e^{-2x}\neq 0$

y no verifica la EDO, excepto en el caso $C_{1}=0$ . Pero, en ese caso, la ecuacion solo dependeria de un parametro, lo que implica que no es solucion general de la EDO.

Ejemplo I.11.

Siendo $y(x)=C_{1}\sin x+C_{2}\cos x$ la solucion general de la EDO $y^{\prime\prime}+y=0$ determinar la solucion particular del problema de Cauchy

\begin{cases}y^{\prime\prime}+y=0\\ y(0)=0\\ y^{\prime}(0)=0\end{cases}

Se trata aqui de determinar el valor de los parametros $C_{1}$ y $C_{2}$ de tal manera que la solucion general cumpla las condiciones iniciales.

y(x=0)=C_{1}\sin 0+C_{2}\cos 0=C_{2}\Rightarrow C_{2}=0

Derivando la solucion general,

y^{\prime}(x)=C_{1}\cos x-C_{2}\sin x\Rightarrow y^{\prime}(0)=C_{1}\cos 0-C_{% 2}\sin 0=C_{1}\Rightarrow C_{1}=0

Por tanto, la solucion particular del problema de Cauchy es

y(x)=0

Ejemplo I.12.

Siendo $y(x)=C_{1}\operatorname{sen}x+C_{2}\cos x$ la solucion general de la EDO $y^{\prime\prime}+y=0$

Determinar la solucion particular del problema de contorno:

\begin{cases}y^{\prime\prime}+y=0\\ y(0)=1\\ y(\pi/2)=5\end{cases}

Se tiene

y(0)=C_{1}\sin 0+C_{2}\cos 0=C_{2}\Rightarrow C_{2}=1\Rightarrow y(x)=C_{1}% \sin x+\cos x

Aplicando ahora la segunda condicion de contorno:

y(\pi/2)=C_{1}\sin(\pi/2)+\cos(\pi/2)=C_{1}\cdot 1+0=5\Rightarrow C_{1}=5

Por tanto, la solucion particular del problema de contorno es

y(x)=5\sin x+\cos x