20 Contracciones

Definition 20.1.

Sea ff una función de un conjunto XX en el mismo. Entonces un punto x∈Xx\in X se dice que es un punto fijo de ff si f⁢(x)=xf(x)=x.

Definition 20.2.

Sean (X,d)(X,d) un espacio métrico y ff una función de XX en el mismo. Entonces ff se dice que es una contracción si existe un r∈(0,1)r\in(0,1) tal que

d⁢(f⁢(x1),f⁢(x2))≤r⋅d⁢(x1,x2)⁢ para toda ⁢x1,x2∈X.d(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq r\cdot d(x_{1},x_{2})\;\text{ para toda }x_{1},x_{2}% \in X.
Proposition 20.3.

Sea ff una contracción del espacio métrico (X,d)(X,d). Entonces ff es una función continua.

Proof 20.4.

Sea ϵ>0\epsilon>0 y x0∈Xx_{0}\in X. Siendo δ=ϵ\delta=\epsilon, se tiene que

d⁢(f⁢(x),f⁢(x0))≤r⋅d⁢(x,x0)<d⁢(x,x0)=δ=ϵd(f(x),f(x_{0}))\leq r\cdot d(x,x_{0})<d(x,x_{0})=\delta=\epsilon
Theorem 20.5 (de la contracción o teorema del punto fijo de Banach).

Sean (X,d)(X,d) un espacio métrico completo y ff una contracción de (X,d)(X,d) en el mismo. Entonces ff tiene exactamente un punto fijo.

Proof 20.6.

Sea xx un punto cualquiera en XX, y considera la secuencia

x,f⁢(x),f2⁢(x)=f⁢(f⁢(x)),f3⁢(x)=f⁢(f⁢(f⁢(x))),…,fn⁢(x),…x,f(x),f^{2}(x)=f(f(x)),f^{3}(x)=f(f(f(x))),\ldots,f^{n}(x),\ldots

Mostraremos que esta es una sucesión de Cauchy. Sea a=d⁢(x,f⁢(x))a=d(x,f(x)). Como ff es una contracción, existe r∈(0,1)r\in(0,1) tal que d⁢(f⁢(x1),f⁢(x2))≤r⋅d⁢(x1,x2)d(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq r\cdot d(x_{1},x_{2}), para toda x1,x2∈Xx_{1},x_{2}\in X.

Claramente, d⁢(f⁢(x),f2⁢(x))≤r⋅d⁢(x,f⁢(x))=r⋅ad(f(x),f^{2}(x))\leq r\cdot d(x,f(x))=r\cdot a, d⁢(f2⁢(x),f3⁢(x))≤r2⋅d⁢(x,f⁢(x))=r2⁢ad(f^{2}(x),f^{3}(x))\leq r^{2}\cdot d(x,f(x))=r^{2}a, y por inducción obtenemos que ∀k∈ℕ\forall k\in\mathbb{N} d⁢(fk⁢(x),fk+1⁢(x))≤rk⋅ad(f^{k}(x),f^{k+1}(x))\leq r^{k}\cdot a.

Sean mm y nn enteros positivos cualesquiera, con n>mn>m. Entonces

d⁢(fm⁢(x),fn⁢(x))=d⁢(fm⁢(x),fm⁢(fn−m⁢(x)))≤rm⁢d⁢(x,fn−m⁢(x))≤≤rm⁢[d⁢(x,f⁢(x))+d⁢(f⁢(x),f2⁢(x))+⋯+d⁢(fn−m−1⁢(x),fn−m⁢(x))]≤≤rm⁢d⁢(x,f⁢(x))⁢[1+r+r2+⋯+rn−m−1]≤rm⁢a⁢1−rn−m1−r≤rm⁢a1−r{}d(f^{m}(x),f^{n}(x))=d(f^{m}(x),f^{m}(f^{n-m}(x)))\leq r^{m}d(x,f^{n-m}(x))% \leq\\ {}\leq r^{m}[d(x,f(x))+d(f(x),f^{2}(x))+\cdots+d(f^{n-m-1}(x),f^{n-m}(x))]\leq% \\ {}\leq r^{m}d(x,f(x))[1+r+r^{2}+\cdots+r^{n-m-1}]\leq r^{m}a\frac{1-r^{n-m}}{1% -r}\leq\frac{r^{m}a}{1-r}

Por tanto, d⁢(fm⁢(x),fn⁢(x))≤rm⁢a1−r⁢→m→∞⁢0d(f^{m}(x),f^{n}(x))\leq\frac{r^{m}a}{1-r}\overset{m\to\infty}{\rightarrow}0. Luego ∃z∈X\exists z\in X tal que {fn⁢(x)}→z\left\{f^{n}(x)\right\}\rightarrow z. Así, obtenemos que

f⁢(z)=f⁢(limn→∞fn⁢(x))⁢=c⁢o⁢n⁢t⁢limn→∞fn+1⁢(x)=zf(z)=f(\lim\limits_{n\to\infty}f^{n}(x))\overset{cont}{=}\lim\limits_{n\to% \infty}f^{n+1}(x)=z

Supongamos que existe tt tal que f⁢(t)=tf(t)=t. Entonces d⁢(t,z)=d⁢(f⁢(t),f⁢(z))≤r⋅d⁢(t,z)d(t,z)=d(f(t),f(z))\leq r\cdot d(t,z). Si d⁢(t,z)≠0d(t,z)\neq 0, se tendría que d⁢(t,z)≤r⁢d⁢(t,z)<d⁢(t,z)d(t,z)\leq rd(t,z)<d(t,z). Esto es una contradicción, luego d⁢(t,z)=0⇒t=zd(t,z)=0\Rightarrow t=z.