16 Espacios compactos ‣ Part V Funciones continuas ‣ Topología

Definition 16.1.

Sean $X$ un conjunto y $\mathcal{{U}}\subset\mathcal{{P}}(X)$ una colección de subconjuntos de $X$ . Se dice que $\mathcal{{U}}$ es un recubrimiento de $X$ si $X=\cup\mathcal{{U}}$ .

Example 16.2.

Por ejemplo:

•

$\mathcal{{U}}=\left\{\left\{x\right\}\mid x\in X\right\}$ es un recubrimiento de $X$ (independientemente del conjunto $X$ considerado).
•

$\mathcal{{U}}=\left\{(x,x+1)\mid x\in\mathbb{R}\right\}$ es un recubrimiento de $\mathbb{R}$ .
•

$\mathcal{{U}}=\left\{[-n,n]\mid n\in\mathbb{N}\right\}$ es un recubrimiento de $\mathbb{R}$ .

Definition 16.3.

Se dice que $\mathcal{{U}}\subset\mathcal{{P}}(X)$ es un recubrimiento abierto (o un recubrimiento por abiertos) de $(X,T)$ si $\mathcal{{U}}$ es un recubrimiento de $X$ y $\mathcal{{U}}\subset T$ . Equivalentemente, se dice que una familia $\left\{U_{i}\right\}_{i\in I}$ de subconjuntos de $(X,T)$ es un recubrimiento por abiertos de $(X,T)$ si $X=\bigcup_{i\in I}U_{i}$ y $U_{i}\in T$ , $\forall i\in I$ .

Definition 16.4.

Sea $(X,T)$ espacio topológico. Si $\mathcal{{U}}$ es un recubrimiento de $X$ se dice que $\mathcal{{W}}$ es un subrecubrimiento de $\mathcal{{U}}$ si $X\subset\bigcup\mathcal{{W}}$ y $\mathcal{{W}}\subset\mathcal{{U}}$ .

Definition 16.5.

Se dice que un espacio topológico $(X,T)$ es compacto si $\forall\mathcal{{U}}\subset T$ tal que $X=\bigcup\mathcal{{U}}$ se verifica que $\exists\mathcal{{W}}\subset\mathcal{{U}}$ finito tal que $X=\bigcup\mathcal{{W}}$ (es decir, si todo recubrimiento abierto de $(X,T)$ admite un subrecubrimiento finito). En otras palabras, $(X,T)$ es compacto si $\forall\mathcal{{U}}\subset T$ recubrimiento abierto de $(X,T)$ $\exists U_{1},\ldots,U_{n}\in\mathcal{{U}}$ tales que $X=U_{1}\cup\cdots\cup U_{n}$ .

Proposition 16.6.

Si $(X,T)$ es un espacio topológico con $X$ finito, entonces $(X,T)$ es compacto.

Proof 16.7.

Si $X=\left\{x_{1},\ldots,x_{n}\right\}$ y $\mathcal{{U}}=\left\{U_{i}\right\}_{i\in I}$ es un recubrimiento de $X$ , como $X=\bigcup_{i\in I}U_{i}$ , $\exists i_{1},\ldots,i_{n}\in I$ tales que $x_{1}\in U_{i_{1}},\ldots,x_{n}\in U_{i_{n}}$ . Obviamente $X=U_{i_{1}}\cup\cdots\cup U_{i_{n}}$ , con lo que $(X,T)$ es compacto.

Definition 16.8.

Siendo $(X,T)$ espacio topológico, se dice que $A\subset X$ es compacto si $(A,T|_{A})$ es compacto.

Proposition 16.9.

Sean $(X,T)$ espacio topológico y $K_{1},\ldots,K_{n}\subset X$ conjuntos compactos. Entonces se verifica que

K_{1}\cup\cdots\cup K_{n}

es compacto.

Proof 16.10.

Sea $\mathcal{{U}}=\left\{U_{i}\right\}_{i\in I}$ un recubrimiento abierto de $K_{1}\cup\cdots\cup K_{n}$ . Entonces $\forall j\in\left\{1,\ldots,n\right\}$ $\mathcal{{U}}_{j}=\left\{U_{i}\cap K_{j}\right\}$ es un recubrimiento abierto de $K_{j}$ .

Como $\forall j\in\left\{1,\ldots,n\right\}$ $K_{j}$ es compacto $\Rightarrow\exists U_{i_{j_{1}}},\ldots,U_{i_{j_{k}}}$ tal que $\left\{U_{i_{j_{1}}}\cap K_{j},\ldots,U_{i_{j_{k}}}\cap K_{j}\right\}$ es un recubrimiento abierto de $K_{j}$ .

Terminar (mejor por colecciones).

Proposition 16.11.

Si $C$ es un conjunto cerrado de un espacio compacto $(X,T)$ , entonces $(C,T|_{C})$ es compacto.

Proof 16.12.

Sea $\left\{V_{i}\right\}_{i\in I}$ un recubrimiento abierto de $(C,T|_{C})$ . Para todo $i\in I$ existe $U_{i}\in T$ tal que $V_{i}=U_{i}\cap C$ . Como $C$ es cerrado, $X\setminus C\in T$ .

\begin{rcases}X=(\bigcup_{i\in I}U_{i})\cup(\underbrace{X\setminus C}_{\in T})% \\ (X,T)\text{ compacto}\end{rcases}\Rightarrow\exists i_{1},\ldots,i_{n}\in I% \text{ tal que }X=(U_{i_{1}}\cup\cdots\cup U_{i_{n}})\cup(X\setminus C)

Como $C\cap(X\setminus C)=\varnothing$ . Luego

\displaystyle C\subset((U_{i_{1}}\cup\cdots\cup U_{i_{n}})\cup(X\setminus C))\cap C

\displaystyle{}=(U_{i_{1}}\cap C)\cup\cdots\cup(U_{i_{n}}\cap C)\cup(% \underbrace{(X\setminus C)\cap C}_{\varnothing})=

\displaystyle{}=V_{i_{1}}\cup\cdots\cup V_{i_{n}}

Proposition 16.13.

Todos los intervalos cerrados $[a,b]$ de $(\mathbb{R},T_{u})$ son conjuntos compactos.

Proof 16.14.

Sea $\mathcal{{U}}$ un recubrimiento abierto de $[a,b]$ y consideramos $S$ el conjunto de los $x\in[a,b]$ tales que $[a,x]$ se puede recubrir por un número finito de abiertos de $\mathcal{{U}}$ . Se tiene que $S\neq\varnothing$ pues $a\in S$ ( $[a,a]=\left\{a\right\}$ ). Además, $S$ está acotado superiormente pues $\forall x\in Sx\leq b$ . Sea $c=\sup S$ . Como $\mathcal{{U}}$ es un recubrimiento abierto de $[a,b]\Rightarrow\exists U\in\mathcal{{U}}$ tal que $c\in\mathcal{{U}}$ . Veamos que $c\in S$ :

c=\sup S\Rightarrow\forall\epsilon>0\;\exists x\in S\text{ tq }c-\epsilon<x\leq c

Considerando $U\in T_{u}$ tal que $c\in U$ , $\exists\epsilon>0$ tal que $c\in(c-\epsilon,c+\epsilon)\subset U$ . Esto implica que $c=b$ , pues si $c<b$ obtenemos una contradicción, ya que $\forall x\in(c,c+\epsilon)$ se tiene que $[a,x]$ se recubre por un número finito de abiertos de la colección, en contradicción con que $c=\sup S$ .

Theorem 16.15 (de Heine-Borel).

$A\subset\mathbb{R}$ es un conjunto compacto de $(\mathbb{R},T_{u})\iff$ $A$ es un conjunto cerrado y acotado.

Proof 16.16.

$\Leftarrow)$: Supongamos que $A$ es cerrado y acotado. Por ser $A$ acotado existe $[a,b]\in\mathbb{R}$ tal que $A\subset[a,b]$ . Y por ser $A$ cerrado en $(\mathbb{R},T_{u})$ , $A=A\cap[a,b]$ , $A$ es cerrado en $([a,b],T_{u}|_{[a,b]})$ . En consecuencia, teniendo en cuenta la proposición 1.14 y el teorema 2.1, concluimos que $A$ es compacto.
$\Rightarrow)$: Supongamos que $A\subset\mathbb{R}$ es compacto. Sea $\mathcal{{U}}=\left\{(-n,n)\mid n\in\mathbb{N}\right\}$ . Como $A$ es compacto, necesariamente $\exists n_{1},\ldots,n_{k}\in\mathbb{N}$ tales que $A\subset(-n_{1},n_{1})\cup\cdots\cup(-n_{k},n_{k})$ . Obviamente para cada $x\in A$ se tiene $-\min\left\{n_{1},\ldots,n_{k}\right\}\leq x\leq\max\left\{n_{1},\ldots,n_{k}\right\}$ , y en consecuencia $A$ es un conjunto acotado. Veamos ahora que $A=\overline{A}$ y, por tanto, es cerrado. Razonamos por reducción al absurdo: supongamos que $z\in\overline{A}\setminus A$ . En ese caso, puesto que $(\mathbb{R},T_{u})$ es un espacio $T_{2}$ , $\forall x\in A$ , como $x\neq z$ , $\exists U^{x}\in T_{u}$ y $\exists V^{z}_{x}\in T_{u}$ tales que $U^{x}\cap V^{z}_{x}=\varnothing$ . Ahora bien, $\left\{U^{x}\right\}_{x\in A}$ es un recubrimiento abierto de $A$ , y puesto que $A$ es compacto, $\exists x_{1},\ldots,x_{n}\in A$ tales que $A\subset U^{x_{1}}\cup\cdots\cup U^{x_{n}}$ . Pero, obviamente, $V^{z}=V^{z}_{x_{1}}\cap\cdots\cap V^{z}_{x_{n}}$ es un conjunto abierto tal que $z\in V^{z}$ , y $V^{z}\cap A\subset V^{z}\cap(U^{x_{1}}\cup\cdots\cup U^{x_{n}})=\varnothing$ , es decir, $V^{z}\cap A=\varnothing$ , contradicción con que $z\in\overline{A}$ .

Example 16.17.

•

$(\mathbb{R},T_{u})$ no es compacto al no estar acotado.
•

$(\mathbb{Q},T_{u}|_{\mathbb{Q}})$ no es compacto por no ser cerrado ni acotado.
•

$(0,1),(0,1]$ no son compactos.

Theorem 16.18 (de Bolzano-Weierstrass).

En $(\mathbb{R},T_{u})$ , cualquier subconjunto de $A\subset\mathbb{R}$ infinito y acotado tiene al menos un punto de acumulación.

Proof 16.19.

Si $A\subset\mathbb{R}$ está acotado, $\exists a,b\in\mathbb{R}$ tal que $A\subset[a,b]$ . Razonamos por reducción al absurdo: si $A^{\prime}=\varnothing$ , $\overline{A}=A\cup A^{\prime}=A$ , por lo que $A$ es cerrado, y como $A\subset[a,b]$ , se tiene que $A$ es compacto. Pero, puesto que $A^{\prime}=\varnothing$ , $\forall x\in A\;\exists U^{x}\in T_{u}$ tal que $U^{x}\cap A=\left\{x\right\}$ . Ahora bien, $\left\{U^{x}\right\}_{x\in A}$ es un recubrimiento abierto de $A$ , y dado que $A$ es compacto, $\exists x_{1},\ldots,x_{n}\in A$ tales que $A\subset U^{x_{1}}\cup\cdots\cup U^{x_{n}}$ , pero entonces $A=(U^{x_{1}}\cup\cdots\cup U^{x_{n}})\cap A=\left\{x_{1},\ldots,x_{n}\right\}$ , en contradicción con que $A$ sea un conjunto infinito.

Proposition 16.20.

Si $(X,T)$ es un espacio compacto, cualquier subconjunto de $A\subset X$ infinito tiene al menos un punto de acumulación.

Proof 16.21.

Veamos que si $A\subset X$ es tal que $A^{\prime}=\varnothing$ necesariamente $A$ es finito. Razonando como en el caso anterior, si $x\in A^{\prime}$ entonces $\exists U^{x}\in T$ tal que $(U^{x}-\left\{x\right\})\cap A=\varnothing$ . Es decir, $U^{x}\cap A=\left\{x\right\}$ . Ahora bien, $\left\{U^{x}\right\}_{x\in X}$ es un recubrimiento abierto de $(X,T)$ , y dado que $(X,T)$ es compacto, $\exists x_{1},\ldots,x_{n}\in A$ tales que $X=U^{x_{1}}\cup\cdots\cup U^{x_{n}}$ . Pero $A\subset X$ , luego $A\subset\left\{x_{1},\ldots,x_{n}\right\}$ y, en consecuencia, $A$ es finito.

Theorem 16.22.

Si $(X,T)$ es un espacio compacto y $f\colon(X,T)\to(Y,T^{\prime})$ es una función continua, entonces $(f(X),T^{\prime}|_{f(X)})$ es un espacio compacto.

Proof 16.23.

Sea $\mathcal{{U}}=\left\{U^{\prime}_{i}\right\}_{i\in I}$ un recubrimiento abierto de $f(X)$ en $(Y,T^{\prime})$ , $f(X)\subset\cup_{i\in I}U_{i}$ . Obviamente

X\subset f^{-1}(f(X))\subset f^{-1}\left(\bigcup_{i\in I}U_{i}\right)=\bigcup_% {i\in I}f^{-1}(U_{i}).

Como $f$ es continua, $\forall i\in I\;f^{-1}(U_{i})\in T$ , y puesto que $(X,T)$ es compacto $\exists i_{1},\ldots,i_{n}\in I$ tales que $X=f^{-1}(U_{i_{1}})\cup\cdots\cup f^{-1}(U_{i_{n}})$ . En consecuencia $f(X)\subset f(f^{-1}(U_{i_{1}})\cup\cdots\cup f^{-1}(U_{i_{n}}))\subset U_{i_{% 1}}\cup\cdots\cup U_{i_{n}}$ y por consiguiente $f(X)$ es compacto.

Proposition 16.24.

Si $(X,T)$ es un espacio $T_{2}$ y $A\subset X$ es un conjunto compacto, entonces $A$ es un cerrado de $(X,T)$ .

Proof 16.25.

Veamos que si $A\subset X$ es un conjunto compacto, entonces $X\setminus A\in T$ . Sea $p\in X\setminus A$ . Como $\forall x\in A$ se tiene que $x\neq p$ , y dado que $(X,T)$ es $T_{2}$ , necesariamente $\exists V^{p}_{x}$ , $U^{x}\in T$ tales que $p\in V^{p}_{x}$ , $x\in U^{x}$ y $V^{p}_{x}\cap U^{x}=\varnothing$ . Ahora bien, $\left\{U^{x}\right\}_{x\in A}$ es un recubrimiento de $A$ , y como $A$ es compacto, $\exists x_{1},\ldots,x_{n}\in A$ tales que $A\subset U^{x_{1}}\cup\cdots\cup U^{x_{n}}$ . Por otra parte $V^{p}=V^{p}_{x_{1}}\cap\cdots\cap V^{p}_{x_{n}}$ es un abierto de $(X,T)$ tal que $p\in V^{p}$ y $V^{p}\cap A=\varnothing$ , es decir, $p\in V^{p}\subset X\setminus A$ , con lo que $X\setminus A\in T$ y, en consecuencia, $A$ es un cerrado de $(X,T)$ .

Theorem 16.26 (de Weierstrass).

Si $(X,T)$ es un espacio compacto y $f\colon(X,T)\to(\mathbb{R},T_{u})$ es una función continua, entonces $f$ alcanza valores máximo y mínimo en $X$ , es decir, $\exists x_{1},x_{2}\in X$ tales que $\forall x\in X$ $f(x_{1})\leq f(x)\leq f(x_{2})$ .

Proof 16.27.

Por el teorema 16.22, como $(X,T)$ es compacto y $f$ es continua, tenemos que $f(X)$ es compacto y dado que $f(X)\subset\mathbb{R}$ , necesariamente $f(X)$ es cerrado y acotado, es decir, $\exists a,b\in\mathbb{R}$ tales que $f(X)\subset[a,b]$ . Siendo ahora $m=\inf\left\{f(x)\mid x\in X\right\}$ y $M=\sup\left\{f(x)\mid x\in X\right\}$ , de la definición de supremo e ínfimo de un subconjunto $A\subset\mathbb{R}$ se sigue que $m,M\in\overline{f(X)}$ , pero como $f(X)$ es un conjunto cerrado tendremos que $m,M\in\overline{f(X)}=f(X)$ , es decir, $\exists x_{1},x_{2}\in X$ tales que $f(x_{1})=m$ y $f(x_{2})=M$ , con lo que $\forall x\in X\;f(x_{1})\leq f(x)\leq f(x_{2})$ .