15 Teorema del Valor Intermedio

Proposición V.5.

Sean $(X,T)$ y $(Y,T^{\prime})$ espacios topológicos, y $f\colon(X,T)\to(Y,T^{\prime})$ sobreyectiva y continua. Si $(X,T)$ es conexo, entonces $(Y,T^{\prime})$ es conexo.

Demostración.

Razonamos por reducción al absurdo. Supongamos que, en las condiciones indicadas, $(Y,T^{\prime})$ no es conexo. Esto implica que $\exists U^{\prime}\in\mathcal{{C}}_{T^{\prime}}\cap T^{\prime}$ tal que $U^{\prime}\neq\varnothing$ y $U^{\prime}\neq Y$ .

Como $f$ es continua, $U^{\prime}\in T^{\prime}\Rightarrow f^{-1}(U^{\prime})\in T$ y $U^{\prime}\in\mathcal{{C}}_{T^{\prime}}\Rightarrow f^{-1}(U^{\prime})\in% \mathcal{{C}}_{T}$ . Como $U^{\prime}\neq Y\Rightarrow f^{-1}(U^{\prime})\neq X$ (pues $f$ es sobreyectiva), y como $U^{\prime}\neq\varnothing\Rightarrow f^{-1}(U^{\prime})\neq\varnothing$ . Esto es una contradicción con que $(X,T)$ es conexo. ∎

Observación V.3.

Dado $f\colon(X,T)\to(Y,T^{\prime})$ continua y $(X,T)$ conexo, se tiene que $f\colon(X,T)\to(f(X),T^{\prime}|_{f(X)})$ es continua y sobreyectiva, por lo que $(f(X),T^{\prime}|_{f(X)})$ es conexo.

Observación V.4.

No existen funciones sobreyectivas y continuas de $(\mathbb{R},T_{u})$ a $(\mathbb{Q},T_{u}|_{\mathbb{Q}})$ , $(\mathbb{Z},T_{u}|_{\mathbb{Q}})$ .

Definición V.3.

Sea $(X,T)$ un espacio topológico. Se dice que $(X,T)$ es conexo por caminos si $\forall a,b\in X$ con $a\neq b$ existe una función continua $f\colon([0,1],T_{u}|_{[0,1]})\to(X,T)$ tal que $f(0)=a$ y $f(1)=b$ . La función $f$ se dice que es un camino uniendo $a$ a $b$ .

Ejemplo V.5.

\displaystyle f\colon[0,1]

\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{R}^{2}

\displaystyle t

\displaystyle{}\longmapsto f(t)=(\cos 2\pi t,\sin 2\pi t)

$f$ es continua y sobreyectiva. Como $([0,1],T_{u}|_{[0,1]})$ es conexo, $(S^{1},T^{2}_{u}|_{S^{1}})$ es conexo.

Proposición V.6.

$(X,T)$ conexo por caminos $\Rightarrow(X,T)$ conexo.

Demostración.

Razonamos por reducción al absurdo. Supongamos que $(X,T)$ es conexo por caminos pero no conexo. Si $(X,T)$ no es conexo, $\exists U\in T\cap\mathcal{{C}}_{T}$ con $U\neq\varnothing$ y $U\neq X$ . Esto implica que $X\setminus U\neq\varnothing$ , $X\setminus U\neq X$ . Sean $a\in U$ y $b\in X\setminus U$ . Como $(X,T)$ es conexo por caminos, $\exists f\colon[0,1]\to(X,T)$ continua tal que $f(0)=a$ y $f(1)=b$ .

\begin{rcases}f\text{ continua}\\ U\in T\cap\mathcal{{C}}_{T}\end{rcases}\Rightarrow f^{-1}(U)\in T_{u}|_{[0,1]}% \cap\mathcal{{C}}_{T_{u}|_{[0,1]}}

Se tiene que $f^{-1}(U)\neq\varnothing$ pues $0\in f^{-1}(U)$ (ya que $f(0)=a\in U$ ). Además, $f^{-1}(U)\neq[0,1]$ pues $1\notin f^{-1}(U)$ .

Esto es una contradicción pues $([0,1],T_{u}|_{[0,1]})$ es conexo. ∎

Ejemplo V.6.

Consideramos $B=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y\geq x^{2}\right\}$ . Se tiene que $(B,T_{u}|_{B})$ es conexo por caminos y por tanto es conexo.

Observación V.5.

$(\mathbb{R},T_{u})$ y $\mathbb{R}^{2},T^{2}_{u}$ no son homeomorfos. Si $f\colon(\mathbb{R},T_{u})\to(\mathbb{R}^{2},T^{2}_{u})$ es un homeomorfismo, resultaría que $f\colon(\mathbb{R}\setminus\left\{0\right\},T_{u}|_{\mathbb{R}\setminus\left\{% 0\right\}})\to(\mathbb{R}^{2}\setminus\left\{0\right\},T^{2}_{u}|_{\mathbb{R}^% {2}\setminus\left\{f(0)\right\}})$ es un homeomorfismo. Sin embargo, $(\mathbb{R}\setminus\left\{0\right\},T_{u}|_{\mathbb{R}\setminus\left\{0\right% \}})$ no es conexo ni conexo por caminos, mientras que $(\mathbb{R}^{2}\setminus\left\{0\right\},T^{2}_{u}|_{\mathbb{R}^{2}\setminus% \left\{f(0)\right\}})$ es conexo por caminos y por tanto conexo.

Observación V.6.

En general, $(\mathbb{R}^{n},T^{n}_{u})\cong(\mathbb{R}^{m},T^{m}_{u})$ si y solo si $n=m$ .

Ejemplo V.7.

Sea $S^{2}=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}$ . Se tiene que $(S^{2},T^{3}_{u}|_{S^{2}})$ es conexo por caminos.

Observación V.7.

Si $(X,T)$ es conexo, no implica que sea conexo por caminos.

Consideramos $A=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 0\leq x\leq 1\wedge y=\sin\frac{1}{x}% \right\}\cup(\left\{0\right\}\times[-1,1])\subset\mathbb{R}^{2}$ . Se tiene que $(A,T_{u}|_{A})$ es conexo pero no conexo por caminos (Observación 5.2.7 del libro).

Teorema V.1 (del valor intermedio de Weierstrass).

Sea $f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ continua tal que $f(a)\neq f(b)$ . Entonces para cada número $p$ entre $f(a)$ y $f(b)$ existe un punto $c\in[a,b]$ tal que $f(c)=p$ .

Demostración.

Como $[a,b]$ es conexo y $f$ es continua, $f([a,b])$ es conexo. Por una proposición anterior, esto implica que $f([a,b])$ es un intervalo. Ahora $f(a)$ y $f(b)$ están en $f([a,b])$ . Por lo que, si $p$ está entre $f(a)$ y $f(b)$ , $p\in f([a,b])$ , es decir, $p=f(c)$ para algún $c\in[a,b]$ . ∎

Corolario V.1.

Si $f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ es continua tal que $f(a)>0$ y $f(b)<0$ , entonces existe un $x\in[a,b]$ tal que $f(x)=0$ .

Corolario V.2.

Sea $f$ una función continua de $[0,1]$ en $[0,1]$ . Entonces existe un $z\in[0,1]$ tal que $f(z)=z$ . El punto $z$ es llamado un punto fijo.

Demostración.

Suponemos $f(0)\neq 0$ y $f(1)\neq 1$ . Por lo tanto, $f(0)>0$ y $f(1)<1$ . Consideramos

\displaystyle g\colon[0,1]

\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{R}

\displaystyle x

\displaystyle{}\longmapsto g(x)=x-f(x)

función continua por ser la suma de funciones continuas. Entonces $\exists z\in[0,1]$ tal que $g(z)=0\Rightarrow z-f(z)=0\Rightarrow f(z)=z$ . ∎

Estas dos proposiciones tienen posibilidades de caer en algún examen:

Proposición V.7.

$f\colon(X,Y)\to(Y^{\prime},T^{\prime})$ continua $\iff\forall A\subset X$ $f(\overline{A})\subset\overline{f(A)}$ .

Proposición V.8.

$(X,T)$ es conexo $\iff\forall f\colon(X,T)\to(\left\{0,1\right\},T_{disc})$ continua, $f$ es constante.