11 Conexidad

Definición III.11.

Sea $A\subseteq\mathbb{R}$ con $A\neq\varnothing$ .

Decimos que $A$ está acotado superiormente si $\exists K\in\mathbb{R}$ tal que $\forall x\in A\;x\leq K$ .
Decimos que $A$ está acotado inferiormente si $\exists K^{\prime}\in\mathbb{R}$ tal que $\forall x\in A\;K^{\prime}\leq x$ .
Decimos que $A$ está acotado si $\exists K\in\mathbb{R}$ tal que $\left|x\right|\leq K$ .

Definición III.12.

Si $A\neq\varnothing$ con $A\subset\mathbb{R}$ está acotado superiormente, se dice que

\alpha=\sup A\iff\begin{cases}1)\;\forall x\in A\;x\leq\alpha\\ 2)\;\forall k\in\mathbb{R}\text{ tq }k\text{ es cota superior de }A\Rightarrow% \alpha\leq k\end{cases}

Proposición III.4.

Sea $A\subset\mathbb{R}$ conjunto no vacío y acotado superiormente. Entonces

\alpha=\sup A\iff\begin{cases}\forall x\in A\;x\leq\alpha\\ \forall\epsilon>0\;\exists x\in A\text{ tq }\alpha-\epsilon<x\leq\alpha\end{cases}

Definición III.13.

Si $A\subset\mathbb{R}$ conjunto no vacío y acotado inferiormente, se dice que

\beta=\mathop{\operator@font\acute{{\imath}}nf}A\iff\begin{cases}1)\;\forall x% \in A\;\beta\leq x\\ 2)\;\forall k\in\mathbb{R}\text{ tq }k\text{ es cota inferior de }A\Rightarrow k% \leq\beta\end{cases}

Proposición III.5.

Se tiene que

\beta=\mathop{\operator@font\acute{{\imath}}nf}A\iff\begin{cases}\beta\text{ % es cota inferior de }A\\ \forall\epsilon>0\;\exists x\in A\text{ tq }\beta\leq x<\beta+\epsilon\end{cases}

Definición III.14.

Dado $A\subset\mathbb{R}$ con $A\neq\varnothing$ y $A$ acotado, se dice que

1.

Dado $\alpha\in A$ , $\alpha=\mathop{\operator@font m\acute{a}x}A$ si $\forall x\in A\;x\leq\alpha$ .
2.

Dado $\beta\in A$ , $\beta=\mathop{\operator@font m\acute{{\imath}}n}A$ si $\forall x\in A\;\beta\leq x$ .

Ejemplo III.7.

$\mathbb{N}=\left\{1,2,\ldots\right\}$ . Se tiene que $\mathop{\operator@font m\acute{{\imath}}n}\mathbb{N}=1$ .

Sea $A=(0,1]$ . Se tiene que $1=\sup A$ y $1\in A\Rightarrow\mathop{\operator@font m\acute{a}x}A=1$ . Por otro lado, $\mathop{\operator@font\acute{{\imath}}nf}A=0$ pero $0\notin A$ , luego $A$ no tiene mínimo.

Lema III.1.

Sea $S$ un subconjunto de $\mathbb{R}$ que es acotado superiormente. En estas condiciones

\alpha=\sup S\in\overline{S}

Demostración.

Razonamos por reducción al absurdo. Supongamos que $\alpha\in\mathbb{R}\setminus\overline{S}$ . Como además $\mathbb{R}\setminus\overline{S}\in T_{u}$ , $\exists\epsilon>0$ tal que $(\alpha-\epsilon,\alpha+\epsilon)\subset\mathbb{R}\setminus\overline{S}$ . Pero $\alpha=\sup S\Rightarrow\exists x\in S$ tal que $\alpha-\epsilon<x\leq\alpha\Rightarrow(\alpha-\epsilon,\alpha+\epsilon)\cap S\neq\varnothing$ . Esto es una contradicción. ∎

Proposición III.6.

Sea $T$ un subconjunto abierto y cerrado de $\mathbb{R}$ . Entonces $T=\mathbb{R}$ o $T=\varnothing$ .

Demostración.

Razonamos por reducción al absurdo. Suponer que $C\in T_{u}\cap\mathcal{{C}}_{T_{u}}$ con $C\neq\varnothing\wedge C\neq\mathbb{R}$ . En estas condiciones

\begin{cases}C\neq\varnothing\Rightarrow\exists x\in C\\ C\neq\mathbb{R}\Rightarrow\exists z\in\mathbb{R}\setminus C\end{cases}

Sin pérdida de generalidad podemos suponer que $x<z$ . Sea $S=[x,z]\cap C\in\mathcal{{C}}_{T_{u}}$ (por ser intersección de cerrados). Por otra parte, $S$ está acotado superiormente ( $z$ es una cota superior de $S$ ). Sea $p=\sup S$ . Entonces por la proposición anterior $p\in\overline{S}$ , pero como $S$ es cerrado $\overline{S}=S$ , luego $p\in S$ . Además, $p<z$ ya que $z$ es una cota superior de $S$ . Entonces

p\in C\wedge z\in\mathbb{R}\setminus C\Rightarrow\begin{rcases}p\leq z\\ p\neq z\end{rcases}\Rightarrow p<z

Como hemos dicho que $C$ es abierto y cerrado, en particular $C\in T_{u}$ y $p\in C\Rightarrow\exists\epsilon>0$ tal que $(p-\epsilon,p+\epsilon)\subset C$ . Siendo $t\in(p,\mathop{\operator@font m\acute{{\imath}}n}\left\{p+\epsilon,z\right\})$ , $t\in S$ y $t>p$ . Esto es una contradicción, pues $p=\sup S$ . ∎

Definición III.15.

Sea $(X,T)$ un espacio topológico. Entonces $(X,T)$ es conexo si los únicos subconjuntos abiertos y cerrados de $X$ son $X$ y $\varnothing$ .

Corolario III.2.

$(\mathbb{R},T_{u})$ es un espacio topológico conexo.

Demostración.

Consecuencia inmediata de la proposición III.6. ∎

Ejemplo III.8.

Si $X\neq\varnothing$ , consideramos $(X,T_{dis})$ . Entonces este espacio topológico no es conexo, pues todo conjunto de $X$ es abierto y cerrado $\Rightarrow T_{dis}\cap\mathcal{{C}}_{T_{dis}}\neq\left\{\varnothing,X\right\}$ .

Ejemplo III.9.

Sea $X=\left\{a,b,c,d\right\}$ y $T=\left\{\varnothing,X,\left\{a\right\},\left\{b,c,d\right\}\right\}$ . Se tiene que $\left\{a\right\},\left\{b,c,d\right\}\in T\cap\mathcal{{C}}_{T}$ . Luego $(X,T)$ no es conexo.