10 Punto de acumulación, adherencia de un conj. y entornos de un punto

Definición III.1 (Punto adherente).

Sea $(X,T)$ un espacio topológico y $A\subset X$ . Se dice que $x\in X$ es un punto adherente de $A$ si $\forall U\in T$ tal que $x\in U$ , se verifica que $U\cap A\neq\varnothing$ .

Definición III.2 (Entorno).

Dado $(X,T)$ espacio topológico y $x\in X$ , se denominará entorno (abierto) de $x$ a cualquier conjunto abierto $U$ tal que $x\in U$ .

En ocasiones, si $x\in U\in T$ escribiremos $U^{x}\in T$ para referirnos a este conjunto abierto.

Ejemplo III.1.

Consideramos $\mathbb{R}$ con la topología usual. Sea $1\in\mathbb{R}$ , podemos tomar $U^{1}=(0{,}5,1{,}5)$ o $V^{1}=(0,3)\cup(4,7)$ .

Ejemplo III.2.

Sea $X=\left\{a,b,c,d,e\right\}$ y $T=\left\{\varnothing,X,\left\{a\right\},\left\{a,b,c\right\},\left\{b,c,d% \right\},\left\{b,c\right\},\left\{a,b,c,d\right\}\right\}$ .

Podemos decir que $U^{a}=\left\{a\right\}$ o $V^{a}=\left\{a,b,c\right\}$ .

Consideramos $A=\left\{a,b\right\}$ . Entonces tanto $a$ como $b$ son puntos adherentes de $A$ . Además, $c$ lo es puesto que todos los conjuntos a los que pertenece $c$ también pertenece o $a$ o $b$ . Los puntos $d$ y $e$ también son adherentes.

Definición III.3.

Al conjunto de puntos adherentes de un conjunto $A$ se le denomina adherencia de $A$ y se la denota por $\overline{A}$ .

Observación III.1.

Si $x\in A$ $\forall U^{x}\in T\;U^{x}\cup A\neq\varnothing\Rightarrow\forall A\subset X\;A% \subset\overline{A}$ .

Ejemplo III.3.

En el ejemplo anterior, $\overline{A}=\left\{a,b,c,d,e\right\}=X$ .

Definición III.4 (Punto de acumulación).

Dado $(X,T)$ espacio topológico y $x\in X$ . Se dice que $x\in X$ es un punto de acumulación de $A$ si $\forall U^{x}\in T$ , se verifica que $(U^{x}\setminus\left\{x\right\})\cap A\neq\varnothing$ .

Definición III.5.

Al conjunto de puntos de acumulación de un conjunto $A\subset X$ se le denomina conjunto derivado de $A$ y se le denota por $A^{\prime}$ (o $A^{d}$ ).

Observación III.2.

Si $x\in A^{\prime}\Rightarrow x\in\overline{A}$ . De hecho, veremos que $\overline{A}=A\cup A^{\prime}$ .

Ejemplo III.4.

Consideramos $\mathbb{R}$ con la topología usual y $A=(0,1]\cup\left\{3\right\}\cup\left\{5\right\}$ .

Cualquier conjunto abierto que contiene a $0$ contiene puntos de $A\setminus\left\{0\right\}$ , por lo que $0\in A^{\prime}$ . Si consideramos $x\in(0,1]$ , $U^{x}\setminus\left\{x\right\}=(x-\epsilon,x+\epsilon)\setminus\left\{x\right% \}=(x-\epsilon,x)\cup(x,x+\epsilon)$ , cuya intersección con $A$ es distinta de vacío y, por tanto, $x\in A^{\prime}$ . Los puntos $3$ y $5$ no son de acumulación.

A^{\prime}=[0,1]

\overline{A}=[0,1]\cup\left\{3\right\}\cup\left\{5\right\}

Observad que $\overline{A}$ es un cerrado de $T_{u}$ .

Ejemplo III.5.

En el ejemplo III.2, $A^{\prime}=\left\{c,d,e\right\}$ . Se tiene que $b\notin A^{\prime}$ porque para $U^{b}=\left\{b,c\right\}$ , $(U^{b}\setminus\left\{b\right\})\cap A=\varnothing$ . Lo mismo para $a$ .

Definición III.6.

Decimos que $A\subset X$ es un conjunto denso en $(X,T)$ si $\forall U\in T\;A\cap U\neq\varnothing$ (que es lo mismo que $\overline{A}=X$ ).

Ejemplo III.6.

En $(\mathbb{R},T_{u})$ , el conjunto de los racionales es denso, pues $\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$ .

Observación III.3.

En $(X,T)$ , $\forall A\subset X\;\overline{A}\in\mathcal{{C}}_{T}$ . De hecho, $\overline{A}=\bigcap_{\begin{subarray}{c}A\subset C\\ c\in\mathcal{{C}}_{T}\end{subarray}}C$ (es el cerrado más pequeño que contiene a $A$ ).

Observación III.4.

$A$ es cerrado si y solo si $\overline{A}=A$ .

Como ejercicio, probar que en $(X,T)\;\forall A,B\subset X\;\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B}$ .

Observación III.5.

En $(\mathbb{R},T_{u})$ , definimos $A=\mathbb{Q}$ y $B=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ . Entonces se tiene que $\begin{cases}\overline{A}=\mathbb{R}\\ \overline{B}=\mathbb{R}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\overline{A}\cap% \overline{B}=\mathbb{R}\\ \overline{A\cap B}=\overline{\varnothing}=\varnothing\end{cases}$ .

También se tiene con $A=(0,1)$ , $B=(1,2)$ .

Proposición III.1.

Sea $(X,T)$ espacio topológico. Entonces

A\in\mathcal{{C}}_{T}\iff A^{\prime}\subset A

Demostración.

$\Rightarrow)$: Supongamos que $A\in\mathcal{{C}}_{T}\Rightarrow(X\setminus A)\in T$ . Por reducción al absurdo, supongamos que $A^{\prime}\not\subset A\Rightarrow\exists a\in A^{\prime}$ tal que $a\notin A\Rightarrow\exists U^{a}\in T$ tal que $(U^{a}\setminus\left\{a\right\})\cap A\neq\varnothing$ pero $a\in(X\setminus A)$ y $(X\setminus A)\cap A=\varnothing$ . Esto es una contradicción, luego $a\in A$ .
$\Leftarrow)$: Supongamos que $A^{\prime}\subset A$ . Veamos que $A\in\mathcal{{C}}_{T}$ , es decir, $(X\setminus A)\in T$ . Como $A^{\prime}\subset A$ , $\forall x\in(X\setminus A)\;x\notin A^{\prime}\Rightarrow\exists U^{x}\in T$ tal que $(U^{x}\setminus\left\{x\right\})\cap A=\varnothing\iff U^{x}\setminus\left\{x% \right\}\subset X\setminus A$ y $x\notin A\iff U^{x}\subset X\setminus A$ .

$(X\setminus A)=\underbrace{\bigcup_{x\in X\setminus A}\underbrace{U^{x}}_{\in T% }}_{\in T}$

∎

Proposición III.2.

Sea $(X,T)$ espacio topológico y $A\subset X$ . Entonces $A\cup A^{\prime}\in\mathcal{{C}}_{T}$ .

Demostración.

Ejercicio. ∎

Proposición III.3.

Sea $(X,T)$ espacio topológico y $A\subset X$ .

\overline{A}=\bigcap_{\begin{subarray}{c}C\in\mathcal{{C}}_{T}\\ A\subset C\end{subarray}}C

Demostración.

$\supset)$: Si $\overline{A}\in\mathcal{{C}}_{T}$ y $A\subset\overline{A}$ ,

$\bigcap_{\begin{subarray}{c}C\in\mathcal{{C}}_{T}\\ A\subset C\end{subarray}}C\subset\overline{A}$
$\subset)$: Sea $C\in\mathcal{{C}}_{T}$ tal que $A\subset C$ , $\overline{A}\subset C$ ?

Razonamos por reducción al absurdo. Supongamos que $\overline{A}\not\subset C\Rightarrow\exists x\in\overline{A}$ tal que $x\notin C\Rightarrow x\in X\setminus C\in T$ . Como $A\subset C\Rightarrow(X\setminus C)\subset(X\setminus A)\Rightarrow\underbrace% {(X\setminus C)}_{\in T}\cap A=\varnothing$ y $x\in(X\setminus C)\Rightarrow x\notin\overline{A}$ . Esto es una contradicción.

Luego $\forall C\in\mathcal{{C}}_{T}$ tal que $A\subset C\Rightarrow\overline{A}\subset C\Rightarrow\overline{A}\subset\cap C$ .

∎

Definición III.7.

Sea $(X,T)$ espacio topológico y $x\in X$ . Se dice que $A$ es un entorno de $x$ si $\exists U\in T$ tal que $x\in U\subset A$ .

Se dice que $U$ es un entorno abierto del punto $x\in X$ si $x\in U$ y $U\in T$ .

Proposición, corolarios.

Corolario III.1.

Sea $(X,T)$ un espacio topológico y $A\subset X$ . Entonces

A\in T\iff\forall x\in A\;\exists U^{x}\in T\text{ tal que }U^{x}\subset A

Demostración.

$\Leftarrow)$: Dado $x\in A$ , $\exists U^{x}\in T$ tal que $U^{x}\subset A\Rightarrow A=\underbrace{\bigcup_{x\in A}\underbrace{U^{x}}_{% \in T}}_{\in T}$ .
$\Rightarrow)$: Supongamos que $A\in T$ . Entonces $\forall x\in A\;x\in A\subset A$ .

∎

Definición III.8.

Un espacio topológico $(X,T)$ se dice separable si tiene un subconjunto denso que es numerable.

Definición III.9.

Sean $(X,T)$ un espacio topológico cualquiera y $A$ cualquier subconjunto de $X$ . El más grande conjunto abierto contenido en $A$ es llamado el interior de $A$ y es denotado por $Int(A)$ o Å. Es decir,

\text{\AA}=\bigcup_{\begin{subarray}{c}U\in T\\ U\subset A\end{subarray}}U

Definición III.10.

Se dice que $x\in X$ es un punto interior de $A$ si $\exists U^{x}\in T$ tal que $x\in U^{x}\subset A$ .

Por tanto, Å $=\left\{x\in X\mid x\text{ es punto interior de }A\right\}$ .