10 La relacion de congruencia en $\mathbb{Z}$

1. 1.
   ​

   Reflexiva: $\forall a\in\mathbb{Z}\;a\equiv a$ mod $n$?

   $a-a=0=0\cdot n\Rightarrow a\equiv a$ mod $n$.

2. 2.
   ​

   Simetrica: $\forall a,b\in\mathbb{Z}$ si $a\equiv b$ mod $n$ $\exists k\in\mathbb{Z}$ tal que $a-b=k\cdot n\Rightarrow b-a=(-k)\cdot n\Rightarrow b\equiv a\text{ mod }n$.

3. 3.
   ​

   Transitiva: $\forall a,b,c\in\mathbb{Z}$

   $$\begin{rcases}a\equiv b\text{ mod }n\\ b\equiv c\text{ mod }n\end{rcases}\Rightarrow\exists k,m\in\mathbb{Z}\mid a-b=k\cdot n,b-c=m\cdot n$$

   Luego $a-c=n\cdot(k+m)$ $\Rightarrow a\equiv c\text{ mod }n$.

Como $a=n\cdot q+r$ (teorema de la division), $a-r=n\cdot q\Rightarrow a\equiv r\text{ mod }n\Rightarrow[a]_{n}=[r]_{n}$.

Dado $a\in\mathbb{Z}$ cualquiera por la proposicion 10.7 $\exists r\in\mathbb{Z},0\leq r\leq n-1$ tal que

Para demostrar que hay exactamente $r$ clases, tengo que demostrar que las clases $[0],[1],[2],\ldots,[n-1]$ son todas distintas entre si.

Supongamos que $r_{1}$ y $r_{2}$ son restos modulo $n$, es decir, $0\leq r_{1},r_{2}\leq n-1$ y que $[r_{1}]=[r_{2}]$.

Luego $\exists k\in\mathbb{Z}$ tal que $r_{1}-r_{2}=k\cdot n\Rightarrow\underbrace{|r_{1}-r_{2}|}_{\leq n-1}=|k|\cdot n$ Por ser la distancia entre 2 restos, $|k|\cdot n\leq n-1\Rightarrow k=0\Rightarrow r_{1}=r_{2}$

$[a]=[c]\Rightarrow\exists k\in\mathbb{Z}$ tal que $a-c=k\cdot n$

$[b]=[d]\Rightarrow\exists m\in\mathbb{Z}$ tal que $b-d=m\cdot n$

Quiero ver que $[a+b]=[c+d]$, es decir, que $(a+b)-(c+d)$ es multiplo de $n$.

$(a+b)-(c+d)=(a-c)+(b-d)=k\cdot n+m\cdot n=(k+m)\cdot n\Rightarrow[a+b]=[c+d]$.

Ahora vamos a ver que $[a\cdot b]=[c\cdot d]$, es decir, que $ab-cd(*)$ es multiplo de $n$.

(*) = $ab-ad+ad-cd=a(b-d)+(a-c)\cdot d=a\cdot m\cdot n+k\cdot n\cdot d=n(am+kd)\Rightarrow[ab]=[cd]$

Veamos que la suma es asociativa

Sea $[a],[b],[c]\in\mathbb{Z}_{n}\Rightarrow[a]+([b]+[c])\overset{?}{=}([a]+[b])+[c]$.

Por definicion, $[a]+([b]+[c])=[a]+[b+c]=[a+(b+c)]=[(a+b)+c]$ porque la suma en $\mathbb{Z}$ es asociativa.

Es decir, la asociatividad se “hereda” de la asociatividad de la suma en $\mathbb{Z}$.

Son analogas las demostraciones de que la suma y el producto son conmutativos, el producto es asociativo, y la distributiva.

Se heredan de $\mathbb{Z}$ y no las escribimos.

Tenemos que demostrar que existe un neutro de la suma: $\forall[a]\in\mathbb{Z}_{n}$ se cumple que $[a]+[0]=[a]$. Luego $[0]$ es el neutro de la suma.

Tambien, $\forall[a]\in\mathbb{Z}_{n}$ tenemos $[-a]\in\mathbb{Z}_{n}$ tal que $[a]+[-a]=[0]$. Luego $[-a]$ es el opuesto de $[a]$.

Por otro lado $\forall a\in\mathbb{Z}$, $[a][1]=[a]$. Asi, $[1]$ es el neutro del producto en $\mathbb{Z}_{n}$.

Como cumple todas las propiedades, $\mathbb{Z}_{n}$ es un anillo conmutativo unitario.

$[a]_{n}$ es invertible $\iff$ $\overset{DEF}{\Rightarrow}\exists b\in\mathbb{Z}$ tal que $[a]_{n}\cdot[b]_{n}=[1]_{n}$ $\iff$

$\iff$ $\exists b,k\in\mathbb{Z}$ tal que $1-ab=k\cdot n$ $\iff$

$\iff$ La ecuacion diofantica $n\cdot x+a\cdot y=1$ tiene solucion en $x$ e $y$.

Por el teorema 8, tiene solucion si y solo si $\mathrm{m.c.d.}(n,a)|1\iff\mathrm{m.c.d.}(n,a)=1$.

Obs: Ademas, hemos dado una forma de encontrar el inverso, si existe, resolviendo una ecuacion diofantica.

$\Leftarrow)$ $n$ es primo. Tengo que ver que $[1],[2],[3],\ldots,[n-1]$ son invertibles.

$\forall a$ tal que $1\leq a\leq n-1$ se cumple que $\mathrm{m.c.d.}(a,n)=1$ (porque n es primo)

Luego por la proposicion 13, $[a]$ es invertible.

$\Rightarrow)$ Veamos que si $\mathbb{Z}_{n}$ es un cuerpo entonces $n$ es primo. Lo demostramos por contraposicion. ($n$ compuesto $\Rightarrow\mathbb{Z}_{n}$ no es un cuerpo)

$n$ compuesto $\Rightarrow n=d_{1}\cdot d_{2}$ con $2\leq d_{1},d_{2}\leq n-1$.

Por tanto $\mathrm{m.c.d.}(n,d_{1})\geq d_{1}\geq 2\Rightarrow\mathbb{Z}_{n}$ no es un curpo por la proposicion 13.