9 Isometrías

$\Leftarrow)$

$\left\lVert f(v)\right\rVert^{2}=\langle f(v),f(v)\rangle=\langle v,v\rangle=\left\lVert v\right\rVert^{2}\;\forall v\in V$.

$\Rightarrow)$

Como $q(v)=\langle v,v\rangle=\left\lVert v\right\rVert^{2}$ y $F(v,w)=\langle v,w\rangle=\frac{1}{2}(q(v+w)-q(v)-q(w))$,

$$\langle v,w\rangle=\frac{1}{2}(\left\lVert v+w\right\rVert^{2}-\left\lVert v\right\rVert^{2}-\left\lVert w\right\rVert^{2})$$

Por otro lado,

$$\langle f(v),f(w)\rangle=\frac{1}{2}(\left\lVert f(v+w)\right\rVert^{2}-\left\lVert f(v)\right\rVert^{2}-\left\lVert f(w)\right\rVert^{2})\overset{\left\lVert f(v)\right\rVert=\left\lVert v\right\rVert}{=}\frac{1}{2}(\left\lVert v+w\right\rVert^{2}-\left\lVert v\right\rVert^{2}-\left\lVert w\right\rVert^{2})$$

Por tanto, $\langle f(v),f(w)\rangle=\langle v,w\rangle$.

Sea $B=\left\{v_{1},\ldots,v_{n}\right\}$ y $v,w\in V$ de forma que $(v)_{B}=(x_{1},\ldots,x_{n})$, $(w)_{B}=(y_{1},\ldots,y_{n})$. Sea $P=M(f,B)$.

Sea $f\colon V\to V$ una isometria y sea $BON$ una base ortonormal cualquiera. Llamamos $P=M(f,BON)=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\\ \end{pmatrix}$.

Imponemos $P^{t}\cdot P=I$. Entonces

En la primera ecuacion, como $a^{2}+c^{2}=1$, $\exists\alpha\in[0,2\pi)$ tal que $a=\cos\alpha$ y $c=\sin\alpha$.

De la segunda ecuacion se obtiene que $0=ab+cd=\begin{vmatrix}a&-d\\ c&b\\ \end{vmatrix}\Rightarrow\exists\lambda\in\mathbb{R}$ tal que $\begin{pmatrix}-d\\ b\\ \end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}a\\ c\\ \end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}\cos\alpha\\ \sin\alpha\\ \end{pmatrix}\Rightarrow d=-\lambda\cos\alpha$ y $b=\lambda\sin\alpha$.

Sustituyendo $b$ y $d$ en la tercera ecuacion,

Consideramos los dos casos segun el valor de $\lambda$:

Caso $\lambda=-1$

Si $\lambda=-1$, entonces $\mathrm{det}(P)=1$ y la matriz $P$ es

$$P=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha\\ \end{pmatrix}\;\;\alpha\in[0,2\pi)$$

Esto se cumple con cualquier base ortonormal.

Caso $\lambda=1$

Si $\lambda=1$, entonces $\mathrm{det}(P)=-1$ y $P=\begin{pmatrix}\cos\alpha&\sin\alpha\\ \sin\alpha&-\cos\alpha\\ \end{pmatrix}$ simetrica.

Diagonalizamos $P$ por congruencia ortogonal

$$p_{f}(x)=\begin{vmatrix}x-\cos\alpha&-\sin\alpha\\ -\sin\alpha&x+\cos\alpha\\ \end{vmatrix}=x^{2}-\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=x^{2}-1=(x+1)(x-1)$$

Entonces se obtiene

$$\begin{cases}S_{1}=\langle v_{1}\rangle\;\;\frac{v_{1}}{\left\lVert v_{1}\right\rVert}=w_{1}\\ S_{-1}=\langle v_{2}\rangle\;\;\frac{v_{2}}{\left\lVert v_{2}\right\rVert}=w_{2}\end{cases}$$

La $BON$ buscada es $\left\{w_{1},w_{2}\right\}$ y se cumple $M(f,\left\{w_{1},w_{2}\right\})=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&-1\\ \end{pmatrix}$.

Hallamos $p_{f}(x)\in\mathbb{R}[x]$, de grado 3. Sea $\lambda$ autovalor real de $f$ (existe porque $p_{f}(x)$ tiene grado 3).

Sea $0\neq v\in V$ tal que $f(v)=\lambda v$. Entonces

Es decir, $\left|\lambda\right|=1\iff\lambda=\pm 1$.

Como $v$ es un vector no isotropo, $V=\langle v\rangle\oplus\langle v\rangle^{\perp}$. Veamos si podemos aplicar el teorema anterior a $\langle v\rangle^{\perp}$. Para ello, comprobamos que $f$ restringida a $\langle v\rangle^{\perp}$ esta bien definida y es una isometria.

Veamos que $f(\langle v\rangle^{\perp})\subseteq\langle v\rangle^{\perp}$. Sea $w\in\langle v\rangle^{\perp}$,

Por tanto esta bien definida y es isometría porque lo hereda de $f$. Llamamos a esta aplicacion $g$.

Aplicando el teorema de dimension 2 a $g$, existe base ortonormal de $\langle v\rangle^{\perp}\;\left\{w_{2},w_{3}\right\}$ tal que la matriz de $g$ en esa base es $\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha\\ \end{pmatrix}$ o $\begin{pmatrix}1&0\\ 0&-1\\ \end{pmatrix}$.

En $V$ consideramos la base ortonormal $BON=\left\{\frac{v}{\left\lVert v\right\rVert},w_{2},w_{3}\right\}$. Entonces

En el primer caso, se cumple el teorema tanto si $\lambda=1$ como si $\lambda=-1$. Veamos el segundo. Si $\lambda=1$,

reordenando la base ortonormal llegamos a $\begin{pmatrix}-1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0&0\\ 0&\cos 0&-\sin 0\\ 0&\sin 0&\cos 0\\ \end{pmatrix}$.

Si $\lambda=-1$, reordenando la base $\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&-1\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&\cos\pi&-\sin\pi\\ 0&\sin\pi&\cos\pi\\ \end{pmatrix}$

Sean $P^{\prime}\in X_{1}$ y $Q^{\prime}\in X_{2}$ dos puntos cualquiera. Se tiene que

Por lo tanto, hemos visto que $d(P_{1},P_{2})\leq d(P^{\prime},Q^{\prime})$.

En la formula general, $X_{1}=P+\left\{0_{v}\right\}$ y $X_{2}=\pi$. Tenemos que escribir $X_{2}$ como un punto del hiperplano sumado al subespacio del mismo. Podemos suponer, sin perdida de generalidad, que $a_{n}\neq 0$, con lo que $x_{n}=(-a_{0}-a_{1}x_{1}-\cdots-a_{n-1}x_{n-1})\frac{1}{a_{n}}$ $\forall x_{1},\forall x_{2},\ldots,\forall x_{n-1}$.

Por tanto, las ecuaciones parametricas de $\pi$ son

es decir,

Por lo tanto, para $\pi$ vamos a tomar como punto $(0,\ldots,\ldots,-\frac{a_{0}}{a_{n}})$ y, como subespacio director, el generado por las columnas de las ecuaciones parametricas.

Por otro lado, $\underbrace{S_{1}}_{\left\{0_{V}\right\}}+\underbrace{S_{2}}_{S_{\pi}}=S_{\pi}$. Vamos a ver que $S^{\perp}_{\pi}=\langle w\rangle$ donde $(w)_{\text{Base}}=(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})$.

En primer lugar, veamos si $w\in S^{\perp}_{\pi}$ (sabemos que $\dim S^{\perp}_{\pi}=1$).

para ello, tenemos que comprobar que $\langle w,\begin{subarray}{c}\text{coord cada vector}\\ \text{de la base de }S_{\pi}\end{subarray}\rangle=0$.

Luego, efectivamente, se tiene que $S^{\perp}_{\pi}=\langle w\rangle$, siendo $w$ el vector normal del plano dado por $(w)_{\text{Base}}=(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})$.

Por una parte, sabemos que $d(P,\pi)$ es la norma de un vector que este en $S^{\perp}_{\pi}$, $\mu w$ para algun $\mu\in\mathbb{R}$:

Por otra parte, si $P=(p_{1},\ldots,p_{n})$ y $Q=(0,\ldots,0,-\frac{a_{0}}{a_{n}})\in X$,

Luego

Sustituimos $\mu$ en $d(P,\pi)=\left|\mu\right|\cdot\sqrt{a^{2}_{1}+\cdots+a^{2}_{n}}=\left|\frac{-a_{0}-a_{1}p_{1}-\cdots-a_{n}p_{n}}{a^{2}_{1}+\cdots+a^{2}_{n}}\right|\cdot\sqrt{a^{2}_{1}+\cdots+a^{2}_{n}}=\frac{\left|a_{0}+a_{1}p_{1}+\cdots+a_{n}p_{n}\right|}{\sqrt{a^{2}_{1}+\cdots+a^{2}_{n}}}$.