9 Isometrías

Sea $V$ un espacio vectorial con producto escalar $\langle,\rangle$ real.

Definición IV.1.

Decimos que un endomorfismo $f\colon V\to V$ es una isometria si, $\forall v\in V$ , se tiene que

\left\lVert f(v)\right\rVert=\left\lVert v\right\rVert\;

Lema IV.1.

Sea $f\colon V\to V$ endomorfismo. Se cumple que

\left\lVert f(v)\right\rVert=\left\lVert v\right\rVert\forall\;v\in V\iff% \langle f(v),f(w)\rangle=\langle v,w\rangle\;\forall v,w\in V

Demostración.

$\Leftarrow)$: $\left\lVert f(v)\right\rVert^{2}=\langle f(v),f(v)\rangle=\langle v,v\rangle=% \left\lVert v\right\rVert^{2}\;\forall v\in V$ .
$\Rightarrow)$: Como $q(v)=\langle v,v\rangle=\left\lVert v\right\rVert^{2}$ y $F(v,w)=\langle v,w\rangle=\frac{1}{2}(q(v+w)-q(v)-q(w))$ ,

$\langle v,w\rangle=\frac{1}{2}(\left\lVert v+w\right\rVert^{2}-\left\lVert v% \right\rVert^{2}-\left\lVert w\right\rVert^{2})$

Por otro lado,

$\langle f(v),f(w)\rangle=\frac{1}{2}(\left\lVert f(v+w)\right\rVert^{2}-\left% \lVert f(v)\right\rVert^{2}-\left\lVert f(w)\right\rVert^{2})\overset{\left% \lVert f(v)\right\rVert=\left\lVert v\right\rVert}{=}\frac{1}{2}(\left\lVert v% +w\right\rVert^{2}-\left\lVert v\right\rVert^{2}-\left\lVert w\right\rVert^{2})$

Por tanto, $\langle f(v),f(w)\rangle=\langle v,w\rangle$ .

∎

Proposición IV.1.

Sea $f\colon V\to V$ un endomorfismo y $B$ una base ortonormal respecto de $\langle,\rangle$ . Entonces

f\text{ es isometria}\iff M(f,B)=P\text{ con }P^{-1}=P^{t}

Demostración.

Sea $B=\left\{v_{1},\ldots,v_{n}\right\}$ y $v,w\in V$ de forma que $(v)_{B}=(x_{1},\ldots,x_{n})$ , $(w)_{B}=(y_{1},\ldots,y_{n})$ . Sea $P=M(f,B)$ .

{}f\text{ es isometria}\iff\langle v,w\rangle=\langle f(v),f(w)\rangle\;% \forall v,w\in V\iff\\ {}\iff\begin{pmatrix}x_{1}&\cdots&x_{n}\\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}y_{1}\\ \vdots\\ y_{n}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{1}&\cdots&x_{n}\\ \end{pmatrix}P^{t}P\begin{pmatrix}y_{1}\\ \vdots\\ y_{n}\\ \end{pmatrix}\iff P^{t}P=I\iff P^{-1}=P^{t}

∎

Observación IV.1.

Si $P$ cumple $P^{-1}=P^{t}$ ,

P^{t}P=I\Rightarrow\mathrm{det}(P)^{2}=\mathrm{det}(P^{t})\cdot\mathrm{det}(P)% =\mathrm{det}(P^{t}\cdot P)=\mathrm{det}(I)=1

Por lo tanto, $\mathrm{det}(f)=\pm 1$ y $f$ se clasifica en:

directa, si $\mathrm{det}f=1$ .
inversa, si $\mathrm{det}f=-1$ .

Ademas, si $A=Q^{-1}PQ$ , entonces $\mathrm{det}(A)=\mathrm{det}(Q)^{-1}\cdot\det(P)\cdot\det(Q)=\det(P)$ .

Teorema IV.1 (Clasificacion de isometrias en dimension 2).

Sea $V$ un espacio vectorial de dimension 2 sobre $\mathbb{R}$ con producto escalar $\langle,\rangle$ y sea $f\colon V\to V$ una isometría.

Entonces podemos encontrar una base ortonormal $BON$ tal que $M(f,BON)$ es de la siguiente forma:

Si es directa,

$M(f,BON)=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha\\ \end{pmatrix}\;\;\alpha\in[0,2\pi)$
Si es inversa,

$M(f,BON)=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&-1\\ \end{pmatrix}$

Demostración.

Sea $f\colon V\to V$ una isometria y sea $BON$ una base ortonormal cualquiera. Llamamos $P=M(f,BON)=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\\ \end{pmatrix}$ .

Imponemos $P^{t}\cdot P=I$ . Entonces

\begin{pmatrix}a&c\\ b&d\\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\\ \end{pmatrix}\Rightarrow\begin{cases}a^{2}+c^{2}=1\\ ab+cd=0\\ b^{2}+d^{2}=1\end{cases}

En la primera ecuacion, como $a^{2}+c^{2}=1$ , $\exists\alpha\in[0,2\pi)$ tal que $a=\cos\alpha$ y $c=\sin\alpha$ .

De la segunda ecuacion se obtiene que $0=ab+cd=\begin{vmatrix}a&-d\\ c&b\\ \end{vmatrix}\Rightarrow\exists\lambda\in\mathbb{R}$ tal que $\begin{pmatrix}-d\\ b\\ \end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}a\\ c\\ \end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}\cos\alpha\\ \sin\alpha\\ \end{pmatrix}\Rightarrow d=-\lambda\cos\alpha$ y $b=\lambda\sin\alpha$ .

Sustituyendo $b$ y $d$ en la tercera ecuacion,

(\lambda\sin\alpha)^{2}-(\lambda\cos\alpha)^{2}=1\Rightarrow\lambda^{2}(\sin^{% 2}\alpha+\cos^{2}\alpha)=1\Rightarrow\lambda=\pm 1\mathchar 46\relax

Consideramos los dos casos segun el valor de $\lambda$ :

Caso $\lambda=-1$: Si $\lambda=-1$ , entonces $\mathrm{det}(P)=1$ y la matriz $P$ es

$P=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha\\ \end{pmatrix}\;\;\alpha\in[0,2\pi)$

Esto se cumple con cualquier base ortonormal.
Caso $\lambda=1$: Si $\lambda=1$ , entonces $\mathrm{det}(P)=-1$ y $P=\begin{pmatrix}\cos\alpha&\sin\alpha\\ \sin\alpha&-\cos\alpha\\ \end{pmatrix}$ simetrica.

Diagonalizamos $P$ por congruencia ortogonal

$p_{f}(x)=\begin{vmatrix}x-\cos\alpha&-\sin\alpha\\ -\sin\alpha&x+\cos\alpha\\ \end{vmatrix}=x^{2}-\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=x^{2}-1=(x+1)(x-1)$

Entonces se obtiene

$\begin{cases}S_{1}=\langle v_{1}\rangle\;\;\frac{v_{1}}{\left\lVert v_{1}% \right\rVert}=w_{1}\\ S_{-1}=\langle v_{2}\rangle\;\;\frac{v_{2}}{\left\lVert v_{2}\right\rVert}=w_{% 2}\end{cases}$

La $BON$ buscada es $\left\{w_{1},w_{2}\right\}$ y se cumple $M(f,\left\{w_{1},w_{2}\right\})=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&-1\\ \end{pmatrix}$ .

∎

Observación IV.2.

Si $f$ es directa, salvo $f=id$ , la matriz de $f$ no es simetrica.

Si $f$ es inversa, su matriz $P$ (en cualquier base ortonormal) siempre es simetrica.

Observación IV.3.

Si la isometría es directa, la llamamos giro de ángulo $\alpha$ . Cada angulo lo gira $\alpha$ radianes hacia la izquierda.

Si la isometría es inversa, es una simetria del eje horizontal.

Teorema IV.2 (Clasificación de isometrías en dimensión 3).

Sea $V$ un espacio vectorial real con producto escalar $\langle,\rangle$ y $\dim V=3$ . Sea $f\colon V\to V$ isometría. Entonces existe $BON=\left\{w_{1},w_{2},w_{3}\right\}$ tal que $M(f,BON)$ es de la siguiente forma:

Si $f$ es directa,

$\left(\begin{array}[]{c|cc}1&0&0\\ \hline\cr 0&\cos\alpha&-\sin\alpha\\ 0&\sin\alpha&\cos\alpha\end{array}\right)$
Si $f$ es inversa,

$\left(\begin{array}[]{c|cc}-1&0&0\\ \hline\cr 0&\cos\alpha&-\sin\alpha\\ 0&\sin\alpha&\cos\alpha\end{array}\right)$

para $\alpha\in[0,2\pi)$ .

Observación IV.4.

a)

$\displaystyle p_{f}(x)$

$\displaystyle{}=\begin{vmatrix}x-1&0&0\\ 0&x-\cos\alpha&\sin\alpha\\ 0&-\sin\alpha&x-\cos\alpha\\ \end{vmatrix}=(x-1)(x^{2}+\cos^{2}\alpha-2\cos\alpha x+\sin^{2}\alpha)=$

$\displaystyle{}=(x-1)(x^{2}-2\cos\alpha x+1)$
b)

$p_{f}(x)=(x+1)(x^{2}-2\cos\alpha x+1)$ .

Por lo tanto, si el polinomio es $x^{2}+ax+1\Rightarrow\cos\alpha=-\frac{a}{2}$ .

Demostración.

Hallamos $p_{f}(x)\in\mathbb{R}[x]$ , de grado 3. Sea $\lambda$ autovalor real de $f$ (existe porque $p_{f}(x)$ tiene grado 3).

Sea $0\neq v\in V$ tal que $f(v)=\lambda v$ . Entonces

\left\lVert v\right\rVert\overset{f\text{ isom}}{=}\left\lVert f(v)\right% \rVert=\left\lVert\lambda v\right\rVert=\left|\lambda\right|\cdot\left\lVert v\right\rVert

Es decir, $\left|\lambda\right|=1\iff\lambda=\pm 1$ .

Como $v$ es un vector no isotropo, $V=\langle v\rangle\oplus\langle v\rangle^{\perp}$ . Veamos si podemos aplicar el teorema anterior a $\langle v\rangle^{\perp}$ . Para ello, comprobamos que $f$ restringida a $\langle v\rangle^{\perp}$ esta bien definida y es una isometria.

Veamos que $f(\langle v\rangle^{\perp})\subseteq\langle v\rangle^{\perp}$ . Sea $w\in\langle v\rangle^{\perp}$ ,

\langle f(w),v\rangle=\frac{\lambda}{\lambda}\langle f(w),v\rangle=\frac{1}{% \lambda}\langle f(w),\lambda v\rangle=\frac{1}{\lambda}\langle f(w),f(v)% \rangle=\frac{1}{\lambda}\langle w,v\rangle\overset{w\in\langle v\rangle^{% \perp}}{=}0

Por tanto esta bien definida y es isometría porque lo hereda de $f$ . Llamamos a esta aplicacion $g$ .

Aplicando el teorema de dimension 2 a $g$ , existe base ortonormal de $\langle v\rangle^{\perp}\;\left\{w_{2},w_{3}\right\}$ tal que la matriz de $g$ en esa base es $\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha\\ \end{pmatrix}$ o $\begin{pmatrix}1&0\\ 0&-1\\ \end{pmatrix}$ .

En $V$ consideramos la base ortonormal $BON=\left\{\frac{v}{\left\lVert v\right\rVert},w_{2},w_{3}\right\}$ . Entonces

M(f,BON)=\left(\begin{array}[]{c|cc}\lambda&0&0\\ \hline\cr 0&\cos\alpha&-\sin\alpha\\ 0&\sin\alpha&\cos\alpha\end{array}\right)\text{ o }M(f,BON)=\left(\begin{array% }[]{c|cc}\lambda&0&0\\ \hline\cr 0&1&0\\ 0&0&-1\end{array}\right)

En el primer caso, se cumple el teorema tanto si $\lambda=1$ como si $\lambda=-1$ . Veamos el segundo. Si $\lambda=1$ ,

M(f,BON)=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&-1\\ \end{pmatrix}

reordenando la base ortonormal llegamos a $\begin{pmatrix}-1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0&0\\ 0&\cos 0&-\sin 0\\ 0&\sin 0&\cos 0\\ \end{pmatrix}$ .

Si $\lambda=-1$ , reordenando la base $\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&-1\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&\cos\pi&-\sin\pi\\ 0&\sin\pi&\cos\pi\\ \end{pmatrix}$ ∎

Definición IV.2.

Decimos que un espacio afin $(A,V,+)$ es un espacio afin euclideo si $V$ es un espacio vectorial real con producto escalar (espacio euclideo).

Dados dos puntos $P,Q\in A$ , podemos definir la distancia entre ellos

d(P,Q)=\left\lVert\vec{PQ}\right\rVert

Observación IV.5.

Sabemos que

1.

$d(P,Q)\geq 0$ y ademas $d(P,Q)=0\iff\left\lVert\vec{PQ}\right\rVert=0\iff\vec{PQ}=0_{v}\iff P=Q$ .
2.

$d(P,Q)=\left\lVert\vec{PQ}\right\rVert\overset{\vec{QP}=\vec{PQ}}{=}\left% \lVert\vec{QP}\right\rVert=d(Q,P)$
3.

Por la desigualdad triangular en $V$ , $d(P,R)=\left\lVert\vec{PR}\right\rVert=\left\lVert\vec{PQ}+\vec{QR}\right% \rVert\leq\left\lVert\vec{PQ}\right\rVert+\left\lVert\vec{QR}\right\rVert=d(P,% Q)+d(Q,R)$ .

Definición IV.3 (Distancia entre variedades afines (provisional)).

Si $X_{1}$ y $X_{2}$ son dos variedades afines, podemos considerar

\mathop{\operator@font\acute{{\imath}}nf}\left\{d(P_{1},P_{2})\mid P_{1}\in X_% {1},P_{2}\in X_{2}\right\}

y definir la distancia entre $X_{1}$ y $X_{2}$ como esta cantidad.

Proposición IV.2.

Sea $X_{1}=P+S_{1}$ ( $S_{1}$ subespacio director de $X_{1}$ ) y $X_{2}=Q+S_{2}$ ( $S_{2}$ subespacio director de $X_{2}$ ) y sea $v=p_{S_{1}+S_{2}}(\vec{PQ})\in S_{1}+S_{2}$ . Por otro lado, sean $v_{1}\in S_{1},v_{2}\in S_{2}$ tal que $v=v_{1}+v_{2}$ .

Consideramos $P_{1}=P+v_{1}\in X_{1}$ y $P_{2}=Q-v_{2}\in X_{2}$ . Entonces $d(P_{1},P_{2})\leq d(P^{\prime},Q^{\prime})\;\forall P^{\prime}\in X_{1},% \forall Q^{\prime}\in X_{2}$ .

Mas aun, $d(P_{1},P_{2})=\left\lVert\vec{P_{1}P_{2}}\right\rVert-\left\lVert\vec{(P+v_{1% })(Q-v_{2})}\right\rVert=\left\lVert\vec{PQ}-v_{1}-v_{2}\right\rVert=\left% \lVert\vec{PQ}-v\right\rVert=\left\lVert\vec{PQ}-p_{S_{1}+S_{2}}(\vec{PQ})\right\rVert$ .

Demostración.

Sean $P^{\prime}\in X_{1}$ y $Q^{\prime}\in X_{2}$ dos puntos cualquiera. Se tiene que

{}d(P^{\prime},Q^{\prime})^{2}=\left\lVert\vec{P^{\prime}Q^{\prime}}\right% \rVert^{2}=\left\lVert\vec{P^{\prime}P}+\vec{PQ}+\vec{QQ^{\prime}}-v+v\right% \rVert^{2}=\\ {}=\lVert\underbrace{\underbrace{\vec{P^{\prime}P}}_{\in S_{1}}+\underbrace{% \vec{QQ^{\prime}}}_{\in S_{2}}+\underbrace{v}_{S_{1}+S_{2}}}_{\in S_{1}+S_{2}}% +\underbrace{\vec{PQ}-v}_{\in(S_{1}+S_{2})^{\perp}}\rVert\overset{\text{% Pitagoras}}{=}\left\lVert\vec{P^{\prime}P}+\vec{QQ^{\prime}}+v\right\rVert^{2}% +\left\lVert\vec{PQ}-v\right\rVert^{2}\geq\\ {}\geq\left\lVert\vec{PQ}-v\right\rVert^{2}=d(P_{1},P_{2})

Por lo tanto, hemos visto que $d(P_{1},P_{2})\leq d(P^{\prime},Q^{\prime})$ . ∎

Definición IV.4 (Distancia entre variedades afines).

d(X_{1},X_{2})=\mathop{\operator@font m\acute{{\imath}}n}\left\{d(P^{\prime},Q% ^{\prime})\mid\begin{subarray}{c}P^{\prime}\in X_{1}\\ Q^{\prime}\in X_{2}\end{subarray}\right\}=\left\lVert\vec{PQ}-p_{S_{1}+S_{2}}(% \vec{PQ})\right\rVert

siendo $P$ un punto de $X_{1}$ y $Q$ un punto de $X_{2}$ .

Proposición IV.3 (Distancia de un punto a un hiperplano).

Sea $A$ un espacio afin euclideo, $R$ un sistema de referencia cartesiano (con base ortonormal respecto del producto escalar). Sea $P$ un punto de $A$ y $\pi$ un hiperplano cuya ecuacion implicita respecto de $R$ sea $\pi\equiv a_{0}+a_{1}x_{1}+\cdots+a_{n}x_{n}=0$ . Entonces, si $(P)_{R}=(p_{1},\ldots,p_{n})$ ,

d(P,\pi)=\frac{\left|a_{0}+a_{1}p_{1}+\cdots+a_{n}p_{n}\right|}{\sqrt{a^{2}_{1% }+\cdots+a^{2}_{n}}}\mathchar 46\relax

Demostración.

En la formula general, $X_{1}=P+\left\{0_{v}\right\}$ y $X_{2}=\pi$ . Tenemos que escribir $X_{2}$ como un punto del hiperplano sumado al subespacio del mismo. Podemos suponer, sin perdida de generalidad, que $a_{n}\neq 0$ , con lo que $x_{n}=(-a_{0}-a_{1}x_{1}-\cdots-a_{n-1}x_{n-1})\frac{1}{a_{n}}$ $\forall x_{1},\forall x_{2},\ldots,\forall x_{n-1}$ .

Por tanto, las ecuaciones parametricas de $\pi$ son

\begin{cases}x_{1}=x_{1}\\ x_{2}=x_{2}\\ \vdots\\ x_{n-1}=x_{n-1}\\ x_{n}=-\frac{a_{0}}{a_{n}}-\frac{a_{1}}{a_{n}}x_{1}-\cdots-\frac{a_{n-1}}{a_{n% }}x_{n-1}\end{cases}

es decir,

\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\\ \end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0\\ -\frac{a_{0}}{a_{n}}\\ \end{pmatrix}}_{\begin{subarray}{c}\text{coord de un punto de }\pi\\ \text{respecto de }R\end{subarray}}+\underbrace{\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0\\ 0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&1\\ -\frac{a_{1}}{a_{n}}&-\frac{a_{2}}{a_{n}}&\cdots&-\frac{a_{n-1}}{a_{n}}\\ \end{pmatrix}}_{\begin{subarray}{c}n-1\text{ columnas}\\ \text{coord vectores de los vectores de una base}\\ \text{del subespacio director de }\pi\text{ respecto de }R\end{subarray}}\cdot% \begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n-1}\\ \end{pmatrix}

Por lo tanto, para $\pi$ vamos a tomar como punto $(0,\ldots,\ldots,-\frac{a_{0}}{a_{n}})$ y, como subespacio director, el generado por las columnas de las ecuaciones parametricas.

Por otro lado, $\underbrace{S_{1}}_{\left\{0_{V}\right\}}+\underbrace{S_{2}}_{S_{\pi}}=S_{\pi}$ . Vamos a ver que $S^{\perp}_{\pi}=\langle w\rangle$ donde $(w)_{\text{Base}}=(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})$ .

En primer lugar, veamos si $w\in S^{\perp}_{\pi}$ (sabemos que $\dim S^{\perp}_{\pi}=1$ ).

\langle w,S_{\pi}\rangle\overset{?}{=}0

para ello, tenemos que comprobar que $\langle w,\begin{subarray}{c}\text{coord cada vector}\\ \text{de la base de }S_{\pi}\end{subarray}\rangle=0$ .

\begin{array}[]{c}\langle w,\text{1er vector}\rangle=\begin{pmatrix}a_{1}&% \cdots&a_{n}\\ \end{pmatrix}\cdot I\cdot\begin{pmatrix}1\\ 0\\ \vdots\\ 0\\ -\frac{a_{1}}{a_{n}}\\ \end{pmatrix}=a_{1}-a_{n}\frac{a_{1}}{a_{n}}=0\\ \langle w,\text{2do vector}\rangle=\begin{pmatrix}a_{1}&\cdots&a_{n}\\ \end{pmatrix}\cdot I\cdot\begin{pmatrix}0\\ 1\\ \vdots\\ 0\\ -\frac{a_{2}}{a_{n}}\\ \end{pmatrix}=a_{2}-a_{n}\frac{a_{2}}{a_{n}}=0\\ \cdots\end{array}

Luego, efectivamente, se tiene que $S^{\perp}_{\pi}=\langle w\rangle$ , siendo $w$ el vector normal del plano dado por $(w)_{\text{Base}}=(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})$ .

Por una parte, sabemos que $d(P,\pi)$ es la norma de un vector que este en $S^{\perp}_{\pi}$ , $\mu w$ para algun $\mu\in\mathbb{R}$ :

d(P,\pi)=\left\lVert\mu w\right\rVert=\left|\mu\right|\cdot\left\lVert w\right% \rVert=\left|\mu\right|\cdot\sqrt{\langle w,w\rangle}=\left|\mu\right|\sqrt{% \begin{pmatrix}a_{1}&\cdots&a_{n}\\ \end{pmatrix}\cdot I\cdot\begin{pmatrix}a_{1}\\ \vdots\\ a_{n}\\ \end{pmatrix}}=\left|\mu\right|\cdot\sqrt{a^{2}_{1}+\cdots+a^{2}_{n}}

Por otra parte, si $P=(p_{1},\ldots,p_{n})$ y $Q=(0,\ldots,0,-\frac{a_{0}}{a_{n}})\in X$ ,

{}d(P,\pi)^{2}=\left\lVert\vec{PQ}-p_{S_{\pi}}(\vec{PQ})\right\rVert^{2}=% \langle\vec{PQ}-p_{S_{\pi}}(\vec{PQ}),\vec{PQ}-p_{S_{\pi}}(\vec{PQ})\rangle=\\ {}=\langle\vec{PQ},\vec{PQ}-p_{S_{\pi}}(\vec{PQ})\rangle-\langle\underbrace{p_% {S_{\pi}}(\vec{PQ})}_{\in S_{\pi}},\underbrace{\vec{PQ}-p_{S_{\pi}}(\vec{PQ})}% _{\in S^{\perp}_{\pi}}\rangle=\langle\vec{PQ},\underbrace{\vec{PQ}-p_{S_{\pi}}% (\vec{PQ})}_{\mu w}\rangle=\\ {}=\begin{pmatrix}-p_{1}&\cdots&-p_{n-1}&-\frac{-a_{0}}{a_{n}}-p_{n}\\ \end{pmatrix}\cdot I\cdot\mu\cdot\begin{pmatrix}a_{1}\\ \vdots\\ a_{n}\\ \end{pmatrix}=\mu(-a_{1}p_{1}-a_{2}p_{2}-\ldots-a_{n-1}p_{n-1}-a_{n}p_{n}-a_{0})

Luego

\mu^{2}(a^{2}_{1}+\cdots+a^{2}_{n})=\mu(-a_{0}-a_{1}p_{1}-\cdots-a_{n}p_{n})% \Rightarrow\mu=\frac{-a_{0}-a_{1}p_{1}-\cdots-a_{n}p_{n}}{a^{2}_{1}+\cdots+a^{% 2}_{n}}

Sustituimos $\mu$ en $d(P,\pi)=\left|\mu\right|\cdot\sqrt{a^{2}_{1}+\cdots+a^{2}_{n}}=\left|\frac{-a% _{0}-a_{1}p_{1}-\cdots-a_{n}p_{n}}{a^{2}_{1}+\cdots+a^{2}_{n}}\right|\cdot% \sqrt{a^{2}_{1}+\cdots+a^{2}_{n}}=\frac{\left|a_{0}+a_{1}p_{1}+\cdots+a_{n}p_{% n}\right|}{\sqrt{a^{2}_{1}+\cdots+a^{2}_{n}}}$ . ∎