2 Aplicaciones lineales

Definition 2.1 (Aplicacion lineal).

Dados $V,W$ espacios vectoriales se define una aplicacion lineal o homomorfismo $f\colon V\to W$ que cumple, dados $\alpha\in K,$ $v\in V,w\in W$ :

•

$f(v+w)=f(v)+f(w)$
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$f(\alpha v)=\alpha f(v)$

Definition 2.2 (Nucleo e imagen).

Kerf=\left\{v\in V\mid f(v)=0\right\}

Imf=\left\{w\in W\mid\exists v\in V\text{ con }f(v)=w\right\}=f(V)\leq W

Proposition 2.3.

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Si $Kerf=0$ , la aplicacion lineal es inyectiva (monomorfismo).
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Si $Imf=W$ , la aplicacion lineal es suprayectiva (epimorfismo).
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Si se cumplen ambas condiciones, la aplicacion es biyectiva (isomorfismo).

Si $f\colon V\to V$ (mismo espacio en dominio y codominio), $f$ es un endomorfismo. Si es biyectiva, es automorfismo.

Definition 2.4.

Sea $f\colon V\to W$ , $B_{V}=\left\{v_{1},\ldots,v_{n}\right\}$ y $B_{W}=\left\{w_{1},\ldots,w_{m}\right\}$ . La matriz formada por las imágenes de los vectores de la base de $V$ (con coordenadas respecto de $B_{W}$ ) se llama matriz asociada a la aplicación lineal. Notacion: $M(f,B_{V},B_{W})$ .

Dado un vector $v=x_{1}v_{1}+\ldots+x_{n}v_{n}$ ,

A\cdot\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y_{1}\\ \vdots\\ y_{m}\\ \end{pmatrix}

con $y_{1}w_{1}+\cdots y_{m}w_{m}=f(v)$ .

Si tomamos la aplicación lineal $id:V\to V$ con las bases $B_{V}=\left\{v_{1},\ldots,v_{n}\right\}$ y $\hat{B_{V}}=\left\{\hat{v_{1}},\ldots,\hat{v_{n}}\right\}$ , la matriz $P=M(id,B_{V},\hat{B_{V}})$ se llama matriz de cambio de base de $B_{V}$ a $\hat{B_{V}}$ , y dadas las coordenadas de un vector respecto de la primera base devolverá las coordenadas del mismo vector en la segunda base: $P\cdot(v)_{B_{V}}=(v)_{\hat{B_{V}}}$ .

Un caso en el que la matriz de cambio de base es fácil de calcular es cuando la segunda base es la base canónica, pues esta tendrá las coordenadas de los vectores de la primera base colocados por columnas. Si queremos pasar de una base cualquiera a la base canónica, podemos calcular la contraria y indicar el resultado como la inversa: $M(id,BC,B_{V})=P^{-1}$ (no es necesario calcularlo).

Esquema:

Definition 2.5 (Matrices semejantes).

Dos matrices $A$ y $B$ son semejantes si existe una matriz $P$ de forma que $A=P^{-1}BP$ .

Si trabajamos con un endomorfismo y hacemos un esquema como el anterior, vemos que $A$ y $B$ cumplen esta propiedad puesto que $P=Q$ .