1 Espacios vectoriales

Definición .1.

Se define un espacio vectorial $V$ sobre un cuerpo $\mathbb{K}$ (con característica distinta de 2 para nuestra asignatura) como un conjunto de elementos llamados vectores que se suman entre sí y se pueden multiplicar por elementos de $\mathbb{K}$ . (Axiomas en los apuntes de Álgebra Lineal)

Definición .2 (Combinaciones lineales).

Dado $\alpha_{1},\ldots,\alpha_{r}\in\mathbb{K}$ y $v_{1},\ldots,v_{r}\in V$ , decimos que

\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{r}v_{r}

es una combinación lineal de los vectores $v_{1},\ldots,v_{r}$ .

Definición .3 (Linealmente independientes).

Se dice que $v_{1},\ldots,v_{r}$ son linealmente independientes si se cumple que si $\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{r}v_{r}=0$ , entonces $\alpha_{1}=\cdots=\alpha_{r}=0$ . En caso contrario, son linealmente dependientes y uno de ellos se puede expresar como combinacion lineal de los demas.

Definición .4.

Sea $S$ un subconjunto no vacio de $V$ e.v. $S$ es un subespacio vectorial si

$0_{v}\in S$
$v,w\in S\Rightarrow v+w\in S$
$v\in S,\alpha\in\mathbb{K}\Rightarrow\alpha v\in S$

Definición .5 (Sistema generador).

Se define un sistema generador de un conjunto de vectores $v_{1},\ldots,v_{r}$ como todas las combinaciones lineales de estos vectores. Un sistema generador es un subespacio vectorial. Se denota como

\langle v_{1},v_{2},\ldots,v_{r}\rangle\leftarrow\text{ subespacio generado % por ...}

Definición .6 (Base).

Una base $\mathcal{{B}}$ de un espacio vectorial $V$ es un conjunto de vectores (ordenados) que cumple:

vectores linealmente independientes
sistema generador de $V$

Definición .7.

Se define la dimensión de un espacio vectorial como el tamaño de la base.

Observación .1.

Los sistemas generadores tienen como mínimo $dimV=n$ vectores y los sistemas libres como máximo $dimV=n$ .

Ejemplo .1.

Bases canonicas:

$BC_{K^{n}}=\left\{(1,0,\ldots,0),\ldots,(0,\ldots,0,1)\right\}$ .
$BC_{K_{n}[x]}=\left\{1,x,x^{2},\ldots,x^{n}\right\}$ .
$BC_{\mathcal{{M}}_{m\times n}(\mathbb{K})}=\left\{E_{ij}\mid\begin{subarray}{c% }i=1,\ldots,m\\ j=1,\ldots,n\end{subarray}\right\}$ .
$\dim K[x]=\aleph_{0}$ .

Definición .8.

Dado un subespacio $S\leq V$ , se define una relacion de equivalencia como

v\sim w\iff v-w\in S

(no demostrado).

Las clases de equivalencia son de la forma

[v]=\left\{w\in V\mid v\sim w\right\}=v+S

Proposición .1.

Se puede definir la suma y el producto:

$(v+S)+(v_{2}+S)=v_{1}+v_{2}+S$
$\alpha(v+S)=\alpha v+S$

Estas operaciones estan bien definidas.

Definición .9.

El conjunto de las clases de equivalencia con estas operaciones se define como espacio cociente y escribe $V/S$ .

Teorema .1.

$\dim(V/S)=\dim V-\dim S$

Demostración.

Supongamos que $dimV=n$ y $dimS=s$ .

Sea $B=\left\{v_{1},\ldots,v_{s}\right\}$ una base de $S$ .

Ampliamos a una base de $V:\left\{v_{1},\ldots,v_{s},v_{s+1},\ldots,v_{n}\right\}$ .

Se prueba que $\left\{v_{s+1}+S,v_{s+1}+S,\ldots v_{n}+S\right\}$ es una base de $V/S$ . ∎

Definición .10 (Suma directa).

La suma directa de los subespacios $S_{1},\ldots,S_{n}$ , escrita como $S_{1}\oplus\cdots\oplus S_{n}$ se cumple si se cumple alguna de estas condiciones (equivalentes):

1.

Si $\underbrace{v_{1}}_{\in S_{1}}+\cdots+\underbrace{v_{n}}_{\in S_{n}}=0$ entonces $v_{1}=\cdots=v_{n}=0$ .
2.

Si $v_{1}+\cdots+v_{n}=w_{1}+\cdots+w_{n}\Rightarrow v_{1}=w_{1},\ldots,v_{n}=w_{n}$ .
3.

$S_{i}\cap\sum_{j\neq i}S_{j}=0$ para todo $i=1,\ldots,n$ .

Ventaja: para la base del total se unen las bases de los subespacios.