2 Repaso de conceptos de probabilidad: Vectores aleatorios. Distribucion de vectores aleatorios.

A continuacion, realizaremos un repaso de conceptos de probabilidad que necesitaremos.

En muchas ocasiones interesa conocer no solo la distribucion de una variable, sino tambien de varias, estudiadas de forma conjunta.

Ejemplo III.1.

Supongamos que nos interesa estudiar las caídas de un sistema, las cuales pueden ser de tres tipos $(0,1,2)$ , bajo dos modos de operación $(0,1)$ . Se dispone de las probabilidades de cada tipo de caída del sistema ( $X$ ), bajo cada modo de operación indicado ( $Y$ ), según se expresa en la siguiente tabla:

\begin{array}[]{c|c|ccc|c}\lx@intercol\hfil X\hfil\lx@intercol\\ \hline\cr&&0&1&2&\\ \hline\cr Y&0&0{,}1&0{,}4&0{,}1&0{,}6\\ &1&0{,}2&0{,}2&0&0{,}4\\ \hline\cr&&0{,}3&0{,}6&0{,}1&1\end{array}

Así se tiene que, por ejemplo, $P(X=1,Y=0)=0,4$ .

Definición III.2.

Se define la funcion de distribucion conjunta de las variables aleatorias $X$ e $Y$ como

F(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y)

A partir de esta funcion podemos calcular probabilidades relacionadas con $X$ e $Y$ .

Una tabla de la forma

\begin{array}[]{c|c|c|c|c|}\lx@intercol\hfil\hfil\lx@intercol&\lx@intercol% \hfil Y\hfil\lx@intercol\\ \cline{2-5}\cr&y_{1}&y_{2}&\cdot&y_{l}\\ \hline\cr x_{1}&f(x_{1},y_{1})&f(x_{1},y_{2})&\cdot&f(x_{1},y_{l})\\ \hline\cr x_{2}&f(x_{2},y_{1})&f(x_{2},y_{2})&\cdot&f(x_{2},y_{l})\\ \hline\cr\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\\ \hline\cr x_{k}&f(x_{k},y_{1})&f(x_{k},y_{2})&\cdot&f(x_{k},y_{l})\\ \hline\cr\end{array}

define la distribución conjunta de $(X,Y)$ mediante su función de masa de probabilidad.

f(x,y)=P(X=x,Y=y),

la cual debe satisfacer que

\sum_{x}\sum_{y}f(X=x,Y=y)=1

A partir de la funcion de masa de probabilidad, podemos definir varias distribuciones de interes.

Definición III.3.

Se defina la distribucion marginal de $X$ como

f_{X}(x)=P(X=x)=\sum_{y}P(X=x,Y=y)=\sum_{y}f(x,Y=y)

(analogo para la marginal de $Y$ ).

Definición III.4.

Se denomina distribucion de $Y$ condicionada a $X=x$ mediante

\displaystyle f_{Y}(y\mid X=x)

\displaystyle{}=P(Y=y\mid X=x)=\frac{P(X=x,Y=y)}{P(X=x)}

\displaystyle{}=\frac{f(x,y)}{f_{X}(x)}

(analogo para la distribucion de $X$ condicionada a $Y=y$ ).

Definición III.5.

Se dice que $X$ e $Y$ son independientes si

P(X=x,Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)

para $x$ e $y$ cualesquiera, o equivalentemente,

f(x,y)=f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y)

Esto se puede extender al caso con $k$ variables. La distribucion conjunta en este caso sera

f(x_{1},\ldots,x_{k})=P(X_{1}=x_{1},\ldots,X_{k}=x_{k})

y la distribucion marginal de $X_{1}$ , por ejemplo, seria

f_{1}(x_{1})=\sum_{x_{2},\ldots,x_{k}}f(x_{1},X_{2}=x_{2},\ldots,X_{k}=x_{k})

Hasta ahora, hemos considerado distribuciones multivariantes discretas. Sin embargo, podemos extenderlo facilmente al caso continuo.

Para un vector aleatorio de v. a. continuas $X_{1},\ldots,X_{k}$ tendremos una funcion de densidad multivariante que satisface

$f(x_{1},\ldots,x_{k})\geq 0$
$\int\int\cdots\int_{\mathbb{R}^{k}}f(x_{1},\ldots,x_{k})dx_{1}\cdots dx_{k}=1$

A partir de esta funcion de densidad, las probabilidades se calculan mediante integracion multiple: mediante integración múltiple:

P(a_{1}\leq X_{1}\leq b_{1},\dots,a_{k}\leq X_{k}\leq b_{k})=\int_{a_{k}}^{b_{% k}}\dots\int_{a_{1}}^{b_{1}}f(x_{1},\dots,x_{k})\,dx_{1}\dots dx_{k}

Definición III.6.

La funcion de distribucion multivariante en el caso continuo viene dada por

\displaystyle F(x_{1},\dots,x_{k})

\displaystyle{}=P(X_{1}\leq x_{1},\dots,X_{k}\leq x_{k})

\displaystyle{}=\int_{-\infty}^{x_{k}}\cdots\int_{-\infty}^{x_{1}}f(t_{1},% \dots,t_{k})\,dt_{1}\dots dt_{k}\mathchar 46\relax

Definición III.7.

La distribución marginal de $X_{1}$ v. a. continua se calcula como

f_{1}(x_{1})=\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty}f(x_{1},\dots% ,x_{k})\,dx_{k}\dots dx_{2}\mathchar 46\relax

siendo analogo para cualquier $X_{i}$ .

Definición III.8.

La distribución de $X_{1}$ condicionada a $X_{2}=x_{2}$ tiene función de densidad:

f(x_{1}\mid x_{2})=\frac{f(x_{1},x_{2})}{f_{2}(x_{2})},\quad f_{2}(x_{2})\neq 0% \mathchar 46\relax

Definición III.9.

Se dice que $X_{1},\dots,X_{k}$ v.a. continuas son independientes si

F(x_{1},\dots,x_{k})=F_{1}(x_{1})\cdot F_{2}(x_{2})\dots F_{k}(x_{k})

o, equivalentemente,

f(x_{1},\dots,x_{k})=f_{1}(x_{1})\cdot f_{2}(x_{2})\dots f_{k}(x_{k})\mathchar 46\relax