1 Generalidades

Los modelos matematicos traducen, en terminos matematicos, fenomenos de la naturaleza (fisica, quimica, biologia, economia, etc.) mediante la aplicacion de leyes (dinamica, conservacion, …).

Ejemplo I.1.

Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son

Segunda ley de Newton:

$m\cdot x=\Sigma F$
Enfriamiento (Newton): como evoluciona la temperatura con respecto al tiempo.

$\frac{dT}{dt}=k(T-T_{a})$

con $T$ la temperatura y $T_{a}$ la temperatura ambiente.
Reaccion quimica:

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=k(\alpha-x)(\beta-x)$
Muelle libre sin amortiguacion

$m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+kx=0$
Ecuacion de Laplace (potencial).
Ecuacion del calor.
Ecuacion de ondas.

1.1 Tipos de comportamiento

Existen dos tipos de problemas:

Problemas de equilibrio: aparece el espacio como variable.
Problemas evolutivos: dependen del tiempo y del espacio.

Las condiciones auxiliares se imponen sobre la incognita, y pueden ser de frontera o iniciales. Permiten definir la solucion particular de cada problema.

De forma analitica, trabajaremos por etapas: obtendremos la solucion general de la ecuacion diferencial y, a partir de ella, aplicaremos las condiciones auxiliares para obtener la solucion particular del sistema diferencial.

Ejemplo I.2 (Problema del objeto).

Consideremos un objeto de masa $m$ que se tira verticalmente hacia arriba con velocidad inicial de $40\;\mathrm{m/s}$ . Cual sera su posicion despues de dos segundos? Cual sera la altura maxima que va a alcanzar?

Hipotesis: consideramos que la unica fuerza que actua sobre el objeto es la fuerza de la gravedad $F=-mg$ $(g=10m/s^{2})$ , y que el origen del sistema de referencia esta en la posicion inicial del objeto.

Denotamos la posicion del objeto en el instante $t$ como $\zeta(t)$ , nuestra incognita. Asimismo, definimos

Velocidad: $\zeta^{\prime}(t)=\frac{\mathrm{d}\zeta}{\mathrm{d}t}$ .
Aceleracion: $\zeta^{\prime\prime}(t)=\frac{\mathrm{d}^{2}\zeta}{\mathrm{d}t^{2}}$

Aplicamos la segunda ley de Newton (dinamica):

m\zeta^{\prime\prime}(t)=-mg

\zeta^{\prime\prime}(t)=-g

\boxed{\zeta^{\prime\prime}(t)=-10}

Esta es la ecuacion que traduce en terminos matematicos nuestro problema. Ademas, interviene una derivada: es una ecuacion diferencial.

Sabemos tambien que:

$\zeta(t=0)=0$ : origen en la posicion inicial.
$\zeta^{\prime}(t=0)=40$ : velocidad inicial.

Hemos escrito el modelo matematico correspondiente al problema planteado inicialmente.

Lo vamos a usar en varias ocasiones a lo largo de este tema.

Definición I.1 (Ecuacion diferencial).

Una ecuacion diferencial es una ecuacion en la que aparecen relacionadas:

una o varias variables independientes;
una variable dependiente de ella o ellas (escalar o vectorial);
derivadas de la variable dependiente con respecto a una o mas variables independientes.

Notacion: usaremos $x,t,x_{1},\ldots,x_{n},\ldots$ para las variables independientes. Para las variables dependientes, usaremos $y(x),y(t),u(x,t),u(x,y,z),u(x_{1},\ldots,x_{n}),\zeta(t)$ o similares.

Definición I.2 (Ecuacion diferencial ordinaria).

Una ecuacion diferencial ordinaria (EDO) es una ecuacion diferencial en la que la variable dependiente depende solo de una variable independiente.

En esta asignatura, nos centraremos exclusivamente en este tipo de ecuaciones.

Definición I.3 (Ecuacion diferencial en derivadas parciales).

Una ecuacion diferencial en derivadas parciales (EDP) es una ecuacion diferencial en la que la variable dependiente depende de mas de una variable independiente.

Definición I.4 (Orden).

El orden de una ecuacion diferencial es el mayor orden de derivacion de la variable dependiente que interviene en la ecuacion diferencial.

Definición I.5 (Grado).

El grado de una ecuacion diferencial es el mayor exponente al que esta elevada la derivada de mayor orden de la variable dependiente que interviene en la ecuacion diferencial.